经典模型专题3 相似三角形的基本模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

经典模型专题③ 相 模型1A字型及其变形 、模型展示 图形 0 特征 DE∥BC ∠AED=∠C ∠ABD=∠C ①△ABDC∽△ACB: △ADE∽△ABC→ 结论 AD AE DE ②AD-AB DB AB ACBC AB AC BC ③AB2=AD·AC 1.(2024·阜阳太和二模)如图，在△ABC中，BD平 分∠ABC,DE∥BC交AB于点E.若AB=6, BC=4,则DE的值为 A.2.4 B.3 C.3.6 D.4.8 2.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上， EF⊥BD于点F若AB-1 BC=2,EF=1,则DE的 长为 3.如图，在△ABC中，D是边AB上的一点，且 AB=√2AC=2AD,CD=2,则BC的长 为 28一本·初中数学9年级下册RJ版 似三角形的基本模型 4.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∠BDC的平分线分别交AC,BC于点M,E, 连接OE,且OE⊥BD, (1)求证：△ECD∽△DCB; (2)若AB=6,AD=9,求△C的值. S△BOE 模型28字型及其变形 模型展示 图形 D DA 特征 AB∥CD ∠A=∠D △AOB∽△COD→ △AOB∽△DOC→ 结论 AO BO AB AO BO AB CODO CD DO CO DC 5.如图，已知∠ADE=∠AFB,BD=6,CF=4, DE=3,则EF的长为 第5题图 第6题图 6.如图，在边长为1的正方形网格中，A,B,C,D 均为格点，连接AB,CD相交于点E,则AE的 长为 7.(2024·芜湖无为模拟)如图，在□ABCD中，E,F 分别为AB,BC的中点，AF与DE相交于点 AG G,则 G的值是 8.如图，在△ABC中，BE,CD分别是边AC,AB 上的高，连接DE.求证：△ADEp△ACB. 模型3双垂直型 模型展示 图形 B D 特征 ∠BAC=90°，AD⊥BC ①△ABC∽△DBAp△DAC; ②AB=BD·BC; 结论 ③AC2=CD·BC; ④AD=BD·CD 9.如图，AB⊥AC,AD⊥BC.已知AB=6,BC= 9,则BD= AD= AC= 10.在△ABC中，∠C=90°，A(-1,0),B(3,0), 点C在y轴上，则顶点C的坐标为 11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的 直径，BC与过点A的切线EF平行，BC,AD 相交于点G (1)求证：AB=AC; (2)若DG=BC=16,求AB的长. D E 模型4手拉手旋转型 ·模型展示 图形 △AOBp△COD,且绕公共顶点O旋转，简记为 特征 “共顶点，顶角相等，旋转得相似” ①△AOC∽△BOD; ②AC0c_OA 结论 BD ODOB ③两条拉手线AC,BD所在直线的夹角与 ∠AOB相等或互补 12.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 8,BC=6,D是AB上一点，且AD=2,过点 D作DE∥BC交AC于点E.将△ADE绕点 A顺时针旋转到图2的位置，连接BD,CE, 则图2中 BD E的值为 图 图2 第二十七章相似29 13.(1)如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD= ∠CAE,∠ABD=∠ACE. ①求证：△ABC∽△ADE; ②若AB=AC,试判断△ADE的形状，并说 明理由 (2)如图2，若∠BAC=∠DAE=90°，∠B= ∠ADE,求证：CE⊥BC 图2 模型5一线三等角型 ·模型展示 (1)一线三等角模型（同侧型） 个3 3 B C D 图形 钝角型 锐角型 直角型 (2)一线三等角模型（异侧型） B 2 特征 ∠1=∠2=∠3 结论 △ABC∽△CDE 特例 0 当C为BD的中点时，△ABCC∽△CDE∽△ACE 30 一本·初中数学9年级下册RJ版 14.(2024·宿州萧县一模)如图，在正方形ABCD 中，E,F分别是边AB,BC上的点，且DE⊥ EF若F-专则能的值为 AE () B 1 A.1 .2 15.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AC 上，连接AD,DE,且∠B=∠ADE=∠C. (1)求证：△BDA∽△CED; (2)若∠B=45°，BC=2,点D在边BC上运 动（点D不与点B,C重合），当△ADE是等 腰三角形时，求此时BD的长 备用图∴.△ABC∽△BDC 12.人cm或3cm或4cm 第3课时两角相等判定三角形相似 1.D2.∠Q=∠PNM(答案不唯一) 3.证明：∠1=∠2， ∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE. 又∠B=∠D, .∴.△ABCC∽△ADE」 4.证明：由圆周角定理，得∠ABD=∠ACD. I∠AEB=∠DEC, ∴.△ABE∽△DCE, .AE_BE DE CE' AE·CE=DE·BE. 5.D6.10 7.解：(1)证明：AD是斜边BC上的高， .∠BDA=90°. ∠BAC=90°，∴∠BDA=∠BAC. 又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA. (2)3.6 8.A9.A10.13 11.解：(1)证明：BD=BE, ∠BDE=∠BED. :∠BDE+∠ADC=180°=∠BED+∠BEC, ∴.∠BEC=∠CDA. ,∠ACB=∠BED,∠BED=∠EBC+∠BCE, ∠ACB=∠ACD+∠BCE, ∴，∠EBC=∠DCA,∴.△BEC∽△CDA. (2)35-3 2 12.证明：(1)，△ABC是等腰直角三角形， .∠B=45°， ∴.∠BME+∠MEB=135°. :△DEF是等腰直角三角形， .∠DEF=45°， .∠NEC+∠MEB=135°， ∴.∠BME=∠NEC. 又∠B=∠C=45°， ∴.△BEM∽△CNE. (2)与(1)同理，得△BEMp△CNE, 柴餵 BE-EC..EC-ME.EC_CN CN=EN'…ME-EN 又.∠ECN=∠MEN=45°， .△ECN△MEN 经典模型专题3相似三角形的基本模型 1.A2.W53.2√2 ·答 4解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OB=OD. OE⊥BD,.OE是BD的垂直平分线， .BE=DE,∴.∠EBD=∠BDE. DE平分∠BDC,∴∠CDE=∠BDE, ∴∠CDE=∠DBC. 又，∠DCE=∠BCD,.△ECDn△DCB. 4 (2)5 526g 1.3 2 8.证明：BE,CD分别是边AC,AB上的高， .∠ADC=∠AEB=90°. :∠DAC=∠EAB,∴.△ABE△ACD, AE AB.AE AD AD-ACAB-AC 又∠A=∠A,.△ADE∽△ACB. 9.4253√510.(0，√3)或(0，-√5) 11.解：(1)证明：EF是⊙0的切线， .AD⊥EF. BC∥EF,.AD⊥BC. AD是⊙O的直径，∴.AB=AC, ∴.AB=AC. (2)4√5 4 12.6 13.解：(1)①证明：：∠BAD=∠CAE,∠ABD= ∠ACE, △MBD△AcE.2-0得e ∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, ∴.△ABC∽△ADE. ②△ADE是等腰三角形.理由略 (2)证明：∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE, ∴.△BACC∽△DAE, 8报是0 :∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD∽△CAE,∴∠B=∠ACE. ∠BAC=90°，∴.∠B+∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠ACB=90°， .∠BCE=90°，∴.CE⊥BC. 14.A 15.解：(1)证明：：∠ADE+∠ADB十∠EDC= 180°，∠B+∠ADB+∠DAB=180°，∠B=∠ADE, 3· .∠EDC=∠DAB, 又∠B=∠C,.△BDAp△CED (2)∠B=45°，.∠B=∠ADE=∠C=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形，∴.∠BAC=90° BC=2,∴由勾股定理，得AB=AC=√2. 分三种情况： ①若AD=AE,则∠ADE=∠AED. ∠ADE=45°，.∠ADE=∠AED=45°， .∠DAE=90°，此时点D与点B重合，不符合题意 舍去. ②如图1，若EA=ED,则∠EAD=∠EDA=45°. ∠BAC=90°，∴.∠BAD=∠EAD=45°， ∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC, .BD= 2Bc=1. 图1 图2 ③如图2，若DA=DE,则∠DAE=∠DEA 由(1)可知，∠EDC=∠DAB,∠B=∠C, ∴.△BDA≌△CED(AAS), .AB=DC=√2， .BD=BC-DC=2-√2. 综上所述，BD的长为1或2一√2， 27.2.2相似三角形的性质 1.B2.1:33.84.2 5.B6.0 7.8cm,10cm8.D9.B10.211.54 12.A【变式】C13.B14.1：9 15.(1)2(2)6 16.乙木匠的加工方法符合要求 重点题型专题4相似三角形中 比例式和等积式的证明 1.证明：AB=AC,BD=CD, ∴.AD⊥BC. ,CE⊥AB,∴.∠BEC=∠BDA=90°. ∠B=∠B,∴△BCE∽△BAD, ÷85BD:BC-BE,aM 2.证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB ∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACB. ∠BAE=∠CAB,.△EABn△BAC, 能福提器 又：AB=AD,AEAD AB AC 3.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠D ,AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=∠AFD=90°， ,∴.△ABEC∽△ADF (2)由(1)，知△ABE∽△ADF, 铝船。 想把 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AB∥CD,AB=CD, 搬船 :AB∥CD, ∴∠BAF=∠AFD=90°， ∴.∠EAF+∠BAE=90. :∠AEB=90°，∴.∠B+∠BAE=90°， ∴∠EAF=∠B, ∴.△AEF∽△BAC, 服熙 AB-CD,CD-AC AE EF 即CD·EF=AC·AE 4.证明：(1)'∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠CFD, ∠E=∠C. ∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC, .AD_AE AB AD AB-ACAC-AE .AF AB (2)AB2=AF·AC,AB-AC :∠FAB=∠BAC,.△AFB∽△ABC, 8腿 .是0…祀。 ∴.AD·BC=AE·BF. 教材变式专题5三角形内接矩形问题 解：四边形PQMN是正方形， ∴.PN∥BC,PN=PQ=QM=MN, ∴.△APN△ABC. AD是△ABC的高， ∴.AE是△APN的高， 欲怨 设PN=PQ=QM=MN=tm. .'BC=10 m,AD=6 m, .0 6,解得1=3.75， t 6-t ∴.加工成的正方形零件的边长为3.75m. 答案4·