巧用递推数列求概率问题策略讲义-2026届高三二轮专题复习

巧用递推数列求概率问题策略 当今的高考是以能力立意取代知识立意为宗旨，以不断创新并全面体现素质教育为导向，以充分考查学生综合应用知识解决问题的能力为目标.因此，在知识网络的交汇点处设计试题成为高考命题的新特点和总趋势.概率与数列知识既是高中数学的重点内容，又是高考试题考查的热点问题，若将两者自然有机地交汇融合在一起，定会使数学问题的情景新颖别致、妙趣横生、令人耳目一新.下面笔者列举几例进行分类解析，旨在探索此类题型的特点和规律，揭示其解题方法. 一、以现代游戏形式为背景 例1某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是.从按钮第二次按下起，若前次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第次按下按钮后出现红球的概率为.(1)求的值；(2)当时，求用表示的表达式；(3)求关于的表达式. 解析：(1)若按钮第一、第二次按下后均出现红球，则其概率为；若按钮第一、第二次按下后依次出现绿球、红球,则其概率为；故所求概率. (2) 由于第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为.从而有：若第次、第次按下按钮后均出现红球，则其概率为；若第次、第次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为.故. (3) 由，得对恒成立，故数列构成以为首项，以为公比的等比数列；于是，即. 评注：理解游戏规则，抓住从按钮第二次按下起，每次出现“红球”事件与“绿球”事件为一对立事件，寻求与的递推关系式，最后化归数列问题求解. 二、以现实生活方式为背景 例2某人上楼梯，每步上一阶的概率为，每步上二阶的概率为；设该人从台阶下的平台开始出发，记到达第阶台阶的概率为.(1)求的值；(2)求证：；(3)求的表达式. 解析：(1)依题意有. (2) 因到达第阶楼梯有两种情况：从第阶走一步上二阶到达，其概率为；从第阶走一步上一阶到达，其概率为.故. (3) 由，得对恒成立，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，得；而，即. 评注：本题关键要理解是表示“从台阶下的平台开始出发到达第阶平台的概率”；到达第阶平台有两种可能：既可从第阶一次上二阶到达，也可从第阶一次上一阶到达；正确寻找与、的递推关系是解决本题的关键步骤. 三、以质点运动姿式为背景 例3质点起初位于数轴处，且它只在和两处之间移动.其运动规律满足：当在处时，经1秒钟后必移动到处；当在处时，经1秒钟后分别以的概率停留在处或移动到处.求经10秒钟后质点在处的概率. 解析：设经过秒钟后质点在处的概率为，则经秒钟后在处的概率为，且有.由于经过秒时，质点在处有两种情况：①第秒在处，经1秒后仍停留在处的概率为；②第秒在处，经1秒后必移动到处的概率为.则有，即得，故数列是以为首项，以为公比的等比数列；则，即；故经秒钟后质点在处的概率为. 评注：本题若直接求解将会显得十分繁杂，而通过寻求与的递推关系并转化为求数列的通项，反而使问题轻松获解；另外，本题也综合考查了必然事件、相互独立事件、对立事件(或互斥事件)等概率的计算方法，并能熟练应用概率知识与数列知识解决实际问题的能力. 四、以立体几何模式为背景 例4已知正四面体的棱长为米，今有一小虫从顶点处开始按以下规则爬行：在每个顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这条棱的另一个顶点处，然后重复上述过程再继续爬行.记小虫爬行了米后,重新回到点的概率为. (1) 求和的值;(2)求的表达式. 解析：(1)易求；因小虫爬行米后重新回到点，即表示小虫由顶点出发沿某一条棱爬行到此棱另一顶点处，然后再返回到点；故. (2)为使问题研究方便，不妨设小虫爬行米后到达点的概率为.则由点再爬行到点的概率为；由点再经点并到达点或由点再经点并到达点的概率为.于是将上述两式消去得，即数列构成以为首项，以为公比的等比数列；从而，故. 评注：本例解题的关键是要理解“小虫重新回到点”的含义，其意思为“从小虫起初离开点后，第一次再回到点并终止爬行.”；另外，为建立与的递推关系式，在这里巧设小虫爬行米后到达某一非点(如点)的概率为，通过这个纽带就能很顺利地找到问题解决的思路和方法.当然，对于时，也可以用下列解法求：若无限制条件，每次爬行有种方法，则次爬行共有种方法；而在限制条件下，由爬行到非有种方法，由非爬行到非共有次且每次有种方法，由非爬行到仅有一种方法；故有. 总结点评：我们看到上述几例充分体现了概率内容与数列内容在相关知识网络交汇点处的完美组合，试题构思新颖、设计精巧，具有很强的综合性和创新性.解答此类题型的关键是：首先要审清楚题意，把握住事件之间的概率类型(相互独立事件，互斥或对立事件等)；其次要善于发现诸事件在时与在或时的概率递推关系式，然后化归为由数列递推式求出其通项，从而使问题完美得到解决. 学科网（北京）股份有限公司 $