15.4　2.第2课时　菱形的判定 课件 2025-2026学年北京版数学八年级下册

第 2 课时 菱形的判定 第十五章　四边形 15.4 1 新知与应用 [归纳定理] 四条边都　　　　的四边形是菱形. 符号语言:如图15-4-36, ∵AD=　　　　=BC=　　　　, ∴四边形ABCD是菱形. 相等 知识点 1　菱形的判定定理1 图15-4-36 DC AB 2 (教材补充例题)如图15-4-37,AC=8,分别以点A,C为圆心,以5为半径作弧,两弧分别相交于点B,D.依次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD,连接BD交AC于点O.判断四边形ABCD的形状,并说明理由. 应用　直接利用菱形的判定定理1判定一个四边形是菱形 例 1 解:四边形ABCD为菱形. 理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5, ∴四边形ABCD为菱形. 图15-4-37 3 如图15-4-38,△ABC与△ADC关于直线AC对称,∠BAD=∠BCD.求证:四边形ABCD是菱形. 练习 证明:∵△ABC与△ADC关于直线AC对称, ∴AB=AD,CB=CD,∠BAC=∠DAC=∠BAD, ∠BCA=∠DCA=∠BCD. ∵∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA, ∴AB=CB,∴AB=AD=CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 图15-4-38 [归纳定理] 对角线　 　　　的平行四边形是菱形. 符号语言:如图15-4-39, ∵四边形ABCD是平行四边形且AC　 　BD, ∴四边形ABCD是菱形. 知识点 2　菱形的判定定理2 互相垂直 图15-4-39 ⊥ (教材典题)如图15-4-40,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,四边形AECF是菱形吗?为什么? 应用 1　直接利用菱形的判定定理2判定一个四边形是菱形 例 2 解:四边形AECF是菱形. 理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,且点E,F 分别在AD,BC上, ∴AE∥FC.∴∠EAO=∠FCO. 图15-4-40 6 ∵EF垂直平分AC, ∴∠AOE=∠COF=90°,AO=CO. ∴△AOE≌△COF. ∴EO=FO. ∴四边形AECF为平行四边形. 又∵EF⊥AC, ∴▱AECF为菱形. 图15-4-40 如图15-4-41,在▱ABCD中,O为AC的中点,点E,F分别在BC,AD上,EF经过点O,AC⊥EF. 求证:四边形AECF为菱形. 变式 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE. ∵O为AC的中点,∴OA=OC. 在△AOF和△COE中, 图15-4-41 ∴△AOF≌△COE(ASA), ∴AF=CE. 又∵AF∥CE, ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF, ∴▱AECF是菱形. 图15-4-41 (教材补充例题)如图15-4-42,在四边形ABCD中,点B与点D关于直线AC对称,连接BD交AC于点O,E为AC上一点,OE=OC,连接BE,DE. (1)求证:四边形EBCD为菱形; 应用 2　菱形的性质与判定的综合应用 例 3 解:(1)证明:∵点B与点D关于直线AC 对称, ∴OD=OB,OD⊥AC. 图15-4-42 10 又∵OE=OC, ∴四边形EBCD为平行四边形. ∵OD⊥AC, ∴四边形EBCD为菱形. 图15-4-42 (2)若AE=DE,∠BAE=15°,BD=6,求AC的长. (2)由题意知∠EAD=∠BAE. ∵AE=DE,∠BAE=15°,∴∠EAD=∠EDA=15°, ∴∠DEO=∠EAD+∠EDA=15°+15°=30°. ∵四边形EBCD为菱形, ∴DE=EB,∠BEO=∠DEO=30°,EO=OC, ∴∠DEB=60°, ∴△DEB是等边三角形. 图15-4-42 ∵BD=6, ∴AE=DE=BD=6,BO=OD=3. 在直角三角形BOE中,由勾股定理得:EO===3, ∴EC=2EO=6, ∴AC=AE+EC=6+6. 图15-4-42 (2025密云区期末)如图15-4-43,在四边形ABCD中,AB∥CD, AC平分∠BAD,过点C作AD的平行线交AB于点E. (1)求证:四边形AECD是菱形; 练习 解:(1)证明:在四边形ABCD中,AB∥CD,过点C 作AD的平行线交AB于点E, ∴四边形AECD是平行四边形,∠CAB=∠DCA. ∵AC平分∠BAD, ∴∠DAC=∠CAB, 图15-4-43 ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD, ∴四边形AECD是菱形. 图15-4-43 (2)若E是AB的中点,EC=2.5,AC=4,求线段BC的长. (2)∵E为AB的中点,∴AE=BE. ∵四边形AECD为菱形,∴AE=CE,∴CE=AB, 易知∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2. ∵AC=4,AB=2CE=5, 在直角三角形ABC中,由勾股定理, 得BC==3,∴BC=3. 图15-4-43 小结与反思 [小结] 17 [反思] 菱形的性质定理与判定定理有什么关系? 解:菱形的性质定理与判定定理是互逆定理的关系. $