精品解析：湖南长沙市浏阳市第一中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

2026年春季浏阳一中高一入学考试 数学试卷 命题 李忠平 审题 罗移丰 总分150分 时量120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简命题p，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得， 因为， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 3. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 因为函数式奇函数，在上单调递减， 根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数， 再根据可画出函数在上的图像， 根据对称性画出在上的图像． 根据图像得到的解集是：． 故选A． 4. 已知，函数若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，求得，结合列出方程，即可求解. 【详解】由题意可得， 则，解得， 故选：B. 5. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断 【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误， 对于B，当时，，由对勾函数性质知， 而是偶函数，的值域是，故B错误， 对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增， 而是偶函数，故在上单调递减，故C错误， 对于D，当时，，即，解得，故D正确， 故选：D 6. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象求得的解析式，再结合三角函数的对称轴，对称中心，以及图象变换与解析式的关系，对选项进行逐一分析和判断即可. 【详解】由图可知，的最大值为，又，故； 又，故，又，故， 则； 根据，可得， 则， 又，故当时，满足题意，则； 对A：，故A错误； 对B：令，解得， 令，解得，故B错误； 对C：令，解得，故图象对称中心为，C正确； 对D：将的图象向左平移个单位长度后， 则得到图象对应的函数为，故D错误； 故选：C. 8. 随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（ ） A. 100倍 B. 50倍 C. 10倍 D. 5倍 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果. 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离， 则，， ，则，即， 从而，故传输距离变为原来的10倍. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C.  的一个零点为 D. 在单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，通过计算函数的周期； 对于选项B，将代入函数，若所得结果为或，则B选项正确； 对于选项C，计算，将代入函数，若结果0，则选项C正确； 对于选项D，当，则，然后分析在上的单调性. 【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确； 对于，令，可得， 故的一个零点为，故C正确； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误． 故选：ABC 10. 函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”， 可知，，则或， A：，若，解得：， 所以存在“和谐区间”； B：，若存和谐区间， 则，故在为增函数， 故，解得：， 所以存在“和谐区间”； C：，若存在和谐区间，则， 若，则，故在上为增函数， 故，得，故无解； 若，则，故在上为增函数， 同上，无解. 所以不存在“和谐区间”； D：，函数在 单调递减， 则 ， 不妨令， 所以存在“和谐区间”； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想. 11. 设函数，集合，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B 当时 C. 若，则k的取值范围为 D. 若（其中），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可. 【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确； B：时，方程无解，则，正确； 由解析式可得其函数图象如下图示： 令，开口向上且对称轴为， 若，则，即，有以下情况： 1、，： 此时，令，则在上有一个零点， ∴，可得， 2、，，由A知：. 综上：，故C错误； 若，由函数的性质及图象知：必有，. 此时，，， 所以，，所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是 ，则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换法则即可求解. 【详解】将函数的图象横坐标缩短到原来的得到函数的图象， 再向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数满足：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解. 【详解】， 则， 则 . 故答案为：. 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 【答案】64 【解析】 【分析】利用换元法可得到，再根据得到两根，利用数形结合从而可求解. 【详解】令，则，由可化为，∵，∴， 即必有两个不同的根，，且， 故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下： 由图可知，即有唯一解， 即有两个解，，且，故 ， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用换元法，设，转化为二次方程根的问题，再结合对数函数和一次函数图象与性质，最后利用韦达定理代入计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）直接代入函数解析式，再利用特殊角的三角函数值，计算可得； （2）首先利用三角恒等变换公式将函数化简为，再根据的取值范围，求出的取值范围，从而求出函数的值域； 【详解】解：（1）. （2） . 因为，所以， 所以. 16. 已知x，y都是正数，且． （1）求的最小值； （2）已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）9 （2）． 【解析】 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 ， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． 【小问2详解】 解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 17. 已知函数，若． （1）求a的值． （2）求的最小正周期（不需要证明）． （3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2013个根，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合诱导公式和特殊角的正弦值和余弦值进行求解即可； （2）利用周期的定义，结合诱导公式进行求解即可； （3）根据辅助角公式，结合换元法、正弦型函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 令，得 ，得． 【小问2详解】 ， 所以为函数的一个周期， 若函数的最小正周期为，且， 则，故， 所以， ， 所以，故， 但，矛盾， 所以的最小正周期为． 小问3详解】 当时，， 设，， 则， 于是， 令，解得或，均在区间内， ，或，或，其中． 当时，． 设，， 则，于是， 令，解得或，均不在区间内， 故在时没有实根． 综上讨论可得在上有4个根，而，在内有2013个根，故存在，使得在区间内恰有2013个根． 18. 已知函数，. （1）当，时，求满足的x的值； （2）当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得的值. （2）化简不等式，利用换元法、分离常数法，结合函数的单调性求得的取值范围，进而求得的最大值. 【小问1详解】 因为，时，， 又因为，所以 所以，所以，即； 【小问2详解】 ，，所以 所以， 故， 因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，所以， 又因为 由对勾函数的单调性可知，时y有最小值， 所以，所以， 所以m的最大值为. 【点睛】求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑直接分析法，也可以考虑分离参数法进行求解.求解分式型式子的最值，可以考虑换元法、判别式法等方法进行求解，解题过程中往往需要结合函数的单调性、基本不等式、二次函数的性质等知识. 19. 对于函数，，，若存在实数a，b使得，则称为，的生成函数． （1）设函数，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数t的取值范围； （2）设函数，，能否由，生成一个函数，满足①是偶函数；②在上的最小值为，若能生成，求函数的解析式，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）由定义及对数的性质得出，再由换元法及对数函数的单调性即可求解； （2）设，根据是偶函数得出，再由换元法及函数单调性，结合在上的最小值即可求解． 【小问1详解】 由题意，，，， 则， 不等式在上有解， 等价于在上有解， 令，则，由， 所以，即实数t的取值范围为． 【小问2详解】 设，则， 由，得，整理得， 即，即对任意x恒成立，所以， 所以 ， 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知y在单调递减，上单调递增， 所以在单调递增， 所以，且当时取到等号， 所以， 又在区间的最小值为， 所以，且，此时，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季浏阳一中高一入学考试 数学试卷 命题 李忠平 审题 罗移丰 总分150分 时量120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，函数若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根 6. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 8. 随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（ ） A. 100倍 B. 50倍 C. 10倍 D. 5倍 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C.  的一个零点为 D. 在单调递减 10. 函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，集合，则下列命题正确是（ ） A. 当时， B. 当时 C. 若，则k的取值范围为 D. 若（其中），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是 ，则函数的解析式为_________． 13. 已知函数满足：，则______． 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值域. 16. 已知x，y都正数，且． （1）求的最小值； （2）已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数，若． （1）求a的值． （2）求的最小正周期（不需要证明）． （3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2013个根，若存在，求出n值，若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，. （1）当，时，求满足的x的值； （2）当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 19. 对于函数，，，若存在实数a，b使得，则称为，的生成函数． （1）设函数，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数t取值范围； （2）设函数，，能否由，生成一个函数，满足①是偶函数；②在上的最小值为，若能生成，求函数的解析式，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $