精品解析：陕西省宝鸡市石油中学2025-2026学年下学期开学考高三数学练习（一）

2026届高三数学练习（一） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合描述法的概念，以及集合补集的计算方法，求出结果. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数（为虚数单位）转化为形式，可得到它的虚部. 【详解】因为. 所以复数（为虚数单位）的虚部为. 故选：B. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 4. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 5. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质可得，据此可判断正确选项. 【详解】由于函数为下图中阴影部分面积， 则， 故函数关于点对称， 故选：B. 【点睛】 6. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，，则， 所以， 所以． 故选：D． 7. 已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到圆心和半径，根据求出，故点C到直线l的距离为，利用点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】根据题意，圆C的圆心为，半径为4，直线l：， 因为，其中，所以， 解得，可得， 所以点C到直线l的距离为，则， 可得（舍）或. 故选：D. 8. 已知关于的方程有两根为满足，若，满足，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的根互为倒数结合方程的特征可得，再利用导数求出在上的最小值后，可求在的最大值. 【详解】因为为方程的根， 故且， 而，故，即. 又，所以， 而，否则，与题设矛盾， 故，故. 若，则，这与矛盾，故. 故时，，此时. 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故在上的最小值为，而， 故在上的最大值为，即在上的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（ ） A. 三棱台体不是“刍甍” B. “刍甍”有且仅有两个面为三角形 C. 存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D. “刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【解析】 【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 10. 已知曲线：，则（ ） A. 时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值. 【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确 故选：ABD 11. 如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（ ） A. B. C. 与所成角的余弦值为 D. 与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选定一组基底为,根据空间向量的数量积运算以及余弦定理可求解. 【详解】因为平面，平面, 所以 所以 ， 在中，, 所以， 所以A正确; 在中, , ， 所以B正确； 因为，, , , 所以与所成角的余弦值为, 所以C正确； 由以上知，，且, 在中，由余弦定理得, 所以D错误. 故选:ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义求出曲线在点处的法线方程，以及曲线在点处的法线方程，根据这两法线重合可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出“公法线”方程. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 故函数的定义域为， 由求得，，则法线斜率为， 则在点处的法线方程为， 即， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 即， 由“公法线”得，， 这两个等式相加得，即， 令，则， 故函数在上为增函数， 又因为，所以函数有且只有唯一的零点， 解方程组，可得或，， 又因为，故，故要舍去，即，， 所以“公法线”方程为， 故答案为：. 13. 若等比数列的前20项积为，则______． 【答案】230 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式求得，再根据对数运算计算即可. 【详解】， 则． 故答案为：. 14. 在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数运算，最后结合古典概型概率公式计算求解即可. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球， 则每次摸球的情况有种， 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 因为每次摸到球的各种不同情况等可能，所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色， 且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 四、答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下： 偏好新能源车 偏好燃油车 总计 年轻司机 300 200 500 中老年司机 200 300 500 总计 500 500 1000 （1）若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率； （2）依据独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？ 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算概率即可； （2）由公式求得，结合表格数据对比判断即可. 【小问1详解】 由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有300人，偏好燃油车的有200人， 所以从抽取的年轻司机中任选1人，此人偏好新能源车的概率为. 【小问2详解】 零假设为：司机对两种汽车的偏好与年龄无关， 由表中的数据，得 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 如图作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 【小问3详解】 如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,. 设平面法向量为，则. 令，则，故取. 则点到平面的距离为. 17. 在中，内角所对应的边分别是，已知成等比数列．若，数列满足其前项和为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出，再分奇偶求出，分组求和即可得解. 【详解】因为成等比数列，所以，即． 又，所以，即， 由知，所以． 当为偶数时，； 当为奇数时，， 所以 ． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. （1）求椭圆的离心率e； （2）若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为； （3），此时三角形面积的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率即可； （2）联立与得到一元二次方程，由已知向量的线性关系及其坐标表示得，结合韦达定理求出答案； （3）先联立椭圆与直线，应用韦达定理表示出，结合为定值得，并求出，和点到直线的距离，利用基本不等式得. 【小问1详解】 由，则，故，所以离心率； 【小问2详解】 由题设，联立与得，， 设，则， 因为，所以 ； 【小问3详解】 由题设，联立，消元得，设， 当，即时，则， ， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1. 19 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极小值，求的值； （3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数的值； （3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，， 故，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 【小问3详解】 因为，则，， 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 此时单调递增，从而，不符合题意； 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 故在上单调递减，从而，符合题意； 当时，，， 设，在上恒为正， 所以在上单调递增， 所以在上，在上单调递增， 从而，不合题意； 综上，的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学练习（一） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 6. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知关于的方程有两根为满足，若，满足，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（ ） A. 三棱台体不“刍甍” B. “刍甍”有且仅有两个面为三角形 C. 存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D. “刍甍”存在两个互相平行的面 10. 已知曲线：，则（ ） A. 时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 11. 如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（ ） A. B. C. 与所成角余弦值为 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 13. 若等比数列的前20项积为，则______． 14. 在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______． 四、答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下： 偏好新能源车 偏好燃油车 总计 年轻司机 300 200 500 中老年司机 200 300 500 总计 500 500 1000 （1）若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？ 附：，其中. 0.01 0.005 0001 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 17. 在中，内角所对应的边分别是，已知成等比数列．若，数列满足其前项和为，求的值． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. （1）求椭圆的离心率e； （2）若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极小值，求的值； （3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $