2026年中考一轮复习突破讲义 专题13反比例函数(全国通用)

专题13反比例函数突破讲义 【模块一 反比例函数定义相关题】..................................4 【题型01 实际问题抽象为反比例函数模型】............................4 【题型02 基于反比例函数定义的参数求解】............................6 【题型03 反比例函数的函数值求解】..................................9 【题型04 反比例函数的自变量求解】.................................12 【模块二 反比例函数的图象与性质】.................................15 【题型05 图象特征与解析式互判】...................................15 【题型06 由双曲线分布的象限求参数范围】...........................17 【题型07 反比例函数增减性的判断】.................................19 【题型08 由解析式判断图象所在象限】...............................21 【题型09 由增减性确定参数的取值范围】.............................23 【题型10 函数值与自变量的大小比较】...............................25 【模块三 反比例函数关系k的几何意义】.............................27 【题型11已知比例系数求特殊图形面积】..............................27 【题型12 由图形面积求比例系数】...................................29 【模块四 反比例函数与一次函数综合】...............................32 【题型13 一次函数与反比例函数图象综合判断】.......................32 【题型14 一次函数与反比例函数的交点问题】.........................35 【题型15 一次函数与反比例函数的实际应用】.........................38 【题型16 一次函数与反比例函数的其他综合应用】.....................42 【模块五 反比例函数应用】.........................................46 【题型17 实际问题与反比例函数】...................................46 【题型18 反比例函数与几何综合】...................................50 ●分值占比：反比例函数是中考函数模块核心考点，总分值约 6–12 分，覆盖选择、填空、解答三种题型，常与一次函数、几何图形综合命题，属于中档必争分板块（基础题 + 中档题为主，少量压轴区分度题）。 ●常考考点：聚焦反比例函数的定义与解析式（判断、求参数、求解析式）、图象与性质（象限分布、增减性、对称性）、k 的几何意义（面积计算）、与一次函数的综合（交点问题、图象判断、实际应用）四大方向，是函数数形结合思想的典型载体。 ●命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算（如判断反比例函数、求 k 值、比较函数值大小），中档题侧重图象性质与 k 的几何意义（如由象限求参数、利用对称性求坐标、面积计算），难题多以一次函数与反比例函数综合（交点、存在性问题、实际情境建模）为主，且结合几何图形、实际生活数据的题型占比逐年提升，侧重考查数形结合与建模能力。 ★知识梳理★ 知识点01:定义与表达式 1.定义：形如 y=（k 为常数，k0）的函数叫反比例函数。 2.三种等价形式：分式形式：y=（最常用） 负指数形式：y=kx−1 乘积形式：xy=k（判断反比例关系的核心依据） 3.关键点：自变量 x0，函数值 y0 只有一个参数 k，一点即可求解析式 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 1. 图象位置与增减性（核心考点） k 的符号 图象所在象限 增减性（在每个象限内） 图象趋势 k>0 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 曲线从左向右下降 k<0 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 曲线从左向右上升 2. 关键注意事项 增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用（如 k>0 时，x1=−1，x2=1，y1=−k，y2=k，x1<x2​ 但 y1<y2​）； ∣k∣ 越大，双曲线离坐标轴越远；∣k∣ 越小，双曲线离坐标轴越近 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 中考易错点总结 1.忽略 x0，定义域、图像不画到坐标轴。 2.比较 y 大小时，不分象限直接用增减性。 3.几何意义忘记绝对值。 4.联立方程忘记检验（分母不为 0）。 5.实际问题中忽略 x>0,y>0，图像只在第一象限 【模块一 反比例函数定义相关题】 【题型1.实际问题抽象为反比例函数模型】 【典例】已知点、都在同一反比例函数图象上，则n的值为______． 【答案】 【分析】反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得n的值． 【详解】解：∵点、都在同一反比例函数图象上， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 【跟踪专练1】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【跟踪专练2】从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 【跟踪专练3】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【题型2.基于反比例函数定义的参数求解】 【典例】若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【跟踪专练2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 【题型3.反比例函数的函数值求解】 【典例】反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的求解，解决本题的关键是将点代入求解． 将点坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入解析式，得． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各点不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解． 【详解】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； D、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 【跟踪专练3】已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式求出k的值，再计算反比例函数的比例系数，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足比例系数，判断选项即可． 【详解】解：∵ ，，两边同乘，再整理得， 解得 ，， 经检验，，是方程的解， 当时，，此时反比例函数满足， 当时，，此时反比例函数满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： A、，不符合题意； B、，符合； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 【题型4.反比例函数的自变量求解】 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入，则， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，平方差公式应用，根据反比例函数的图象经过点，得出，即可得出，再代入求出结果即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知函数与（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与二次函数图象的交点问题．两个图象的交点坐标是同时满足两个解析式．将方程移项变为，方程左边为二次函数值，方程右边为反比例函数值，方程的解就是图象交点的横坐标． 【详解】解：∵点P的纵坐标为2， 代入得 解得 ∴， ∵， ∴， ∴方程的解就是图象交点的横坐标， 即. 故答案为：． 【跟踪专练3】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 【模块二 反比例函数的图象与性质】 【题型5.图象特征与解析式的互判】 【典例】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 设反比例函数解析式为，将代入求出反比例函数解析式后即可得解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入可得， 即反比例函数解析式为， 时， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 【题型6.由双曲线分布的象限求参数范围】 【典例】若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴， 即的值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，下列说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若点的坐标是，则当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提．根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由，而，所以，因此选项C不符合题意； D．若图象上点的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D符合题意； 故选：D． 【题型7.反比例函数增减性的判断】 【典例】反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 【跟踪专练1】对于反比例函数，下列说法正确的是（） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数在限定定义域内的性质，根据反比例函数的图象和性质，结合的条件进行判断． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第一象限，且y随x增大而减小；图象与坐标轴无交点． 对于A：当时，，该项错误； 对于B：由于，图象仅位于第一象限，不涉及第三象限，该项错误； 对于C：在第一象限内，y随x增大而减小，该项正确； 对于D：反比例函数图象不与坐标轴相交，该项错误． 故选：C． 【跟踪专练2】已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 【题型8.由解析式判断图象所在象限】 【典例】已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴在每个象限中，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 【跟踪专练2】若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 【题型9.由增减性确定参数的取值范围】 【典例】请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 【跟踪专练2】已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是_____． 【答案】6 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出关于k的方程是解题关键． 根据反比例函数在上的增减性，可得，，得出方程求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，当时，取得最大值， 当时，， 对于反比例函数，当时，当时，取得最小值， 当时，， ∵的最大值为4， ∴ 解得， 故答案为：6． 【跟踪专练3】已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 【题型10.函数值与自变量的大小比较】 【典例】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数中的条件，确定函数图象所在象限及增减性，再判断点、所在象限，最后依据横坐标的大小关系比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数， 其图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点与点的横坐标均为负数，因此两点都在第二象限内， 由于，结合该函数在第二象限内的增减性，可得出． 【跟踪专练1】若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，，由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由题意可得反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小，再结合反比例函数的增减性求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，的最大值是， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，即， ， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为； 故答案为：1． 【跟踪专练3】反比例函数的图象上有，，三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，计算如下：，，，于是，结合性质和m的符号分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，得：，，， 故， 当或时，无法比较； 当时，，得根据分子相同，分母大的反而小， 得； 当时，，根据分子相同，分母大的反而小， 得， 故 故； 故选：D． 【模块三 反比例函数系数k的几何意义】 【题型11.已知比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可．. 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 【跟踪专练1】如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 【跟踪专练3】如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 【题型12.由图形面积求比例系数】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据反比例函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，，以此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴，即， ∵图象在第一象限， ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，O、C在x轴上，若点，，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积 计算是关键根据A，B的纵坐标相同以及点A在反比例函数上得到的A坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， O，C在x轴上， ，B的纵坐标相同． ， 的纵坐标是3． 顶点A在反比例函数的图象上， 将代入函数中，得到．则． ． ． ，B的纵坐标为3， ，即． 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 【跟踪专练3.】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点B向x轴作垂线，垂足为C，若的面积是7.5，则k的值为（   ） A．21 B．18 C．15 D．9 【答案】A 【分析】过A作于D，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形、四边形、四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 过A作于D，延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【模块四 反比例函数与一次函数的综合】 【题型13.一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰． 【跟踪专练1】若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 【跟踪专练2】已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数上点的坐标特征，关于轴，轴对称的点的坐标，熟练掌握这两个函数上点的坐标特征是解题的关键，根据，两点关于轴对称，，可以表示出点的坐标为，又因为这两个点分别在两个函数图象上，所以得到：，，根据，计算即可． 【详解】解：点的坐标为，、两点关于轴对称， ， 点在双曲线上， ， ， 点在直线上， ， 即， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 【题型14.一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例】如图，直线与双曲线交于、两点，点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．熟练掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：点与关于原点对称，点的坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运用数形结合的思想． 的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当时，则或， 故选：D． 【跟踪专练2】已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是________． 【答案】或. 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质，灵活运用数形结合思想是解题关键． 当一次函数的图象高于反比例函数的图象时，满足，根据图象判断x的取值范围． 【详解】解：若要满足，则需一次函数的图象高于反比例函数的图象． 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，O为原点， 交反比例函数的图象于点B，若为定值，则关于，的说法正确的是（   ） A．，都是定值 B．是定值，不是定值 C．不是定值，是定值 D．，都不是定值，而是定值 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，本题解题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得到答案即可； 【详解】解：如图，过点A作x轴的平行线交y轴于点，交过点B与y轴的平行线于点N， ∴， 设（a为定值）， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：（舍负） ∴， ∴点的坐标为：， 设点 ∴， ∴ 解得：（定值），而不一定； 故选：B． 【题型15.一次函数与反比例函数的实际应用】 【典例】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 【跟踪专练2】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【题型16.一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 【跟踪专练2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 【跟踪专练3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故选：B． 【模块五 反比例函数应用】 【题型17.实际问题与反比例函数】 【典例】如图，变速自行车通常配备多个前齿轮和后齿轮，以适应不同的骑行条件，其齿轮的齿数与转速始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速．小丽同学骑变速自行车时，调节前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，若前齿轮的转速为转/分，则后齿轮的转速为______转/分． 【答案】 【分析】本题考查了反比例的实际应用，利用 “前齿轮齿数 × 前齿轮转速 = 后齿轮齿数 × 后齿轮转速” 的等量关系建立方程是解题的关键． 设后齿轮的转速为转/分，将前齿轮齿数（）、前齿轮转速（）、后齿轮齿数（）代入题中所给等式，解方程即可得出后齿轮转速． 【详解】解：设后齿轮的转速为转/分， ， 解得， 因此，后齿轮的转速为转/分． 故答案为． 【跟踪专练1】某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先设出反比例函数解析式，利用图象上已知点求出函数表达式，再将给定压强代入解析式求出对应木板面积． 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴ ． 【跟踪专练2】某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间． 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 【跟踪专练3】某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】B 【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 【题型18.反比例函数与几何综合】 【典例】如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．由三角形等底同高面积相等，得出，，再由几何意义求出k，即可求出m． 【详解】解：∵且D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由几何意义得，， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：16． 【跟踪专练1】如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：设点坐标为，则， ， 由三角形面积公式可得：， 整理得， 根据二次函数性质可知，当时，三角形面积有最大值，最大值为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，，若的面积为5，则k的值为________． 【答案】 【分析】先解出，由中心对称的性质得点和点关于原点对称，可得出，再由可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据题意可得双曲线和平行四边形都是以点为中心的中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 连接，如图， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13反比例函数突破讲义 【模块一 反比例函数定义相关题】..................................4 【题型01 实际问题抽象为反比例函数模型】............................4 【题型02 基于反比例函数定义的参数求解】............................4 【题型03 反比例函数的函数值求解】..................................5 【题型04 反比例函数的自变量求解】..................................5 【模块二 反比例函数的图象与性质】..................................6 【题型05 图象特征与解析式互判】....................................6 【题型06 由双曲线分布的象限求参数范围】............................7 【题型07 反比例函数增减性的判断】..................................8 【题型08 由解析式判断图象所在象限】................................8 【题型09 由增减性确定参数的取值范围】..............................9 【题型10 函数值与自变量的大小比较】................................9 【模块三 反比例函数关系k的几何意义】.............................10 【题型11已知比例系数求特殊图形面积】..............................10 【题型12 由图形面积求比例系数】...................................11 【模块四 反比例函数与一次函数综合】...............................12 【题型13 一次函数与反比例函数图象综合判断】.......................12 【题型14 一次函数与反比例函数的交点问题】.........................13 【题型15 一次函数与反比例函数的实际应用】.........................14 【题型16 一次函数与反比例函数的其他综合应用】.....................16 【模块五 反比例函数应用】.........................................17 【题型17 实际问题与反比例函数】...................................17 【题型18 反比例函数与几何综合】...................................18 ●分值占比：反比例函数是中考函数模块核心考点，总分值约 6–12 分，覆盖选择、填空、解答三种题型，常与一次函数、几何图形综合命题，属于中档必争分板块（基础题 + 中档题为主，少量压轴区分度题）。 ●常考考点：聚焦反比例函数的定义与解析式（判断、求参数、求解析式）、图象与性质（象限分布、增减性、对称性）、k 的几何意义（面积计算）、与一次函数的综合（交点问题、图象判断、实际应用）四大方向，是函数数形结合思想的典型载体。 ●命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算（如判断反比例函数、求 k 值、比较函数值大小），中档题侧重图象性质与 k 的几何意义（如由象限求参数、利用对称性求坐标、面积计算），难题多以一次函数与反比例函数综合（交点、存在性问题、实际情境建模）为主，且结合几何图形、实际生活数据的题型占比逐年提升，侧重考查数形结合与建模能力。 ★知识梳理★ 知识点01:定义与表达式 1.定义：形如 y=（k 为常数，k0）的函数叫反比例函数。 2.三种等价形式：分式形式：y=（最常用） 负指数形式：y=kx−1 乘积形式：xy=k（判断反比例关系的核心依据） 3.关键点：自变量 x0，函数值 y0 只有一个参数 k，一点即可求解析式 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 1. 图象位置与增减性（核心考点） k 的符号 图象所在象限 增减性（在每个象限内） 图象趋势 k>0 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 曲线从左向右下降 k<0 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 曲线从左向右上升 2. 关键注意事项 增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用（如 k>0 时，x1=−1，x2=1，y1=−k，y2=k，x1<x2​ 但 y1<y2​）； ∣k∣ 越大，双曲线离坐标轴越远；∣k∣ 越小，双曲线离坐标轴越近 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 中考易错点总结 1.忽略 x0，定义域、图像不画到坐标轴。 2.比较 y 大小时，不分象限直接用增减性。 3.几何意义忘记绝对值。 4.联立方程忘记检验（分母不为 0）。 5.实际问题中忽略 x>0,y>0，图像只在第一象限 【题型1.实际问题抽象为反比例函数模型】 【典例】已知点、都在同一反比例函数图象上，则n的值为______． 【跟踪专练1】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 【跟踪专练3】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【题型2.基于反比例函数定义的参数求解】 【典例】若是反比例函数，则_____． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【跟踪专练3】若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【题型3.反比例函数的函数值求解】 【典例】反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【跟踪专练1】下列各点不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【跟踪专练3】已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【题型4.反比例函数的自变量求解】 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数与（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则关于x的方程的解为______． 【跟踪专练3】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【模块二 反比例函数的图象与性质】 【题型5.图象特征与解析式的互判】 【典例】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为___________． 【跟踪专练1】如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． B． C． D． 【题型6.由双曲线分布的象限求参数范围】 【典例】若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，下列说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若点的坐标是，则当时，的取值范围是 【题型7.反比例函数增减性的判断】 【典例】反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 【跟踪专练1】对于反比例函数，下列说法正确的是（） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【跟踪专练2】已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【跟踪专练3】已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型8.由解析式判断图象所在象限】 【典例】已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 【跟踪专练1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【跟踪专练2】若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ___________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【题型9.由增减性确定参数的取值范围】 【典例】请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 【跟踪专练1】若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是_____． 【跟踪专练3】已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【题型10.函数值与自变量的大小比较】 【典例】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练1】若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为_______． 【跟踪专练3】反比例函数的图象上有，，三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【模块三 反比例函数系数k的几何意义】 【题型11.已知比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【跟踪专练3】如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【题型12.由图形面积求比例系数】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是___________． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，O、C在x轴上，若点，，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【跟踪专练3.】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点B向x轴作垂线，垂足为C，若的面积是7.5，则k的值为（   ） A．21 B．18 C．15 D．9 【模块四 反比例函数与一次函数的综合】 【题型13.一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______． 【跟踪专练1】若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是______． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型14.一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例】如图，直线与双曲线交于、两点，点的坐标为，则点的坐标是________． 【跟踪专练1】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【跟踪专练2】已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是________． 【跟踪专练3】如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，O为原点， 交反比例函数的图象于点B，若为定值，则关于，的说法正确的是（   ） A．，都是定值 B．是定值，不是定值 C．不是定值，是定值 D．，都不是定值，而是定值 【题型15.一次函数与反比例函数的实际应用】 【典例】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【跟踪专练1】小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【跟踪专练3】如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【题型16.一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【跟踪专练2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【跟踪专练3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【模块五 反比例函数应用】 【题型17.实际问题与反比例函数】 【典例】如图，变速自行车通常配备多个前齿轮和后齿轮，以适应不同的骑行条件，其齿轮的齿数与转速始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速．小丽同学骑变速自行车时，调节前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，若前齿轮的转速为转/分，则后齿轮的转速为______转/分． 【跟踪专练1】某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【跟踪专练3】某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【题型18.反比例函数与几何综合】 【典例】如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为______． 【跟踪专练1】如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，，若的面积为5，则k的值为________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $