精品解析：陕西渭南中学2026届高三下学期高考模拟试题数学（一）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（一） 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 3. 在平面直角坐标系中，某动点满足方程，则动点M的轨迹的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. “点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，，在圆上，且，记，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正三棱柱的各棱长均为2，分别为棱，的中点，为上底面内一动点（包括边界），则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥的体积为定值 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 角A的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则___________． 13. 已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________． 14. 在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 已知平面上一动圆P与圆相内切（其中圆P的半径小于圆F的半径），且圆P经过点F关于原点的对称点，记圆心P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）记C与x轴的两个交点分别为，（在的右侧），直线l与C相交于点M，N（异于点，），且直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍． （i）直线l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求四边形的面积S的最大值． 19. 已知函数，，记的导函数为． （1）当时，求的最小值； （2）若在区间内单调递增，求a的取值范围； （3）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（一） 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】代入，将分母有理化后即可求其虚部. 【详解】原式为 ， 所以其虚部为. 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算求出，结合子集个数的计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的子集个数为. 3. 在平面直角坐标系中，某动点满足方程，则动点M的轨迹的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】因为表示动点到点，的距离之差的绝对值为6， 且, 所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 其焦距为，实轴长为， 所以其离心率为：. 4. “点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的对称中心，再进行判断. 【详解】由解得，所以的对称中心为，. 而⫋， 所以“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的充分不必要条件. 5. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可. 【详解】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 6. 如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与保持一致， 设小船的船头方向为，水流方向为，为河宽， 在中，，， 则，，则， 设小船在静水中航行的速度大小为， 在中，由余弦定理，， 解得，即小船在静水中航行的速度大小为. 7. 已知圆，，在圆上，且，记，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将的表达式进行化简，结合直线与圆的位置关系即可求得的最大值. 【详解】由题意，， 化简得， 令，因为，在圆上， 所以直线与圆存在交点， 又由圆，可得其圆心为，半径，直线的一般方程为， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆有交点，所以，即，解得， 所以恒成立，所以，， 所以 ， 设的中点，则，， 所以， 又，， 可得中点到圆心的距离为，即， 令，即， 又在直线和圆上， 所以直线与圆存在交点， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆有交点，所以，即，解得， 所以， 所以， 所以的最大值为. 8. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断 【详解】由，，则有，， 由，有， 由，得，即， 则有， 由，得， 由，得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正三棱柱的各棱长均为2，分别为棱，的中点，为上底面内一动点（包括边界），则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面垂直和线面垂直性质定理判断A选项；建立空间直角坐标系利用向量法判断B、C选项，最后利用锥体体积公式判断D选项. 【详解】对于A，如图所示： 在正三棱柱中， 平面平面，且平面平面， 在等边中，是棱的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，取的中点连接，在正三棱柱中， 由四边形为正方形，且是棱的中点， 所以，又平面，所以平面， 又，所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 由正三棱柱的各棱长均为2， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 由， 所以，所以平面，故B正确； 对于C，由B选项知， 此时， 所以不平行于平面，故C错误； 对于D，因为为上底面内一动点（包括边界）， 所以点到平面的距离为即为三棱锥的高， 所以为定值，故D正确. 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为， 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为 开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为， 开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为， 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得， 因此四条抛物线分别为：，， 对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误， 对于选项B，联立，可得，故点的坐标为， 同理可得， 距离最大的两个点为和（或和）， 最大距离为： ，选项B正确， 对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且， 代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误， 对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故， 由得：，即， 联立，可得，由韦达定理：  ， 代入得：，，解得， 由得，斜率，选项D正确. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 角A的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用二倍角公式及余弦定理化简可得，对于B，利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围即可；对于C，根据，可得，结合，再建立不等式求解；对于D，根据积化和差，先化简，再代入利用正弦定理结合基本不等式求最值即可． 【详解】， 由正弦定理得， 即， ，故A错误； ， ，，故B正确； 由，则，令, 又，即， ，即， 解得，又， ； 同理，即， ，即， 解得（舍去）或， 综上，，故 所以， 故C正确； ， ，当时取等， 即的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】通过令曲线导数等于切线斜率求出切点横坐标，再代入曲线和直线方程即可求解. 【详解】设切点为，，则， 由题意得，即，解得， 将其代入到，则，即切点为， 将其代入到，即，解得. 13. 已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理得到，结合等比数列求和公式得到，再结合二次函数求最值即可. 【详解】设等比数列公比为，由题意， 由韦达定理得： ，即，   ， 代入， 化简得： 令，则得， 二次函数开口向上，对称轴为， 代入得最小值：  所以的最小值为. 14. 在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 【答案】90 【解析】 【分析】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金，求得的期望，再由期望线性运算即可求解. 【详解】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金（）， 则总奖金， 的取值为：若第次摸到黑球，；若摸到黄球，， 由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是，（黑球3个，总数10个） 因此， 由期望线性运算知：  . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【小问1详解】 零假设该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄无关， 而， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关. 【小问2详解】 设事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用技术的教师， 事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45岁， 由题意，， 则. 16. 已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项公式变形结合等差数列定义证明即可； （2）由（1）的结论求出数列的通项公式，进一步求出的表达式，最后利用裂项相消法求数列的和即可. 【小问1详解】 由得：， 即， 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 当时，， 当时，满足条件，所以， 所以， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设外接球的球心，球半径为，列方程求出球的半径，再利用球的表面积公式求结论；（ii）求直线与直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为，，所以，， 在中：， 由勾股定理的逆定理得：， 因为是等腰直角三角形，且斜边， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 又，，， 因此， 在中：， 由勾股逆定理得：， 因为，且平面，所以平面， 又平面，故平面平面. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，平面内垂直于方向为轴建立空间直角坐标系： 则 ，，，；， 设外接球的球心，球半径为， 因为球心到各顶点距离相等， 所以，  解方程得：，，，即球心，且， 因此外接球的表面积； （ii）设直线与直线所成角为，又 ，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18. 已知平面上一动圆P与圆相内切（其中圆P的半径小于圆F的半径），且圆P经过点F关于原点的对称点，记圆心P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）记C与x轴的两个交点分别为，（在的右侧），直线l与C相交于点M，N（异于点，），且直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍． （i）直线l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求四边形的面积S的最大值． 【答案】（1） （2）（i）直线恒过定点；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的位置关系，得到为定值，结合椭圆的定义即可求解； （2）（i）设直线方程，联立结合韦达定理得到，再由直线、斜率的关系构建方程化简即可； （ii）由（i）得到，结合，再根据换元法求最值． 【小问1详解】 圆，即, 所以圆心，半径， 因为是关于原点的对称点，所以， 设动圆的半径为，因为动圆与圆相内切，所以， 又因为圆经过点，所以，则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，则， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）曲线的方程，则， 由题可知直线斜率不为零，则设直线， ，， ， ， 又直线的斜率恰好是直线的斜率的倍，即， 即，整理得， 即， 即， ，解得， 时，， ，直线的方程为，即直线恒过定点； （ii）由（i）知，则， 则四边形的面积， ， ， 令， 则， 当，即时取等， 即四边形的面积S的最大值为． 19. 已知函数，，记的导函数为． （1）当时，求的最小值； （2）若在区间内单调递增，求a的取值范围； （3）若，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，通过导数判断函数单调性，再根据单调性确定最小值点，进而求出最小值. （2）因为在区间内单调递增，所以在该区间恒成立，将问题转化为求参数的取值范围，可通过讨论单调性求解. （3）先求出，由得到等式，对等式变形后，要证明目标不等式，可通过构造函数、利用函数单调性和不等式放缩的思想. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 且，是偶函数，故只需讨论的情况. 求导得：，令则， 因此在单调递增，得， 故在单调递增，最小值为. 【小问2详解】 在单调递增等价于对任意恒成立. 令是的导数，则， 当时，在单调递增，，，， 当时，，在区间内单调递减， 所以，在区间内单调递减，不符合题意， 当时，，则恒成立，在区间内单调递增， 所以，在区间内单调递增，符合题意， 综上a的取值范围为. 【小问3详解】 首先化简： ， 求导得： ， 设，，在上单调递增， 不妨设，则，即， 由得：  ， 因此：①， 待证不等式等价于： ， 结合①，只需证， 令，化简得：  ， 令， 求导得，故在单调递增， ，不等式成立， 因此，整理得原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $