第二十七章相似单元培优卷-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 单元培优卷 一、单选题 1．如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，且满足，点是上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 2．已知，且相似比为3，若，则为（   ） A．2 B．9 C．18 D． 3．如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G，M．有下列三个结论：①垂直平分；②；③．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，四边形和相似，则和的大小分别为（    ） A．  30 B．  33 C．  30 D．  33 5．如图，在中，点D，E分别是边，上点，且，若，则四边形的面积为（      ）    A． B． C． D． 6．如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，连接、，和相交于点O，设，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．按如下方法，将△ABC的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（　　） ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF的周长比为1：2  ； ④△ABC与△DEF的面积比为4：1． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点、、分别在、、上，，交于点，已知与的距离为1，与的距离为3，则的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则_______； ②若，则四边形的面积最大值为_______． 10．如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，，BE交对角线AC于点F．则＝_____． 11．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 12．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 13．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2．以点C为位似中心将△ABC按：1放大，A、B的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为_____． 三、解答题 14．如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F． (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论． 15．如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点．求证：． 16．如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为 ． 17．如图，李林欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔30米（的长），已知李林的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 18．如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．    (1)求的长； (2)求点E到地面的高度的长． 19．如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点．当，时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十七章 相似 单元培优卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A D C B C A 1．A 【分析】如图，过点作，交于点，连接，先证明，得到，，根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，得到四边形为平行四边形，从而得到，确定当三点共线时，取得最小值，再利用勾股定理求出AG即可． 【详解】解析：如图，过点作，交于点，连接． ∵， ∴， ∵ ∴． ∴， 又∵， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 连接，交于点．当三点共线时，取得最小值，此时点与点H重合， ∵，CD=AD=， ∵， 即的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的应用等知识点，解题的关键是通过证明四边形为平行四边形，确定当三点共线时，取得最小值． 2．A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】证明，可判定①正确；先证明，得，可证，故②正确；根据，可得，故③错误． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，故③错误． 综上所述：①②正确， 故选A． 4．D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出对应角相等及对应边成比例即可得出答案． 【详解】由图可知，，，，，，， 四边形和相似， ，, 即, , 故答案为：D． 5．C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据，得到，在根据相似三角形面积比等于相似比平方得到，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】根据正方形的性质得到条件，利用即可证明，即可判断① ；延长交于点H，由，则，又由，得到，则，即可判断②；证明，则，即可判断③；证明，利用正方形的性质得到，则，利用相似三角形的性质即可得到，即可判断④．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定等知识，证明、、等是解题的关键． 【详解】①∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； ②延长交于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ∴． 故②正确； ③∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是错误的． 故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：B． 7．C 【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形， ②△ABC与△DEF是相似图形， ∵将△ABC的三边缩小的原来的， ∴△ABC与△DEF的周长比为2：1， 故③选项错误， 根据面积比等于相似比的平方， ∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1． 故选C． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度，熟悉位似图形的性质是解决问题的关键． 8．A 【分析】作于点，于点，设与相交于点，易证得．利用平行线间的距离，算出AG、CE、CF、BG，利用，解得，算出，得到 【详解】解：如图，作于点，于点，设与相交于点，易证得 ．由于与的距离为1，与的距离为3，则， ，，， ．因为，所以，则， 解得，则，所以． 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，本题关键在于充分理解平行线性质和利用三角形相似解题 9． / / 【分析】（1）证明点G是的重心，可得结论； （2）由为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴点G是的重心， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵为等边三角形． ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴当是直径时，四边形的面积最大， 最大面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 10． 【分析】据平行四边形的性质可得出CD∥AB，CD＝AB，由可得出CE＝AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB． ∵点E在CD上， ∴ ∵CD∥AB， ∴△CEF∽△ABF ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质找出△CEF∽△ABF及CE＝AB是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可． 【详解】解：只需添加条件使，证明如下： 因为，则， 当，则（两组对应角相等的三角形相似）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键． 13．4或2 【分析】利用直角三角形中30°所对的边与斜边的关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用位似图形的性质得出A′C，CB′的长，再利用旋转的性质得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2， ∴BC＝1，AC＝， ∵以点C为位似中心将△ABC按∶1放大， ∴CB′＝，A′C＝3， 当将△A′B′C绕点C顺时针旋转90°， 则PB＝PC－BC＝3－1＝2， 当将△A′B′C绕点C逆时针旋转90°， 则P′B＝P′C＋BC＝3＋1＝4， 综上所述：点P与B之间的距离为4或2． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换、勾股定理等知识，正确进行分类讨论得出是解题关键． 14．(1)证明见解析 (2)FG=3EF，证明见解析 【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形． （2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF． 【详解】（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角， ∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE． ∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED， ∴∠CBE=∠ABE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD． ∴∠CBE=∠ABE=45°． ∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形． ∴AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：当AE=2EF时，FG=3EF．证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE．△ADF∽△GCF， ∵AE=2EF， ∴BE：DE=AE：EF=2． ∴BG：AD=BE：DE=2，即BG=2AD． ∵BC=AD， ∴CG=AD． ∵△ADF∽△GCF， ∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，熟知相关知识是解题的关键． 15．见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，进而可得，再利余角的性质得，可证，得，即可证明结论，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴中，， 又∵中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，然后利用两角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： 17．信号发射塔的高度为28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定可证明，再根据相似三角形的性质得出，然后将相应值代入即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 即， 解得（米）． 答：信号发射塔的高度为28米． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键． （1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案； （2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案． 【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角， ， ， ， ， 即， 解得：， 答：的长为； （2）由题意可得：， ， ， ， 解得：， 答：点到地面的高度的长为． 19．（1）证明见解析（2）． 【分析】（1）先根据“AAS”证，可得，结合可得四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形得进而可证得四边形是菱形； （2）先根据，求得，，进而可求得，再利用勾股定理求得，最后根据可得，由此即可求得BG的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：∵在矩形中， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在菱形中， ∴， ∴在中， ， ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、含30°的直角三角形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例，熟练掌握相关图形的性质及判定以及平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $