1.3 直角三角形 随堂练习-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3 直角三角形 随堂练习 一、单选题 1．如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 4．给出下列四个结论：任意命题均有逆命题当逆命题为真命题时，它统称为逆定理任何定理均有逆定理定理总是正确的，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 6．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．在任意的一个直角三角形中，它的两个锐角一定满足的关系是（   ） A．不相等 B．互余 C．相等 D．互补 8．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 二、填空题 9．如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 10．如图，，，垂足分别为，若用“”证明还需添加的条件为___________． 11．如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 12．如图，中于D，于E，则与的关系是________ 13．如图，是斜边AB上的高，，则______ ， ______． 三、解答题 14．如下图，，于点，于点，．求证：． 15．如图，，，且，求证：． 16．已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 17．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 18．如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明； （2）求这块土地的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 直角三角形 随堂练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D A B B C 1．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．A 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．先由，证明，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，则． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 故选：． 3．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了命题与定理，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的概念和它们的关系是解题的关键．根据命题与逆命题、定理与逆定理的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：①任何一个命题都有逆命题，故①正确； ②当逆命题为真命题时，它的原命题可能是假命题，也可能是真命题，故②错误； ③只有一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理，故③错误； ④定理总是正确的，故④正确， 所以正确的有：①④． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查互余关系，根据直角三角形的两个锐角之和为90度，即可得出结论． 【详解】解：∵在任意的一个直角三角形中，它的两个锐角的和一定为90度， ∴两个锐角一定互余； 故选：B． 8．C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意； D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 9．①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ①∵，，∴，符合题意； ②∵，，，∴，不符合题意； ③∵，∴，∴，∵，∴，符合题意； ④∵，，∴，符合题意． 故答案为：①③④． 10． 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键．根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴根据“”证明需添加， 故答案为：． 11．/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13． /30度 /60度 【分析】根据直角三角形中两个锐角互余即可解得． 【详解】解：在中 ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， 故答案为：， 【点睛】此题考查了直角三角形中两个锐角的关系，解题的关键是熟记直角三角形中两个锐角互余． 14．见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 15．见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 16．见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【详解】证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 18．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC； （2）根据两个直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m， ∵BC=13m，CD=12m，BD=5m. ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， 即BD⊥DC； （2）如图，四边形ABCD的面积是 S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是用勾股定理逆定理推出直角三角形，再求三角形面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $