函数与方程，函数的模型与应用讲义-2026届高三数学一轮复习（解锁“高考数学学科素养”专题系列）

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——15函数四大基本思想之一——函数与方程，函数的模型与应用 函数对其它知识有广泛的应用，而函数的零点就是其中的链接点.它从不同的角度，将数与形，函数 与方程有机的联系在一起,构建函数以及函数模型更是解决一些具体问题的有理工具. 用函数的观点看待方程、不等式、代数式，使静止问题转化为用动态的观点看待方程、不等式、代数式，尤其把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程的根就是求函数的零点. 解锁一：函数与方程的本质属性 1.函数零点的概念: 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2.解锁定义 (1)为什么教材没有给出“函数与方程”的定义？ 函数与方程式数学中的两个核心概念，它们既有本质区别，又存在深刻的内在联系.函数的本质是描述变量之间的对应关系，方程的核心则是含有未知数的等式。从定义上看，函数强调的是变量之间的动态对应关系，而方程则侧重于求解未知数的静态等式；从研究对象上看，函数研究的是变量之间的依赖关系，而方程研究的是未知数的具体值；从变量关系上看，函数中的变量关系是单向的，即自变量决定因变量，且每个自变量对应唯一的因变量，方程中的变量关系可以是多向的；从求解方式上看，函数的求解通常涉及分析其性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。方程的求解则是通过代数运算找到未知数的值.这里我们关注的是联系,即研究函数与对应的方程的公共点“函数的零点”与“方程的根”. (2)本节内容不排除引进函数与方程的思想. 函数思想:用运动、变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，即静(参数)中求动(变量)，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象、性质分析问题，转化问题，使问题获得解决. 方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系，即动(变量)中求静(方程)，研究运动中的不变量，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决． (3)函数零点与方程根的关系 联系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.因此，实数是函数的零点是方程的根； 区别: ①书写形式：“”、“ ”； ②对于多项式方程的重根的个数按重复计算，而重根叫做 一个零点； ③对象不同，一个是函数，一个是方程. 3.函数零点存在性的判定方法: (1)零点存在性定理； 说明：零点存在性定理的具体内容是：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个也就是方程的根. (2)观察法：利用函数的性质观察出方程的根； (3)图象与轴交点； (4)分离为两个函数的图象交点问题. 探点.①函数的零点个数为 ； ②在下列区间中，函数的零点所在的区间为 解①探究1(观察法):因为函数是增函数，且 ，所以函数零点个数为 ; 探究2（零点存在定理）： ，由零点存在性定理知，函数至少有一个零点，又函数单调递增，所以函数零点的个数为； ②探究1：因为，所以所以的零点所在的区间为，故选. 探究2:由得，设.利用函数图象的几何特征可知选. 4.重要结论： (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. (3)周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 5.函数零点个数的判定方法 (1)一元二次法; (2)分解因式求根法; (3)函数性质结合零点存在定理法; 探点.若函数在区间上是增函数，且，则方程在区间内 至少有一个实根 至多有一个实根 没有实根 必有唯一的实根 探究：选. (4)分离为两个函数的图象交点. (5)导数法. 说明: ①用图形法要注意函数的定义域、单调性、凸凹性、连续性、指数爆炸； ②方法选择要灵活. 探点1.判定下列函数零点的个数 ❶ ❷ ❶探究: 图形法，注意指数爆炸，零点有个； ❷探究 1(图形法):令，则，作出函数的图象可知有一个交点，所以函数的零点有且只有一个. 探究2 (函数性质法):单调递减，且图象连续，又 ，所以，由零点存在定理知函数的零点有且只有一个. 探点2.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是(　　) 探究:设函数图象上一点关于轴的对称点在函数的图象上,则，即,得 .令,则 在上有解.因为,故在上为增函数,则,从而有,故选. 探点3.已知函数，记，若函数不存在零点，则实数的取值范围是 探究:选.当时，，不存在零点，此时恒成立，所以，解得 ；因为在上单调递增，所以， 恒成立，即恒成立，即；同理可得恒成立，所以，即无实根，函数，不成立零点，综上，实数的取值范围是. 探点4.已知函数则零点的个数为 ；若是函数的一个零点，则 探究:,分类讨论可知，所以在单调递增，而，所以只有的一个零点，且零点在，所以. 6.零点唯一性的判定方法 (1)利用函数的单调性； (2)配方法； (3)利用函数图象关系； (4)利用导数，搞清函数图象的走向. 探点.已知函数有唯一解，则实数的值为 探究:令，则，函数与函数 的图象均关于对称，因为方程有唯一解，所以只能在处取到，而时，所以，，解得 ，故选择. 悟惑:一般地，函数的图象关于对称. 7.求函数零点的方法 (1)代数法: ①分解因式求根; ②配方开方; 探点.函数的零点为 . 探究:因为，所以方程的实根为，所以所求函数的零点为. ③利用函数单调性或奇偶性求根； (2)几何法： 通过观图预测，再进行验证. ①画一个函数图象，研究其与轴的交点； ②画两个函数的图象研究两个函数图象的交点. 8.零点的逆向问题 探点1.已知函数在上有零点，则的取值范围为 . 探究1(值域法):由得，若，则，从而 ，设，则，所以在 ，所以的取值范围为或. 探究2(根的分布):若，则，仅有一个零点；设，则 或，解得或或,综上的取值范围为 或. 探究3(求补):繁. 探点2.已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 答案： 9.复合函数零点的结论 若函数在定义域内是单调递增函数，则有 (1)有解等价于有解； (2)有解等价于有解； (3)无解等价于无解； (4)无解等价于无解. 探点1.已知函数，若方程无解，给出下列命题： ①方程一定无实根； ②若，若不等式对一切实数恒成立； ③若，则必存在实数，使； ④若，则不等式对一切实数恒成立，其中正确命题的序号为 . 探究: ①方程一定无实根的充要条件是对任意实数都有,即,由一元二次函数的图象性质知当时，当时，.若,则 ，若，则，所以方程一定无实根，即①正确； ②若，则恒成立,所以不等式成立； ③若，则恒成立,所以不等式成立，所以不存在实数，使.； ④若，则，可知，所以恒成立. 故正确命题的序号为①②④. 探点2.若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 探究:设是方程的一个实数解，则，所以，设，则上式变为，所以至少有一个实根,选项中的函数均符合条件，而无实数解，故选. 10.零点分布的解题策略 (1)求根法 探点.若关于的方程的两个实根均在上，则实数的取值范围 为 . 探究1(求根法):已知方程可变为,所以已知方程的两个实根分别为 ,由同意知,解得,故所求实数的取值范围为. 探究2(图象法)：设函数，则由题意知 ，解得 ，所以所求实数的取值范围为. (2)二分法 (3)两条曲线的交点 (4)图象法. 特例：一元二次方程根的分布的常见类型及其图象解法. 结论1:， ,或.如图(1); 结论2:，,或.如图(2); 结论3: ,或.如图(3); 结论4:① ，,且,或.如图(4); ②，,且,或.如图(5); 一元二次方程的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且,为常数.则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干结论. （Ⅰ）为一个值 结论1:.如图(6); 结论2:.如图(7); 结论3:.如图(8); （Ⅱ）为两个值（） 结论4:（或）.如图(9); 结论5:.如图(10); 结论6: 或. 如图(11); (Ⅲ)为三个值（） 结论7:,或. 如图(12); (Ⅳ) 为四个值（） 结论8: .如图(13). 探点1.已知函数，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 . 探究:由知表示过两点和的直线的斜率，所以，且当满足 时，才可以去正整数.若，则已知不等式变为，解得，可取无数多个整数，不符合题意；若，则已知不等式可变为,可取无数多个整数,不符合题意;若，则已知不等式可变为，要使关于的不等式有且只有两个整数解，只需，解得 ，故实数的取值范围是. 探点2.已知二次函数. (1)若，且，试证明必有两个零点，若两个零点为，求的取值范围； (2)若对且，方程有两个不等实根，证明必有一实根属于． 证明：(1)因为，所以.又因为，所以，即.所以，所以方程有两个不等实根，所以函数有两个零点．由，及知，所以.因为是函数的两个零点，所以，所以 .因为，所以,故的取值范围为. (2)设，则.因为 ，所以，所以必有一实根属于，即方程有两个不等实根，证明必有一实根属于． 11.零点的应用 (1)求、设多项式函数的解析式； (2)求函数的定义域； (3)解不等式或判定符号； (4)与方程根个数有关的问题； (5)利用函数的零点研究方程的根； (6)曲线交点 探点.设，若关于的函数在上有零点，求的取值范围． 探究1:令，则.所以 ．因为，所以.所以即. 探究2：因为．所以．所以，解得，即．又因为，所以，解得 ，即. 3.函数与方程的本质属性 函数的本质是一种数学模型，它描述了两个集合之间变量间的“单值对应”映射关系，强调动态依赖，核心是变量关系。方程的本质是表示两个函数式相等的等式，无变量对应关系的限制，方程侧重静态等式的求解，核心是等式成立的条件. 解锁二：二分法 1.二分法的定义: 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法 2.给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： (1)确定区间，验证，给定精度ε； (2)求区间的中点； (3)计算:若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）； (4)判断是否达到精度 ；即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤． 说明: ①不等式成立的最小正整数即为取中点的次数，即利用二分法求值时，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一值. ② “精确度”与“精确到”是两个不同的概念,精确度是区间的长度要求,最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的值满足条件即取近似值之后相同，此时四舍五入的值即为零点的近似解. 探点.用二分法求函数 的一个零点，其参考数据 如右：据此数据，可得的一个零点的近似值(精确到)为________． 探究: ③方程的根是函数零点的准确值，必须利用解方程的手段求解，若求近似解，则不必去解方程，而用二分法. 探点.若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 探究:令分两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数有两个不同的零点，则函数的图象有两个不同的交点，根据画出的图象只有当时符合题目要求,故实数的取值范围是. ④二分法研究零点的分布，即方程根的分布，因此，两条函数图象的交点范围就可以类比二分法. 探点.曲线与的交点横坐标的取值范围为（精确度为） 探究:由图象，借用二分法的思想，可知选 解锁三：求解函数与方程问题的原则 1.求解函数与方程问题的原则 第一步:先明确研究对象； 第二步:寻找变量或参数的取值条件； 第三步:是否可利用函数或方程的有关理论易于求解？ 第四步：是，直接求解；否，先分离构造一个函数，后整合构建两个函数，最后重组成函数方程求解.； 第五步:回答问题. 探点1.若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的范围为   . 探究:题目给出的方程中含有等多个字母，而条件中是对任意的都有，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于的函数，再进一步研究函数的性质.由区间的定义知 ，解得.由已知，得,，函数为反比例函数在 上为单调递减，所以其值域为，因为对于任意的,都有 所以，整理得，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为 探点2.,若关于的方程有解，则的取值范围为 . 探究:分离求值域不易，构造函数方程有解.已知方程可变 ,即, 可求得的取值范围为. 探点3.在上有解，则实数的取值范围为 . 探究:已知方程可变为，解得或.因为，所以，所以或，解得，故实数的取值范围为. 题思: 重组成函数方程常见类型有：对数之积，指数之和，方式方程等. 2.利用模拟函数研究问题的原则 第一步:搞清研究对象； 第二步:确定相关量的条件； 第三步：判定是否已知函数解析式？ 第四步：是，先用相同的已知数据待定出函数解析式，后用剩余的相同数据检验误差的大小，小者为佳;否，先画散点图，后选择函数模型，再用待定系数法求函数模型，最后检验，若符合实际要求，可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际要求，则继续选择函数模型，重新操作过程. 第五步：回答问题. 探点.在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表： 则对最适合的拟合函数是 探究:画散点图可知，选. 变式:在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表： 则对最适合的拟合函数 ，恰当函数 ？ 探究:用前三组数据待求解析式，用第四组数据检验误差最小的为佳. 3.解函数应用题的解题原则 第一步:搞清做什么事？怎样才算完成这件事？ 第二步:探究问题所属类型； 第三步：是否已知函数解析式？怎样利用不变量列式？ 第四步：是，利用已给的函数解析式构建所求问题的函数解析式，研究解题问题；否，设量构建函数，求解问题； 第五步：回答问题. 探点.等边三角形的边长为，将它沿平行于的线段折起，使平面平面，若折叠后的长度为，则的最小值为 探究:在此问题中，在三角形中的位置是变化的，由此变化引起翻折后、的变化， 从而导致的变化，进而形成了折叠后的长度的变化.设，则 ，由此易知时，取得最小值为，故选. 解锁四：函数的模型及其应用 1.几类基本函数模型.如右: 2.指数爆炸、对数徘徊、幂数介于其中. 幂、指、对数三种不同增长函数（）模型在区间上，尽管函数 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上.随着的增大，无论比大多少，尽管在一定范围内会小于，但由于的增长速率快于的增长速率，因而总存在一个常数使得当时有；而对数函数的增长速率，无论比的大小如何，总会慢于的增长率，因而总存在一个常数使得当时有，故总存在一个常数使得当时，总有. 探点.函数 的零点个数为 . 探究：指数爆炸知，有 的零点. 3.解函数实际应用题的一般步骤: (1)明题，搞清做什么事，怎样才算完成这件事； (2)建模； (3)求模； (4)运算; (5)回答问题. 说明: ①已知型的建模，设量列式；未知型的建模，先收集数据、后画散点图、再选择模型、求解模型、检验模型或求解问题、回答问题； ②应用模型的程序 ③常见的应用模型 ❶一、二次函数； ❷三次函数、无理函数； ❸指、对、幂、三角函数； ❹. ④常见的应用问题： ❶营销问题：利润销售价进货价; ❷行程问题：路程; ❸增长（降低）率问题、单利问题:设本金为，期利率为，则期后本利和；复利问题: 设本金为，期利率为，经期后，本利和; ❹几何问题:与平几、解几、立体相关问题，注意变量的取值条件; ❺工程设计问题； ❻决策问题； ❼与函数零点相关的科学问题. 探点1.某市出租车收费标准如下：起步价为元，起步里程为(不超过按起步价付费)；超过 但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了______. 探究:设乘客每次乘坐出租车需付费用元,则依题意 令，解得. 悟惑:本题属于行程问题. 探点2.某地区的一种特色水果上市时间能持续个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数: ①；②；③(以上三式中，均为常数，且). (1)为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数？ (2)若，求出所选函数的解析式（注:函数的定义域是，其中表示月日，表示月日，）； (3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在那几个月内价格下跌？ 分析:利用函数的单调性研究问题. 探究: (1)因为是单调函数，是单调函数，中的，令得或，所以有两个零点，从而可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选为其模拟函数. (2) 由及得，解得或（舍去），所以. (3)得，所以函数在区间上单调递减，故预测该水果在月份价格下跌. 2 学科网（北京）股份有限公司 $