15.4　2.第3课时　正方形的判定 课件2025-2026学年北京版数学八年级下册

第 3 课时 正方形的判定 第十五章　四边形 15.4 1 新知与应用 [归纳定理] (1)有　　 　　的矩形是正方形;  (2)有　　　 　的菱形是正方形;  (3)有一个角是　　　,并且有一组邻边　　　　的平行四边形是正方形;  (4)对角线相等并且　　　 　的四边形是正方形.  一组邻边相等 知识点　正方形的判定方法 一个角是直角 直角 相等　 互相垂直平分 2 [对点练习] 1.在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,这个条件可以是　　　 　.  ∠A=90°(答案不唯一) 2.如图15-4-44,请给矩形ABCD添加一个条件,使它成为正方形,则此条件可以为　　 　　.  AB=BC(答案不唯一) 图15-4-44 (教材补充例题)如图15-4-45,在矩形ABCD中,E是AD边上的点,AE=AB,EF∥CD交BC于点F.求证:四边形ABFE是正方形. 应用 1　判定一个四边形是正方形 例 1 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°. ∵E是AD边上的点,EF∥CD交BC于点F, ∴∠BFE=∠C=90°. ∵∠A=∠B=∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形. ∵AE=AB,∴四边形ABFE是正方形. 图15-4-45 5 如图15-4-46,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E, F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA. 求证:四边形AECF是正方形. 练习 证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF,∴▱AECF是菱形. ∵OE=OA,∴OF=OE=OA=OC,即EF=AC, ∴菱形AECF是正方形. 图15-4-46 (教材典题)如图15-4-47,在平面直角坐标系xOy中,顺次连接点A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2),所得到的四边形ABCD是怎样的四边形?并说明理由. 例 2 解:四边形ABCD是正方形. 理由如下: ∵A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2), ∴OA=OB=OC=OD=2. ∴AC=BD. 图15-4-47 ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形. 图15-4-47 如图15-4-48,已知线段AB,直线l垂直平分AB且交AB于点O,以O为圆心,AO长为半径作弧,交直线l于C,D两点,分别连接AC,AD,BC,BD. (1)根据题意,补全图形; 变式 解:(1)如图所示. 图15-4-48 (2)求证:四边形ACBD为正方形. (2)证明:∵直线l垂直平分AB, ∴AC=BC,BD=AD,∠AOC=∠AOD=90°. 在△AOC和△AOD中, ∴△AOC≌△AOD(SAS), ∴AC=BC=BD=AD, ∴四边形ACBD是菱形. 图15-4-48 又∵OA=OB=OC=OD, ∴∠CAD=45°+45°=90°, ∴菱形ACBD为正方形. 图15-4-48 (教材补充例题)如图15-4-49,四边形ABCD中,AD=DC, ∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 (　　) A.3 B.2 C.4 D.8 应用 2　综合运用正方形的判定定理与性质定理解决问题 例 3 C 图15-4-49 12 如图15-4-50,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=BC=4, AD=3,E是边AB上一点,且∠DCE=45°,则DE的长度是 (　　) A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.4 变式 　B 图15-4-50 小结与反思 [小结] 14 [反思] 回忆正方形的定义,说一说正方形的判定方法与正方形的定义的关系. [答案]略 相关解析 【新知与应用】 例3　C　[解析] 如图,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点F. ∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠A+∠BCD=180°. ∵∠FCD+∠BCD=180°,∴∠A=∠FCD. 又∠AED=∠F=90°,AD=DC,∴△ADE≌△CDF, ∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,S四边形ABCD=S四边形DEBF=16. ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EDF=∠CDF+∠CDE=90°,∴四边形DEBF是矩形. 又∵DE=DF,∴四边形DEBF是正方形.又∵S四边形DEBF=16,∴DE=4.故选C. 16 变式　B　[解析] 如图,过点C作CG⊥AD于点G,并延长DG至点F,使GF=BE. ∵∠A=∠B=∠CGA=90°,AB=BC, ∴四边形ABCG为正方形,∴AG=BC=4,∠BCG=90°,BC=CG. ∵AD=3,∴DG=4-3=1. ∵BC=CG,∠B=∠CGF,BE=GF,∴△EBC≌△FGC(SAS), ∴CE=CF,∠ECB=∠FCG. ∵∠DCE=45°,∴∠BCE+∠DCG=∠DCG+∠FCG=45°, ∴∠DCE=∠DCF. ∵CE=CF,∠DCE=∠DCF,DC=DC,∴△ECD≌△FCD(SAS), ∴ED=DF. 17 设ED=x,则EB=FG=x-1, ∴AE=4-(x-1)=5-x. 在Rt△AED中,AE2+AD2=DE2, ∴(5-x)2+32=x2, 解得x=3.4, ∴DE=3.4. 故选B. 18 $