3.3 复数的几何表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.3 复数的几何表示 第3章 复数 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的几何意义 根据复数相等的定义,任何一个复数 ,都可以由一个有序实数 对唯一确定，而有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此， 在平面上建立直角坐标系，以每个复数的实部和虚部组成坐标 ， 这就确定了唯一一点,连接,就确定了唯一一个向量 ,这个向量的坐标也是 ,如图3.3-1.因此，复数可用平面内唯一一点 表示，（复数 与复平面内的点一一对应，这是复数的一种几何意义）也可用平面内唯一 向量表示,（复数与平面向量 一一对应,这是复数的另一种几何意义） 这就在复数集与平面内的点的集合之间建立了一一对应关系，也在复数集与平面内 以原点为起点的全体向量组成的集合之间建立了一一对应关系. 按上述方式与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. . . . . . . . . 6 图3.3-1 特别地，如图3.3-1,数1用沿轴正方向的单位向量 表 示，数用沿轴正方向的单位向量 表示.设复平面上的向量 的坐标为,则,将这个表达式中的, 分别换 成1，,就得到所对应的复数 . 图3.3-2 知识剖析 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一 一对应，可知复数、复平面内的点和平面向量 之间的关系可用图 3. 表示. 7 典例详解 例1-1 [教材改编P111例1]说出图3.3-5中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格 的边长为1）. 图3.3-5 【解析】点对应的复数是;点对应的复数是;点对应的复数是；点 对应 的复数是；点对应的复数是;点 对应的复数是0. 8 例1-2 (2025·山东省乐陵第一中学模拟)已知复数，则复数 在复平面内对应的 点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】，则复数对应的点为 ，位于第一象限． 9 【想一想丨归纳总结】 复平面内表示复数的点的位置与复数实、虚部的关系 如果是复平面内表示复数 的点，则 （1）当,时，点位于第一象限；当,时，点 位于第二象限； 当,时，点位于第三象限；当,时，点 位于第四象限. （2）当时，点在虚轴上；当时，点 在实轴上. 10 知识点2 复数的模 1 定义 对任意复数 ，我们将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数的模（复数的模可以比较大小），也称为的绝对值，记作 . 即 （计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部，再 代入公式进行计算）,表示点 到原点的距离. . . . . 11 2 复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点 到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件 的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部， 表示圆的外部. 12 典例详解 例2-3 求下列复数的模： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 13 例2-4 [教材改编P112例2]复数在复平面内对应的点为 ，若 ，则满足条件的点 的集合是( ) D A.直线 B.线段 C.圆 D.单位圆及其内部 【解析】， ， 点 的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部. 14 知识点3 共轭复数 1 定义 对任意复数,如果保持它的实部不变，将虚部 变成它的相 反数，得到的复数称为原复数的共轭复数，记为,即 . 15 2 几何意义 如图3.3-3，复平面上两点，关于轴对称 它们所对应的复数， 相互共轭. 图3.3-3 16 3 性质 （1） . （2）实数的共轭复数是它本身，即 .（利用这个性质可证明一个 复数为实数） 4 关于共轭复数的几个常用结论 （1）若，则 .利用此结论，在复 数集中可以将分解为 . （2）;对于非零复数，是纯虚数 . （3）若,则, . （4）, . （5） . . . 17 典例详解 例3-5 已知，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ， 所以 . 例3-6 已知复数，则的共轭复数 在复平面内对应的点位于( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 ， 的共轭复数在复平面内对应的点 位于第四象限． 18 知识点4 复数加减法的几何意义 1 复数加法的几何意义 图3.3-4 如图3.3-4，设复数 ， 分别对应向量， ，则 , . 由平面向量的坐标运算得， 就对应向量，且是以 , 为邻边的平行四边形的对角线.即复数, 的加法由对应 向量, 的加法来表示，且复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则. 19 2 复数减法的几何意义 类似地，复数的减法由对应向量的减法来表示: ,其中， 与 是相等向量，如图3.3-4. 这说明两个向量与的差就是复数 对应的向量.因此， 复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 知识剖析 复数减法的几何意义也可叙述为：连接表示两个复数对应的向量的有向 线段的终点，方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量，就是两个复数的差 对应的向量.#1.3 . . 20 特别提醒 复数与实数相乘 复数与任一实数相乘，其积所对应的向量可由复数 对应的向量 与的积表示: . 这就是说，实数与复数相乘的几何意义就是把复数对应的向量沿着 的 方向或其反方向放大或缩小 .#1.5.2 21 典例详解 例4-7 在复平面内，设及分别与复数及复数 对应，计算 ，并在复平面内作出对应的向量 . 【解析】 . 在复平面内作出对应的向量 ,如图 3.3-6所示. 图3.3-6 22 图3.3-7 例4-8 如图3.3-7，非零复数,分别对应复平面内的向量， ， 则， 对应的向量分别是( ) C A., B., C., D., 【解析】由向量的加法及减法法则可知， , . 由复数加法及减法的几何意义可知，对应的向量是 ， 对应的向量是 . 23 重难拓展 知识点5 复数模的几何意义及相关性质 1 的几何意义 1.设复数, 在复平面内对应的点分别是 ,,则,又复数 , 则 . 故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离. 2. 的几何意义的应用 （1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的 点为圆心， 为半径的圆.#2.1 24 （2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 , 的对应点, 为端点的线段的垂直平分线. （3）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段. （4）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端 点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）. 说明 POINT 该知识点常见于各类数学竞赛及强基自招，学有余力的同学可着重掌握.#3.1 25 2 复数模的性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 26 典例详解 例5-9 设 为非零实数，则 （1）若复数，满足，则复数 在复平面内对应的点组成的几何图 形是什么？ 【解析】表示复数在复平面内对应的点组合成的集合是以复数 对 应的点为中心的圆环. 27 （2）满足的复数 一定是纯虚数吗？ 【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点 与点为端点的线段的垂直平分线，即复数 对应的点在虚轴上.（易忽视坐标 原点也在虚轴上） 故这样的复数 可能是纯虚数也可能是0. （3）满足的复数 一定是实数吗？ 【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点 与点为端点的线段的垂直平分线，即复数对应的点在实轴上，故复数 一定 是实数. . . 28 题型解析 03 题型1 复数的几何意义 1 复平面内的点与复数的关系 例10 [教材改编P114习题3.3 T2]实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点满足下列条件? （1）位于第二象限； 【解析】由点位于第二象限得 （第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0） 解得 . 故满足条件的实数的取值范围为 . . . 30 （2）位于直线 上. 【解析】由点位于直线上得,解得.（直线 上的点的横坐标等于纵坐标） 故满足条件的实数 的值为1. 【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 的点为 . 名师点评 由复平面内符合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是根据对应关 系，列出方程（组）或不等式（组）求解. . . 31 复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都 对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就 可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值范围. 32 【变式题】 1.(2025·上海市金山中学月考)已知为虚数单位，为实数，复数 在复平面内对应的点为，则“”是“点 在第四象限”的( ) A A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】，且点 在第四象限， 解得 ， ， “”是“点 在第四象限”的充分而不必要条件． 33 2 平面向量与复数的关系 例11（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ， ，， 所表示的复数； 【解析】表示的复数为；（【易错点】切勿写成） 表示的 复数为；表示的复数为；表示的复数为 . . . 34 （2）已知复数1,,, ,在复平面内画出这些复数对应的向量； 【解析】复数1对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为 ，其中 . 如图3.3-8所示. 图3.3-8 35 （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是 ,,,求点 对应的复数. 【解析】 记 为复平面的原点， 由题意得，， . 设,则, 由题知，，所以即 故点对应的复数为 . 36 1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点 对应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点 的有向线段即复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应， 实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 37 【变式题】 图3.3-9 2.如图3.3-9，在平行四边形中，顶点，， 对应的复数 分别为0，，，则点 对应的复数为( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知，得, ,则 点 对应的复数为 . 38 题型2 复数的模的计算 例12 已知复数,,则与 的大小关系为( ) A A. B. C. D.不能确定 【解析】因为 , , 且,所以 . 39 【变式题】 3.复数，则 ( ) D A.5 B. C. D.2 【解析】，，， ， ，则 . 40 题型3 复数加减法的几何意义的应用 例13 如图3.3-10所示，在复平面内，平行四边形的顶点,, 分别对应复数0, , .求： 图3.3-10 （1）向量 对应的复数； 【解析】因为，所以向量对应的复数为 . 41 （2）向量 对应的复数； 【解析】因为，所以向量 对应的复数为 . （3）向量 对应的复数. 【解析】因为,所以向量 对应的复数为 . 42 例14 设,,已知,,求 . 【解析】 设,，,,, , 由题设知,, . 又由,可得 . ， . ,（结论的直接应用，应牢记该结论） 将已知数值代入，可得 , . . . 43 在复平面内分别作出复数,对应的向量,（ 为原点）， , , ,不共线.（若,共线，则 或0） 以，对应的线段为邻边作平行四边形 , 则由可知四边形 为菱形. 又, , 即四边形为正方形，故 . 名师点评 设,，,,,,则 44 复数加、减运算时的注意点 1.向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据. 2.利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三 个向量及其对应的复数. 3.注意向量对应的复数是 （终点对应的复数减去起点对应的复数）. 45 【变式题】 4.(2025·湖北省武汉市常青联合体期中)已知复数 ，且 ，其中 为虚数单位． （1）求复数 ； 【答案】 ， ， ，解得 ， ，， ． 46 （2）已知复平面上的四个点，，，构成平行四边形，复数 ， ，在复平面内对应的点分别为，，，求点 对应的复数． 【答案】，， ， ，， . 设， 为平行四边形， ，设，则， ， 解得即 ， 故点对应的复数为 ． 47 题型4 共轭复数的应用 例15 [多选题](2025·西安工业大学附属中学开学检测)设, 是复数，则下列命题中 的真命题是( ) ABC A.若，则 B.若，则 C.若,则 D.若，则 【解析】对于A， ，是真命题； 对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,是真命题; 对于C,设,,若,则 , ,,所以 ，是真命题. 对于D,若,,则,但, ，故D是假命题. 48 共轭复数问题的求解技巧 1.若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再进行复数的四则 运算. 2.已知关于和的方程，而复数的代数形式未知，求 .解此类题的常规思路为：设 ,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为 方程（组）求解. 49 【变式题】 5.已知复数的实部为1，且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】设复数，则， ， , ，， ． 50 新考法 思维创新 例16 新定义 复向量 (2025·安徽省淮南第二中学开学考试) 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复 数对看作一个向量，记，称 为复向量.类比平面向量的 相关运算法则，对于, ，我们有如下运算法 则：； ； ； . 51 （1）设,，求和 . 【解析】由, ， 得， ， 则 . 52 （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论 ，判断其是否正确并说明理由. 【解析】设，， ， 则，， ， ， 因为， ， 所以 ， 故结论正确. 53 （3）设，集合,,,}, .求 的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的 , . 【解析】不妨令 ， 则 ， 则 54 . 当，时, 取得最小值，为2， 此时， . 设满足条件的， ， 则， ， 可得 . 思路点拨 （1）代入公式①③④即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的 ，表示出 ，即可得到 ，根据完全平方数的性质计 算可得最小值. 根据所给条件求出 ，再根据定义证明对任意的 ， 即可. 名师点评 该题将平面向量与复数知识相结合，题目新颖，较好地考查学生的阅读理 解能力和解题表达能力，考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养. 56 核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考考查的重点内容，尤其是在复数的四则运算的背景下，考查对复数 的模及共轭复数的掌握和对复数几何意义的理解.题型为选择题，题目简单. 核心素养：数学运算（模的求解等）、直观想象（复数的几何意义）. 57 考向1 共轭复数与简单计算 例17（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( ) A A. B. C.10 D.2 【解析】因为，所以 ， 所以 . （2）(2022·全国乙卷)已知,且,其中， 为实数，则( ) A A., B., C., D., 【解析】由题意知 ，所以 ，又 ，所 以 ，所以解得 58 （3）(全国乙卷)设，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】设，则,代入 ，可 得,所以，，故 . 例18（1）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( ) A A. B. C.0 D.1 【解析】因为，所以，所以 . 59 （2）(2022·新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】因为，所以，所以 ，所以 ． （3）(2022·全国甲卷)若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 . 60 考向2 复数模的求解 例19（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____. 【解析】 . （2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( ) B A. B. C.4 D.8 【解析】 由可得， ， 所以 . ，则 ，根据复数模的性质，得 . 61 （3）(2023·全国乙卷) ( ) C A.1 B.2 C. D.5 【解析】 . 62 考向3 四则运算下复数的几何意义 例20 (2025·上海)已知复数满足，,则 的最小值是_____. 【解析】设，则,由 ,可得 ，即 ，故.又由可得，即 . （结合两个式子对, 分类讨论或直接利用复数几何意义） . . . . 63 当时，, , 此时 . 当时，, ,此时 . 当,时，.综上, 的最小 值为 . 64 设复数在复平面内对应的点的坐标为 , 图3.3-11 其中或 ，表示两条相交线 段.表示在复平面内对应的点与点 的距离，如图 3.3-11所示，结合图知，当在复平面内对应的点为 时， 取到最小值，为 . 65 例21 (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对 应的点为 ，位于第一象限. 66 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·河北省秦皇岛市实验中学期末)若复数满足 （其中是虚数单位），复数的共轭复数为 ，则( ) ABD A. B. 的实部是2 C.的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】由,得 , 所以，故A正确；的实部为2，故B正确；的虚部是，故C错误；复数 在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．故选 . 67 2.[多选题](2025·甘肃省陇西县第一中学模拟)已知复数, ,则( ) AB A. B.若，则 的最大值为3 C. D. 是纯虚数 【解析】对于A， 复数,, , ，又， ，A正确； 对于B，设,， ，则 ，即 ，即 ， ， 即 的最大值为3，B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，,不是纯虚数，D错误．故选 ． 68 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.若复数在复平面内对应的点为，则其共轭复数 的虚部是( ) D A. B. C.1 D. 【解析】 复数在复平面内对应的点为 ， ，的虚部为 ． 70 2.若,则 ( ) D A.1 B. C. D. 【解析】 . 3.(2025·广西南宁市武鸣高级中学期中)已知复数 在复平面内对 应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 复数 在复平面内对应的点在第二象限， 解得 ． 故实数的取值范围是 ． 71 4.下列向量在复平面中对应的复数是纯虚数的是( ) C A. B. C. D. 【解析】对于A，对应的复数为 ，故A错误； 对于B，对应的复数为 ，故B错误； 对于C，对应的复数为 ，故C正确; 对于D，对应的复数为 ，故D错误．故选C． 72 5.新定义 等部复数 ［多选题］如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为 “等部复数”．若复数，为虚数单位 为“等部复数”，则下列说法正确 的是( ) AC A. B. C. D.复数 是纯虚数 【解析】 复数，为虚数单位 为“等部复数”， ，故A正确； 由得，， ，故B错误； ， ，故C正确； ， 复数，是实数，故D错误．故选 . 73 6.［多选题］已知为虚数单位，复数满足 ，则下列说法错误的是 ( ) ABC A.复数的模为 B.复数的共轭复数为 C.复数的虚部为 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】，所以，故 ，A错误； ，B错误；的虚部为 ，C错误； 复数在复平面内对应的点，在第一象限，D正确．故选 . 74 7.复数满足，则 _ ________. 【解析】， ， 故 ， 故 ． 75 8.(2025·陕西省榆林市期中)设实部为正数的复数，满足，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上． （1）求复数 ； 【答案】设，,且，则 ， 又，且复数 在复平面上对应的点在第一、 三象限的角平分线上， . 由得则 . （2）若为纯虚数，求实数 的值． 【答案】 为纯虚数， ，且,故 ． 76 高考模拟 05 建议时间：20分钟 9.新情境 欧拉公式 (2025·北京师范大学附属中学月考)欧拉公式 为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的 定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占 有非常重要的地位，特别是当 时， 被称为数学上的优美公式．根 据欧拉公式，表示复数，则 ( ) B A. B. C.2 D. 【解析】，则 ． 78 10.已知复数，复平面内复数与所对应的点关于原点对称，与 所 对应的点关于实轴对称，则 ( ) A A. B.26 C. D.25 【解析】对应的点为，又复平面内复数与 所对应的点关于原 点对称，关于原点对称的点为，与 所对应的点关于实轴对称， 关于实轴对称的点为， ， ． 79 11.(2025·山东省青岛市期中)若复数，， ， 在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】由于复数，，， 在复平面内 对应的点在同一个圆上，且 ,所以该圆以原点为圆心，（不在同一条 直线上的三个点确定一个圆） 则，故 ， 由于为正实数，故 ． 80 12.新考法 数学文化 ［多选题］18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上 的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的 模的几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( ) BCD A.若，则或 B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 81 【解析】令（举反例），满足 ，故A错误； 复数与分别对应向量与，则, , ,向量对应的复数为 ，故B正确； 点的坐标为，对应的点 在第三象限，故C正确； 设，，， 复数满足，， 复数 对应的点所构成的图形（该图形为圆环）面积为 ，故D正确． 故选 ． . . . . 82 13.新考法 开放创新 (2025·江苏省苏州市期中)写出一个同时满足下列条件①②的复 数： _____________________． ① ； ② 在复平面内对应的点在第二象限． （答案不唯一） 【解析】设复数，，且 在复平面内对应的点在第二象限， 可以取,,故 . 83 14.已知 ，，是的共轭复数，且，则 ( ) D A.2 B. C. D. 【解析】由 ，得 ， ， , ,又,则，又 , 则，，,，即 ， ，解得或 （舍去）. . . 84 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 85 $