15.4　2.第1课时　矩形的判定 课件2025-2026学年北京版数学八年级下册

第 1 课时 矩形的判定 第十五章　四边形 15.4 1 新知与应用 [归纳定理] 矩形的判定定理1:对角线　　　　的平行四边形是矩形. 符号语言:如图15-4-26, ∵四边形ABCD是平行四边形, 且AC=　　　　, ∴平行四边形ABCD是矩形. 相等 知识点 1　矩形的判定定理1 图15-4-26 BD 2 (教材典题)如图15-4-27,在△ABC中,D是AB的中点,且CD= AB.延长CD到点E,使得DE=CD.连接AE,BE. 求证:四边形ACBE是矩形. 应用 1　利用矩形的判定定理1判定一个四边形是矩形 例 1 证明:∵D是AB的中点,∴AD=BD. 又∵DE=CD, ∴四边形ACBE是平行四边形. 图15-4-27 3 ∵CD=AB, 又∵DE=CD=CE, ∴AB=CE. ∴四边形ACBE是矩形. 图15-4-27 如图15-4-28,AC是菱形ABCD的一条对角线,延长AD,CD,分别至点E和点F,且使DE=AD,DF=CD,连接AF,FE,EC.求证:四边形ACEF是矩形. 变式 证明:由题意可知,DE=AD,DF=CD, ∴四边形ACEF是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD, ∴AD+DE=CD+DF,即AE=CF, ∴平行四边形ACEF是矩形. 图15-4-28 (教材补充例题)已知:如图15-4-29,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4 cm,求这个平行四边形的面积. 应用 2　矩形的性质与判定的综合应用 例 2 解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC,OB=BD. ∵△AOB是等边三角形,∴OA=OB, ∴AC=BD, ∴▱ABCD是矩形. 图15-4-29 6 在Rt△ABC中, ∵AB=4,AC=8, ∴BC==4, ∴S▱ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2). 图15-4-29 如图15-4-30,已知E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC. (1)求证:四边形ABFC为矩形; 变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAE=∠CFE. ∵E是▱ABCD中BC边的中点, ∴BE=CE. 图15-4-30 在△ABE和△FCE中, ∴△ABE≌△FCE(AAS), ∴AB=FC. ∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形. 又∵AF=BC, ∴平行四边形ABFC为矩形. 图15-4-30 (2)若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积. (2)由(1)得:四边形ABFC为矩形, ∴∠ACF=90°. ∵△AFD是等边三角形, ∴AF=DF=4,CF=DF=2, ∴AC===2, ∴四边形ABFC的面积=AC·CF=2×2=4. 图15-4-30 [归纳定理] 矩形的判定定理2:　　 　　是直角的四边形是矩形. 符号语言:如图15-4-31, ∵四边形ABCD中,∠A=∠B=　　　　=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 知识点 2　矩形的判定定理2 有三个角 图15-4-31 ∠C (教材补充例题)如图15-4-32,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BC于点E,AD平分△ABC的外角∠FAC,CD⊥AD于点D.求证:四边形AECD是矩形. 应用 1　直接利用矩形的判定定理2判定一个四边形是矩形 例 3 证明:∵AB=AC,AE⊥BC, ∴∠AEC=90°,AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAC. 图15-4-32 12 ∵AD平分∠FAC,∴∠DAC=∠FAC, ∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=∠BAC+∠FAC=(∠BAC+∠FAC) =×180°=90°. ∵CD⊥AD,∴∠ADC=90°, ∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°, ∴四边形AECD是矩形. 图15-4-32 如图15-4-33,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E, F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形. 练习 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵BH,CH分别平分∠ABC,∠BCD, ∴∠HBC=∠ABC,∠HCB=∠BCD, ∴∠HBC+∠HCB=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°,∴∠H=90°. 图15-4-33 同理可得∠AEB=∠F=90°, ∴∠HEF=∠AEB=90°, ∴四边形EFGH是矩形. 图15-4-33 (教材补充例题)如图15-4-34,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点.过点A作AE∥BC,过点C作CE∥DA,交AE于点E. (1)求证:四边形ADCE是矩形; 应用 2　灵活选用矩形的判定方法解决问题 例 4 解:(1)证明:由题意得AE∥BC,CE∥AD, ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB=AC,D为BC的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四边形ADCE为矩形. 图15-4-34 16 (2)若BC=12,AB=10,求CE的长. 图15-4-34 (2)∵D是BC的中点. ∴BD=BC=6, ∴AD===8. ∵四边形ADCE是矩形, ∴CE=AD=8. 如图15-4-35,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DP∥AC,过点C作CP∥BD,DP,CP交于点P,连接OP.若CD=10,求OP的长. 练习 解:∵DP∥AC,CP∥BD, ∴四边形OCPD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∴∠DOC=90°,∴四边形OCPD是矩形, ∴OP=CD=10. 图15-4-35 小结与反思 [小结] 19 [反思] 1.矩形的性质定理与判定定理有什么关系? 解:矩形的性质定理与判定定理是互逆定理的关系. 2.在学习矩形的性质定理时得到一个直角三角形的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这个性质定理的逆命题是真命题吗?说明理由. 解:这个性质定理的逆命题是:如果三角形一条边上的中线等于这 条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 这个命题是真命题.理由如下: 已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线, CD=AB. 求证:∠ACB=90°. 证明:∵CD是AB边上的中线,∴AD=BD=AB. ∵CD=AB,∴CD=AD=BD,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. ∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°, ∴2∠ACD+2∠BCD=180°, ∴∠ACD+∠BCD=90°, 即∠ACB=90°. $