精品解析：江苏兴化市2026年春学期九年级假期数学学情评价

2026年春学期九年级学生假期学情评价 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题(共18分) 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 5. 杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（ ） A. 25公里 B. 28公里 C. 29公里 D. 30公里 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 若，与的面积比为，则与的周长比为_____． 8. 在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 9. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，这两名同学成绩比较稳定的是_______________（填“甲”或“乙”）． 10. 若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________． 11. 抛物线向下平移两个单位所得的抛物线函数表达式为___________． 12. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 14. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 15. 如图，直线与相切于点，点是上的一个动点，设，点到直线的距离为．若的半径为2，则与的函数表达式为___________． 16. 如图，，为的切线，切点分别为，．，，，，过点作的垂线，与分别交于点．连接，在线段上有一点（与点不重合），当为等腰三角形时，的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程或计算 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图． （1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？ （2）按照图的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选． 19. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 20. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则          ； （2）若该函数图像上有两个点,，当时，直接写出p的取值范围． 21. （1）如图1，的顶点都在上，是的高，是的直径．与相似吗？为什么？ （2）如图2，的顶点都在上，的半径为是的高，，求的长． 22. 矩形中，． （1）如图，过矩形的对角线中点作，分别交于点．若，，求的长； （2）如图，求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 24. 急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． （1）若骑行速度为，则_______，_______； （2）设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 25. 如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：； （2）如图，延长交于点，连接交于点，若． 求的值； 求的值． 26. 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是此抛物线上的三个动点． （1）如图1，当时，求直线的表达式； （2）在（1）的条件下，分别过点作轴的垂线交线段于点，若，请你从下面两个问题中选择一个进行解答： ①当时，试说明； ②当时，试说明； （3）如图2，当时，点为抛物线的顶点，直线分别交轴于点．若，试判断点是否为的中点？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级学生假期学情评价 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题(共18分) 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，根据方程的根满足方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，解得， 故选：C． 2. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】∵在中，，,， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 5. 杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用、利用相似三角形求长度，先通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，代入已知数据计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得； 故选：C． 6. 德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（ ） A. 25公里 B. 28公里 C. 29公里 D. 30公里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数．逐项分析，新增线路后，求出中位数与众数，根据题意判定即可． 【详解】解：A、若新增线路长度是25公里，则数据排序为25、26、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29．而众数仍为30（出现2次），符合题意． B、若新增线路长度是28公里，数据排序为26、28、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29，但众数变为28和30（各2次），与原众数30不一致，不符合题意． C、若新增线路长度是29公里，数据排序为26、28、29、30、30、32．第3、4个数为29和30，平均值为29.5，即中位数为29.5，不符合题意． D、若新增线路长度是30公里，数据排序为26、28、30、30、30、32．第3、4个数均为30，平均值为30，即中位数为30，不符合题意． 故选：A 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 若，与的面积比为，则与的周长比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方． 【详解】∵，与的面积比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 8. 在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同， 所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为， 故答案为：． 9. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，这两名同学成绩比较稳定的是_______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差表示数据波动的大小，比较方差的大小即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴乙的波动比较小，乙比较稳定 故答案为：乙 【点睛】本题主要考查了方差，熟记方差越大，数据的波动越大是解题的关键． 10. 若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】对于一元二次方程，两根之和为，代入对应系数计算即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴ 根据根与系数的关系得 . 11. 抛物线向下平移两个单位所得的抛物线函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据二次函数图象平移的“左加右减. 上加下减”规则，对原抛物线解析式进行变换，即可得到平移后的结果. 【详解】解：原抛物线的函数表达式为.根据二次函数图象平移规律，图象向下平移个单位时，原函数解析式整体减.本题抛物线向下平移个单位，因此平移后抛物线的函数表达式为. 12. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 15. 如图，直线与相切于点，点是上的一个动点，设，点到直线的距离为．若的半径为2，则与的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作直径，连接，证明，利用相似三角形对应边成比例可得与的函数解析式． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，，为的切线，切点分别为，．，，，，过点作的垂线，与分别交于点．连接，在线段上有一点（与点不重合），当为等腰三角形时，的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，还有线段的和差计算以及直角三角形中边长的求解．解这个题的关键首先是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用切线性质结合勾股定理建立方程求出圆的半径；其次是针对为等腰三角形的情况进行全面分类讨论． 【详解】解：∵，， ∴， 过作于， ， ， 为等腰直角三角形： ，， ， 连接，过作于， 切于点，切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 令，（为圆的半径）， 在中，， 在中，， ， ， 解得，， 即圆半径， ，， ， 点分三类讨论： 1、当时，，即Q与点F重合，这与点Q与点E、F不重合矛盾，不符合题意； 2、当时，延长到M，使， ， ， ， ， ， 连接，则， ， 过点O作于点，则， 是的切线， ， 过点作于H，则， 四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中，； 3、当时，由2中图可知，在中，， 过点作于， 由“三线合一”得，， ， ． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程或计算 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，再去掉绝对值，然后根据二次根式的加减法计算； （2）先移项，再提出公因式得出两个因式乘积等于0的形式，然后根据两个因式分别等于0求出方程的解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， 即， 则或， ∴． 18. 某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图． （1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？ （2）按照图的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选． 【答案】（1）口头表达能力和仪容仪表 （2）推荐乙同学参加 【解析】 【分析】（）根据条形统计图分析判断即可； （）求出甲、乙同学的平均成绩，进而即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，加权平均数，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，甲在口头表达能力和仪容仪表方面得分高于乙， ∴甲比乙更具优势的有口头表达能力和仪容仪表； 【小问2详解】 解：甲的平均成绩为分， 乙的平均成绩为分， ∵， ∴推荐乙同学参加． 19. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 20. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则          ； （2）若该函数图像上有两个点,，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的性质是解题的关键， （1）点在函数上，其坐标满足函数表达式，将代入即可得到值； （2）求出函数对称轴，再由题意可得点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为，由，可得，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在该函数图像上， ∴， 整理得：， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为：，开口向上， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即， 解得：或， ∴p的取值范围为：或． 21. （1）如图1，的顶点都在上，是的高，是的直径．与相似吗？为什么？ （2）如图2，的顶点都在上，的半径为是的高，，求的长． 【答案】（1）相似，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理，得到，进而得到，即可得出结论； （2）连接并延长交于点，连接，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵是的高，是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）连接并延长交于点，连接，则为的直径， 同（1）法可得：， ∴， ∵的半径为，， ∴， ∴． 22. 矩形中，． （1）如图，过矩形的对角线中点作，分别交于点．若，，求的长； （2）如图，求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）图见解析． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，从而得出，再结合矩形性质利用角角边证明，推得，最后证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点、，即可得到正方形． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，，， ，， 在中，， 又点是对角线中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，四边形即为要求作的正方形： 由作图可知，，， 矩形中，， ，， 在和中， ， ， ， 由作图可得，， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 23. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 24. 急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． （1）若骑行速度为，则_______，_______； （2）设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】（1）， （2） （3）停车距离约为． 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 【小问2详解】 解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 25. 如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：； （2）如图，延长交于点，连接交于点，若． 求的值； 求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； ． 【解析】 【分析】（1）利用边角边证明后，根据全等三角形的性质即可得证； （2）结合正方形性质证明，结合相似三角形的性质推得，由（1）中推得的得到后即可得解； 取中点，连接，利用边角边证明，得到，再利用角边角证明，结合全等三角形性质得，，再代入即可得解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 即得证； 【小问2详解】 解：在正方形中，，， ， ， ， ， 即， ， ， ； 取中点，连接， 则， 由得， ， 在正方形中，， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 26. 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是此抛物线上的三个动点． （1）如图1，当时，求直线的表达式； （2）在（1）的条件下，分别过点作轴的垂线交线段于点，若，请你从下面两个问题中选择一个进行解答： ①当时，试说明； ②当时，试说明； （3）如图2，当时，点为抛物线的顶点，直线分别交轴于点．若，试判断点是否为的中点？请说明理由． 【答案】（1） （2）①②证明见解析 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的表达式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）选择①，表示出；，再由得到，再因式分解证明即可，对于②同理可求，则，再分析求解即可； （3）抛物线为，则顶点为，可求直线，则；同理可求，，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， 化简得，， 当时， 解得或 ∵点在点的左侧 ∴，， 当时， ∴， 设直线， 则， 解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：选择① 由题意得，；， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择② 同理可求， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点是的中点，理由如下： 当时，抛物线为， ∴顶点为 设直线， ∵ ∴， 解得 ∴直线， 当时，， ∴； 同理可求， ∵ ∴ ∴点是的中点． 第1页/共1页 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