2026年中考数学一轮复习 专题14几何图形初步.线与角.相交线平行线 突破讲义(全国通用)

专题14几何图形初步.线与角.相交线平行线突破讲义 【模块一 几何图形初步】...........................................4 【题型01 立体图形】...............................................4 【题型02 几何体的展开图】.........................................5 【题型03 点.线.面.体】..............................................6 【题型04 截一个几何体与平面图形认识】..............................7 【模块二 直线.射线.线段 】.........................................8 【题型05 直线.射线.线段的概念与识别】...............................8 【题型06 点与线的位置关系及直线公理】..............................9 【题型07 线段的和差与中点计算】....................................9 【题型08 两点之间线段最短与最短路径】.............................10 【模块三 角】.....................................................11 【题型09 角的概念】...............................................11 【题型10 方向角与钟面角】.........................................12 【题型11 角的度量与角的比较】.....................................13 【题型12 角平分线的有关计算】.....................................13 【题型13 余角和补角】.............................................14 【模块四 相交线】.................................................15 【题型14 垂线段最短】.............................................15 【题型15 点道直线的距离】.........................................16 【题型16 对顶角】.................................................17 【模块五 平行线】.................................................18 【题型17 同位角.内错角.同旁内角】..................................18 【题型18 根据平行线的性质与判定求角的度数】.......................19 【题型19 根据平行线的性质探究角的关系】...........................19 【题型20 根据平行线的性质与判定证明】.............................10 【题型21 平行线的性质在生活中的应用】.............................22 【题型22 平行线之间的距离问题】...................................23 ● 分值占比：几何图形初步、相交线与平行线是中考几何基础必考核心，总分值约6–12 分，覆盖选择、填空、简单解答三种题型，是几何板块必须满分的基础内容。 ● 常考考点：聚焦直线 / 射线 / 线段的概念与计数、角的度量与运算、角平分线与余补角、对顶角 / 邻补角、三线八角识别、平行线的判定与性质、垂线的性质与应用、最短路径问题八大核心方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算（如角度换算、平行线性质求角度），中档题侧重图形推理与模型应用（如平行线间拐点模型、角平分线综合计算），难题多以实际情境（如方向角、最短路径）、动态角度（如旋转、折叠）、规律探究为主，且结合生活场景、平面直角坐标系的题型占比逐年提升，突出对几何直观与逻辑推理能力的考查。 ★知识梳理★ 知识点01:几何图形初步 1. 直线、射线、线段 核心知识点 关键内容 定义与区别 直线：无端点，向两方无限延伸，不可度量；射线：1 个端点，向一方无限延伸，不可度量；线段：2 个端点，可度量长度。 基本事实 两点确定一条直线；两点之间，线段最短。 线段计算 线段的和差：若点 C 在线段 AB 上，则 AC+CB=AB；线段中点：若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=AB；两点间距离：连接两点的线段的长度。 2. 角的相关概念与计算 核心知识点 关键内容 角的定义 由公共端点的两条射线组成的图形，或一条射线绕端点旋转形成的图形。 角的度量 单位：度 (°)、分 (′)、秒 (″)；换算：1∘=60′，1′=60′′。 特殊角 钟面角：分针速度 6∘/min，时针速度 0.5∘/min；方向角：如北偏东30∘、西南方向（南偏西45∘）。 角的运算 角的和差：若 OC 在∠AOB 内部，则 ∠AOC+∠COB=∠AOB； 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则 ∠AOC=∠COB=∠AOB。 余角与补角 余角：和为90∘的两个角，同角（等角）的余角相等； 补角：和为180∘的两个角，同角（等角）的补角相等。 知识点02:相交线 1. 对顶角与邻补角 核心知识点 关键内容 对顶角 定义：两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的角；性质：对顶角相等。 邻补角 定义：两条直线相交后，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的角；性质：邻补角和为180∘。 2. 垂线及其性质 核心知识点 关键内容 垂线定义 两条直线相交成90∘，则互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。 基本事实 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 3. 三线八角 核心知识点 关键内容 同位角 位置相同，在截线同旁、被截两直线同侧（如 “F” 型）。 内错角 在截线两侧、被截两直线之间（如 “Z” 型）。 同旁内角 在截线同旁、被截两直线之间（如 “U” 型）。 知识点03:平行线 1. 平行线的判定 2. 平行线的性质 . 中考核心易错点 1.概念混淆：直线、射线不可度量长度，不能比较长短；角的大小与边的长短无关。 2.角的位置分类：求角的和差时，需注意点 / 射线在角内部还是外部，避免漏解。 3.三线八角识别：先找截线，再判断角的位置关系，避免同位角、内错角、同旁内角混淆。 4.判定与性质区分：判定是 “角的关系→平行”，性质是 “平行→角的关系”，不可颠倒。 【模块一 几何图形初步】 【题型1.立体图形】 【典例】下列几何体中，柱体是______，含曲面的有______无顶点的有______（填序号） 【跟踪专练1】如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，长方形中，，以所在直线为轴，将长方形旋转一周后所得几何体的主视图的面积是___________． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【题型2.几何体的展开图】 【典例】在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为______． 【跟踪专练1】如图是正方体展开图，把展开图折叠成正方体，与“数”一面相对面上的字是（　　） A．核 B．心 C．素 D．养 【跟踪专练2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【跟踪专练3】如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3.点.线.面.体】 【典例】如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 【跟踪专练1】将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长是，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_______． 【跟踪专练3】将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【题型4.截一个几何体与平面图形的认识】 【典例】．截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，下列几何体的截面是 _____． 【跟踪专练1】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 【跟踪专练3】数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【模块二 直线.射线.线段】 【题型5.直线.射线.线段的概念与识别】 【典例】如图所示，图中共有______条直线，______条射线，______线段． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【跟踪专练2】两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点……那么六条直线最多有__________个交点． 【跟踪专练3】小明在桌上摆放小棒，他发现：两根小棒最多有1个交点，三根小棒最多有3个交点……，若n根小棒最多有300个交点，则n的值为（    ）    A．24个 B．25个 C．26个 D．27个 【题型6.点与线的位置关系及直线公理】 【典例】一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是______． 【跟踪专练1】如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【跟踪专练2】下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有______填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【跟踪专练3】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【题型7.线段的和差与中点计算】 【典例】已知线段． （1）若点C是线段AB上一点，，则BC的长为__________； （2）若点C是AB的中点，则AC的长为__________． 【跟踪专练1】如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则______ 【跟踪专练3】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【题型8.两点之间线段最短与最短路径】 【典例】如图，把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其理由是__________． 【跟踪专练1】如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【跟踪专练3】已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【模块三 角】 【题型9.角的概念】 【典例】用4倍的放大镜看一个的角，则看出的角的度数是_______． 【跟踪专练1】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【跟踪专练2】如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【跟踪专练3】对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【题型10.方向角和钟面角】 【典例】一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为______． 【跟踪专练1】2025年3月28日，缅甸曼德勒附近发生级强烈地震，云南多地有明显震感．已知昆明在曼德勒北偏东64°，780千米处，若用有序数对（北偏东，）表示昆明相对曼德勒的位置，则曼德勒相对昆明的位置表示正确的是（   ） A．（北偏东，） B．（北偏东，） C．（南偏西，） D．（南偏西，） 【跟踪专练2】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若，则的方向是___________． 【跟踪专练3】从开始，当时针与分针第一次成角时，所经过的时长（答案四舍五入到整数）约是（   ）分钟． A．23 B．24 C．25 D．26 【题型11.角的度量与角的比较】 【典例】比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【跟踪专练1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小： －（-3.5）____﹣｜－4.5｜，38.15°_____ 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）． 【跟踪专练3】如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型12.角平分线的有关计算】 【典例】如图，直线与相交于点，，射线平分，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图所示，若点A，O，B在一条直线上，平分，，当时，等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 【跟踪专练3】如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论： ①与互余； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【题型13.余角与补角】 【典例】已知与互补，，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪专练2】如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是_____． 【跟踪专练3】如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【模块四 相交线】 【题型14.垂线短最短】 【典例】如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______． 【跟踪专练1】已知的半径为4，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【跟踪专练2】如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【跟踪专练3】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【题型15.点到直线的距离】 【典例】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是______． 【跟踪专练2】如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【跟踪专练3】如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ________________． 【题型16.对顶角】 【典例】如图，直线 与直线相交于点O．若，则的度数是________． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，相交于点，于点若，则 ______． 【跟踪专练3】如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【模块五 平行线】 【题型17.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角_____________． 【跟踪专练1】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于_____，∠1的内错角等于_____，∠1的同旁内角等于______． 【跟踪专练3】如图，给出下列说法:①∠B和∠1是同位角;②∠1和∠3是对顶角;③ ∠2和∠4是内错角;④ ∠A和∠BCD是同旁内角. 其中说法正确的有(      ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型18.根据平行线的性质与判定求角的度数.】 【典例】如图，已知，，则______度． 【跟踪专练1】如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则________°． 【跟踪专练3】如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型19.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是_________． 【跟踪专练1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【跟踪专练3】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型20.根据平行线的性质与判定进行证明】 【典例.】如图，点分别是三角形的边上的点，，．求证：． 证明：(已知)． ∴(_________)． ∵(已知)， ∴_________(__________)． ∴______(___________)． ∴(__________)． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为_____，的值为_____． 【跟踪专练3】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型21.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成______度的角． 【跟踪专练1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【跟踪专练3】汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型22.平行线之间的距离问题】 【典例】如图所示，，表示直线与之间距离的是线段__________的长度． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，与的平分线相交于点P，过点P作于点E，若，则两平行线与之间的距离为___________． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14几何图形初步.线与角.相交线平行线突破讲义 【模块一 几何图形初步】...........................................4 【题型01 立体图形】...............................................4 【题型02 几何体的展开图】.........................................6 【题型03 点.线.面.体】..............................................9 【题型04 截一个几何体与平面图形认识】.............................11 【模块二 直线.射线.线段 】........................................13 【题型05 直线.射线.线段的概念与识别】..............................13 【题型06 点与线的位置关系及直线公理】.............................15 【题型07 线段的和差与中点计算】...................................17 【题型08 两点之间线段最短与最短路径】.............................21 【模块三 角】.....................................................24 【题型09 角的概念】...............................................24 【题型10 方向角与钟面角】.........................................26 【题型11 角的度量与角的比较】.....................................28 【题型12 角平分线的有关计算】.....................................30 【题型13 余角和补角】.............................................34 【模块四 相交线】.................................................36 【题型14 垂线段最短】.............................................36 【题型15 点道直线的距离】.........................................39 【题型16 对顶角】.................................................41 【模块五 平行线】.................................................44 【题型17 同位角.内错角.同旁内角】..................................44 【题型18 根据平行线的性质与判定求角的度数】.......................46 【题型19 根据平行线的性质探究角的关系】...........................49 【题型20 根据平行线的性质与判定证明】.............................53 【题型21 平行线的性质在生活中的应用】.............................57 【题型22 平行线之间的距离问题】...................................60 ● 分值占比：几何图形初步、相交线与平行线是中考几何基础必考核心，总分值约6–12 分，覆盖选择、填空、简单解答三种题型，是几何板块必须满分的基础内容。 ● 常考考点：聚焦直线 / 射线 / 线段的概念与计数、角的度量与运算、角平分线与余补角、对顶角 / 邻补角、三线八角识别、平行线的判定与性质、垂线的性质与应用、最短路径问题八大核心方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算（如角度换算、平行线性质求角度），中档题侧重图形推理与模型应用（如平行线间拐点模型、角平分线综合计算），难题多以实际情境（如方向角、最短路径）、动态角度（如旋转、折叠）、规律探究为主，且结合生活场景、平面直角坐标系的题型占比逐年提升，突出对几何直观与逻辑推理能力的考查。 ★知识梳理★ 知识点01:几何图形初步 1. 直线、射线、线段 核心知识点 关键内容 定义与区别 直线：无端点，向两方无限延伸，不可度量；射线：1 个端点，向一方无限延伸，不可度量；线段：2 个端点，可度量长度。 基本事实 两点确定一条直线；两点之间，线段最短。 线段计算 线段的和差：若点 C 在线段 AB 上，则 AC+CB=AB；线段中点：若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=AB；两点间距离：连接两点的线段的长度。 2. 角的相关概念与计算 核心知识点 关键内容 角的定义 由公共端点的两条射线组成的图形，或一条射线绕端点旋转形成的图形。 角的度量 单位：度 (°)、分 (′)、秒 (″)；换算：1∘=60′，1′=60′′。 特殊角 钟面角：分针速度 6∘/min，时针速度 0.5∘/min；方向角：如北偏东30∘、西南方向（南偏西45∘）。 角的运算 角的和差：若 OC 在∠AOB 内部，则 ∠AOC+∠COB=∠AOB； 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则 ∠AOC=∠COB=∠AOB。 余角与补角 余角：和为90∘的两个角，同角（等角）的余角相等； 补角：和为180∘的两个角，同角（等角）的补角相等。 知识点02:相交线 1. 对顶角与邻补角 核心知识点 关键内容 对顶角 定义：两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的角；性质：对顶角相等。 邻补角 定义：两条直线相交后，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的角；性质：邻补角和为180∘。 2. 垂线及其性质 核心知识点 关键内容 垂线定义 两条直线相交成90∘，则互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。 基本事实 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 3. 三线八角 核心知识点 关键内容 同位角 位置相同，在截线同旁、被截两直线同侧（如 “F” 型）。 内错角 在截线两侧、被截两直线之间（如 “Z” 型）。 同旁内角 在截线同旁、被截两直线之间（如 “U” 型）。 知识点03:平行线 1. 平行线的判定 2. 平行线的性质 . 中考核心易错点 1.概念混淆：直线、射线不可度量长度，不能比较长短；角的大小与边的长短无关。 2.角的位置分类：求角的和差时，需注意点 / 射线在角内部还是外部，避免漏解。 3.三线八角识别：先找截线，再判断角的位置关系，避免同位角、内错角、同旁内角混淆。 4.判定与性质区分：判定是 “角的关系→平行”，性质是 “平行→角的关系”，不可颠倒。 【模块一 几何图形初步】 【题型1.立体图形】 【典例】下列几何体中，柱体是______，含曲面的有______无顶点的有______（填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ ①⑦ 【分析】本题考查对常见立体图形的识别及其基本特征的理解，熟知立体图形的特征是解题关键．根据立体图形的特征即可得到答案． 【详解】解：下列几何体中，柱体是①③④⑤⑥⑧，含曲面的有①②⑦，无顶点的有①⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧；①②⑦；①⑦． 【跟踪专练1】如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是空间想象能力的培养．根据从左面应该看到有3列，从左到右正方形的个数为2，1，1，即可解答． 【详解】解：选项A、B、D从左面看都可以看到有3列，且从左到右正方形的个数为2，1，1，故选项A、B、D不符合题意；选项C从左面看只能看到2列，故C选项符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，长方形中，，以所在直线为轴，将长方形旋转一周后所得几何体的主视图的面积是___________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了简单的几何体，从不同方向看几何体，熟练掌握旋转体的性质是解题的关键． 先确定旋转后的几何体为圆柱，再确定从正面看得到的图形，即可求解面积． 【详解】解：将长方形绕一边旋转一周后所得几何体为圆柱，其主视图为长方形， 那么长方形的长为，宽为， ∴面积． 故答案为：24． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 【题型2.几何体的展开图】 【典例】在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是正方体展开图，把展开图折叠成正方体，与“数”一面相对面上的字是（　　） A．核 B．心 C．素 D．养 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图的特点可知，“数”与“素”相对，“学”与“心”相对，“核”与“养”相对， 故选∶C． 【跟踪专练2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 【跟踪专练3】如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，求角的正弦值．求得，由勾股定理求得，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3.点.线.面.体】 【典例】如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的特征和体积公式的综合应用，关键是明确旋转后得到的圆锥的底面半径和高的值．以4的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，且底面半径为3，高为4，然后根据圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形为圆锥， 且底面半径为3，高为4， ∴该圆锥的体积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台，只有选项B符合题意． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长是，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据题意可知，左视图是一个长方形，即可得到面积． 【详解】解：由题意可知，左视图是一个以直径作为长，半径为宽的长方形， 故所得几何体的左视图的面积是， 故答案为：． 【跟踪专练3】将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体，扇形的面积，勾股定理，解题的关键是掌握扇形和弧长关系的面积公式． 利用勾股定理求出圆锥体的母线，利用扇形面积和弧长关系的公式进行求解即可． 【详解】解：该图形旋转一周得到的是圆锥体， ∴由勾股定理得出圆锥体的母线长为， ∴圆锥体的侧面积为， 故选：D． 【题型4.截一个几何体与平面图形的认识】 【典例】．截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，下列几何体的截面是 _____． 【答案】圆，长方形 【分析】根据用一个平面截长方体，截面的形状可能是三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形等；用平面去截圆柱常见的截面有长方形、圆、椭圆等，再结合题意即可得出答案． 【详解】解：如图，用一个平面去截圆柱，截面形状是圆； 如图，用一个平面去截四棱柱，截面形状是长方形． 故答案为：圆，长方形． 【点睛】本题考查判断截一个几何体的截面形状．掌握用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，截面形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆、 椭圆等是解题关键． 【跟踪专练1】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的直径与半径的数量关系作答即可． 本题主要考查了圆的认识，根据图示得到是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：． 故选：C． 【跟踪专练2】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】解： 由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此各剪刀都得到边长为的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 在每个图形上各剪一刀，如图所示：   拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 共3种方法， 故答案为：． 【跟踪专练3】数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的三视图，截几何体，掌握立体图形的特点是关键． 根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解． 【详解】解：A、圆锥侧面展开式扇形，不符合题意； B、圆柱俯视图是长方形，不符合题意； C、球体的截面是圆，符合题意； D、正方体的投影是正方形，不符合题意； 故选：C ． 【模块二 直线.射线.线段】 【题型5.直线.射线.线段的概念与识别】 【典例】如图所示，图中共有______条直线，______条射线，______线段． 【答案】 1 8 6 【分析】利用直线、射线、线段的定义，结合图形即可得出答案，注意做到不重不漏． 【详解】解：直线的条数为：1； 直线上有4个端点，射线的条数为：2×4=8； 线段的条数为：3+2+1=6． 【点睛】本题重点考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握其计数方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点……那么六条直线最多有__________个交点． 【答案】15 【分析】画出图形，结合图形，找出规律解答即可 【详解】如图，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．                          而 ，， ∴n条直线相交，最多有个交点． ∴6条直线两两相交，最多有 个交点． 故答案为 15． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，在相交线的基础上，着重培养学生的观查、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 【跟踪专练3】小明在桌上摆放小棒，他发现：两根小棒最多有1个交点，三根小棒最多有3个交点……，若n根小棒最多有300个交点，则n的值为（    ）    A．24个 B．25个 C．26个 D．27个 【答案】B 【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； …… ∴n条直线相交最多有个交点； ∴， 解得（负值已舍去）， 则n值为25． 故选：B． 【点睛】此题考查图形的变化规律及解一元二次方程，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【题型6.点与线的位置关系及直线公理】 【典例】一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线．根据两点确定一条直线求解． 【详解】解：一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【跟踪专练1】如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 【跟踪专练2】下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有______填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【答案】②④ 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故答案为：②④． 【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 【跟踪专练3】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无关，故选项不符合； C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项符合． 故选：D． 【题型7.线段的和差与中点计算】 【典例】已知线段． （1）若点C是线段AB上一点，，则BC的长为__________； （2）若点C是AB的中点，则AC的长为__________． 【答案】 6 4 【分析】本题考查了线段的和差关系与线段中点的定义，掌握线段的和差运算以及线段中点将线段平分是解题的关键． （1）本题根据结合已知条件，即可求出的长度； （2）本题根据中点将线段平分为两段，，即可求出的长度． 【详解】解：（1）根据题意： ∵， ∴． 故答案为：． （2）根据题意： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据题意可求出，，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则______ 【答案】10 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及等分点的性质，解题的关键是相似三角形的性质，根据平行四边形得，则，结合等分点可得和，过点G和点A作交于点N和点M，则，结合得，进一步求得，再证明，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点，是边的三等分点， ∴， ∴， 过点G和点A作交于点N和点M，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练3】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 【题型8.两点之间线段最短与最短路径】 【典例】如图，把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其理由是__________． 【答案】两点间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质：两点间线段最短；根据此性质解答即可． 【详解】解：把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短． 【跟踪专练1】如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵M为线段的中点 ∴ ∴，故②正确； ∵点P在线段上，且到M点的距离为 ∴如图所示，当点P在点M右边时， ∴ ∴ ∴，故④错误； ∴P为线段中点； ∴ ∴，即P为线段的四等分点； 如图所示，当点P在点M左边时， ∴ ∴，故③正确； ∴P为线段中点，故①正确； ∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 【模块三 角】 【题型9.角的概念】 【典例】用4倍的放大镜看一个的角，则看出的角的度数是_______． 【答案】 【分析】直接根据角的概念进行解答即可． 【详解】因为角的大小只由角的两边张开程度来决定的，跟角的两边长短无关， 所以用用4倍的放大镜看一个的角，则看出的角的度数仍是； 故答案为． 【点睛】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】和表示同一个角，正确，故A不符合题意； 不可以用表示，故B错误； 图是共有三个角：，，，正确，故A不符合题意； 表示的是，正确，故D不符合题意． 故选B． 【跟踪专练2】如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，根据平角的性质可得即可求得，再由平行线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，角平分线的定义，角的和差关系；根据角度表示的方法：可以在角的两边上各取一个点，将角的顶点放在中间，用三个大写字母表示一个角；也可用一个希腊字母表示一个角；当一个顶点处只有一个角时，可用顶点的大写字母表示这个角，据此判断A、D选项；用角平分线的定义、角的和差关系可判断B、C选项． 【详解】解：A、由图可知：与表示同一个角，故A不符合题意； B、由角平分线的定义可得：若是的平分线，则，故B不符合题意； C、由图可知：，故C不符合题意； D、当一个顶点处有两个或两个以上角时，不能用顶点的大写字母表示角，不可以用表示，故D符合题意． 故选：D． 【题型10.方向角和钟面角】 【典例】一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为______． 【答案】/90度 【分析】钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份，根据题意知，时针运行了圆周，即可得到答案． 【详解】根据题意，从上午6时到上午9时，共3个小时 时针旋转了圆周，旋转的角度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钟表上角的认识的问题，知道钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份是解题的关键． 【跟踪专练1】2025年3月28日，缅甸曼德勒附近发生级强烈地震，云南多地有明显震感．已知昆明在曼德勒北偏东64°，780千米处，若用有序数对（北偏东，）表示昆明相对曼德勒的位置，则曼德勒相对昆明的位置表示正确的是（   ） A．（北偏东，） B．（北偏东，） C．（南偏西，） D．（南偏西，） 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角表示位置，根据北偏东与南偏西相对，且二者的距离和对应的角度不变即可得到答案． 【详解】解：∵用有序数对（北偏东，）表示昆明相对曼德勒的位置， ∴曼德勒相对昆明的位置为（南偏西，） 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若，则的方向是___________． 【答案】北偏东（或者东偏北） 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题． 先根据角的和差得到的度数，根据得到的度数，再根据角的和差得到的方向． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ∴， ∴OB的方向是北偏东，或者东偏北． 故答案为：北偏东（或者东偏北）． 【跟踪专练3】从开始，当时针与分针第一次成角时，所经过的时长（答案四舍五入到整数）约是（   ）分钟． A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】从开始，时针与分针夹角，时针在前，分针每分钟追赶，设经过t分钟两针成，列方程求解． 钟表问题需根据相对速度列方程，注意角度差变化． 【详解】解：∵ 在时，时针角度为，分针角度为， ∴ 夹角为， 时针在前． 设经过t分钟，两针第一次成角时，分针在时针前．   则分针角度：，时针角度：，   ∴   即，   ∴     四舍五入得25分钟．   ∴ 所经过时长约25分钟． 故选：C． 【题型11.角的度量与角的比较】 【典例】比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位制是解题的关键． 根据度分秒的换算方法，将角度不同的单位转化成相同单位，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算， 先根据题意可知，根据，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】比较大小： －（-3.5）____﹣｜－4.5｜，38.15°_____ 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）． 【答案】 ＞ ＜ 【分析】第一空先根据相反数，绝对值求出每个式子的值，再比较即可；第二空先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较． 【详解】∵-（-3.5）=3.5，-|-4.5|=-4.5，3.5>-4.5， ∴-（-3.5）＞-|-4.5|， ∵1°=60′， ∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′， ∴38°15′＜38.15′． 故答案为＞；＜. 【点睛】此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可． 【跟踪专练3】如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关计算与角平分线的定义． 根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 【题型12.角平分线的有关计算】 【典例】如图，直线与相交于点，，射线平分，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及邻补角定义，熟练掌握角平分的定义是解题的关键，因为，所以先根据角平分线得定义得出，，再根据邻补角即可得出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，若点A，O，B在一条直线上，平分，，当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．同时考查了邻补角定义．根据角平分线可得，进而可得，再利用角之间的比例关系可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，涉及角平分线的性质，正确识图准确计算是解题的关键．先利用角平分线的定义得到，然后计算，即可求得． 【详解】解：∵平分且， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论： ①与互余； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； ∵，， ， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 【题型13.余角与补角】 【典例】已知与互补，，则______． 【答案】/60度 【分析】本题考查了互补的定义，理解“若两角的和为，则称这两个角互补．”是解题的关键． 【详解】解：与互补， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：∵，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是2． 【跟踪专练2】如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是_____． 【答案】/64度 【分析】本题考查了平角定义，互余的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，又与互余，从而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、余角：和为的两个角互为余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，则可得，，再根据等量代换可得，，然后根据余角的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， ∵， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：B． 【模块四 相交线】 【题型14.垂线短最短】 【典例】如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线的距离．把看作直线，是的垂线，由此即可求解． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】已知的半径为4，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂线段最短，通过判断出圆心到直线的距离是解题的关键． 根据垂线段最短，圆心到直线的距离，因此，据此即可判断． 【详解】解：∵P为直线l上一点，， ∴圆心O到直线l的距离（垂线段最短）， ∵的半径， ∴， ∴直线l与相交． 故选：A． 【跟踪专练2】如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接， 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型15.点到直线的距离】 【典例】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是______． 【答案】12 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 点到直线的距离是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． 【跟踪专练3】如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ________________． 【答案】 【分析】连接，，如图所示，由切线性质，通过勾股定理将的最小值转化为求最小值，利用两点的距离公式求出即可得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 是的切线， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 当取得最小值时，有最小值， 为直线上的动点，圆心的坐标是，设点的坐标是 ， 当时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值，涉及切线性质、勾股定理、点到直线距离公式等知识，读懂题意，由勾股定理将求切线长的最小值转化为求最小值是解决问题的关键． 【题型16.对顶角】 【典例】如图，直线 与直线相交于点O．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 【详解】解：∵与是对顶角，且 ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 【跟踪专练2】如图，直线，相交于点，于点若，则 ______． 【答案】/50度 【分析】先根据已知条件和垂直定义求出，再根据和已知条件，求出，最后根据对顶角相等求出即可． 本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    【模块五 平行线】 【题型17.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角_____________． 【答案】， 【分析】本题考查了三线八角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三线八角的定义，平行线的性质即可求解． 【详解】解：直线m平行于直线n， ∴所有相等的内错角为：，， 故答案为：， ． 【跟踪专练1】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于_____，∠1的内错角等于_____，∠1的同旁内角等于______． 【答案】 80° 80° 100° 【分析】在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，根据∠2＝100°及邻补角和对顶角的定义求出各角度数即可. 【详解】如图：∵∠2=100°，∠1的同位角是∠3，∠1的内错角是∠4，∠1的同旁内角是∠5， ∴∠3=180°-100°=80°，∠4=180°-100°=80°，∠5=∠2=100°， 故答案为80°；80°；100° 【点睛】两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，本题同时考查了邻补角和对顶角的定义． 【跟踪专练3】如图，给出下列说法:①∠B和∠1是同位角;②∠1和∠3是对顶角;③ ∠2和∠4是内错角;④ ∠A和∠BCD是同旁内角. 其中说法正确的有(      ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据同位角、对顶角、内错角以及同旁内角的定义进行判断，即可得到答案. 【详解】解：由图可知， ∠B和∠1是同旁内角，故①、②错误； ∠2和∠4是内错角，故③正确； ∠A和∠BCD不是同旁内角，故④错误； ∴正确的只有1个； 故选：B. 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断. 【题型18.根据平行线的性质与判定求角的度数.】 【典例】如图，已知，，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得.，进而根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则________°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 综上，图中度数为的角共有5个． 【题型19.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可求得∠ABC+∠1=180°，∠ABC=∠2，据此可求得∠2. 【详解】如图， ∵AD// BC， ∴∠2=∠ABC， ∵AB// CD， ∴∠1+∠ABC= 180° , ∴∠ABC= 180°-∠1=180°-70°=110° ∴∠2=110°， 故答案为: 110°. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题时注意:两直线平行，同旁内角互补． 【跟踪专练1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 【跟踪专练2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【题型20.根据平行线的性质与判定进行证明】 【典例.】如图，点分别是三角形的边上的点，，．求证：． 证明：(已知)． ∴(_________)． ∵(已知)， ∴_________(__________)． ∴______(___________)． ∴(__________)． 【答案】两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】利用平行线的性质，得到，根据已知条件进行等量代换，从而得到，即可得证． 【详解】证明：（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 故填：两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为_____，的值为_____． 【答案】 4 【分析】连结，利用直线平行的性质证明，从而得到，进而可求；作于点，作于点，利用等面积法求出，利用进行求解． 【详解】解：如图，连结， 点关于的对称点在上， ， ∵四边形是菱形， ． ， ， ， ． 作于点，作于点，则， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、正弦等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【跟踪专练3】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，故B正确； ， ，故A正确； ， ，， ， ，故C正确； ， ，故D错误； 故选：D． 【题型21.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成______度的角． 【答案】140 【分析】画出示意图，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 【跟踪专练1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 反射后的光线均平行于地面， ， ，， ． 故选C． 【题型22.平行线之间的距离问题】 【典例】如图所示，，表示直线与之间距离的是线段__________的长度． 【答案】BP 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：由图可得，a∥b，BP⊥a， ∴直线a与直线b之间的距离是线段BP的长度， 故答案为：BP． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离是解题的关键．分别作于E点，于F点，则有，根据含的直角三角形的性质，等腰直角三角形和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：如图，分别作于E点，于F点，    ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】．如图，，与的平分线相交于点P，过点P作于点E，若，则两平行线与之间的距离为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，过点作于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则，两平行线与之间的距离为的长， ∵， ∴，即， 是的平分线，，，， ， 是的平分线，， ， 平行线与间的距离为． 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，由正方形的性质得，求出，，求出，根据图形得，根据得，可得点的运动轨迹是中平行于的一条线段，取的中点，连接交于点，根据三角形面积公式求出，得到，从而求出． 【详解】解：如图， 在正方形中，，， ； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴由勾股定理得，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又 而， ∴， ∵动点P在内部及边界上运动， ∴点的运动轨迹是内部及边界上平行于的一条线段，则是等腰直角三角形，如图， 取的中点，连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P组成的图形长度为2， 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $