专题02 整式与因式分解（基础与重点） -2026年九年级中考数学复习

专题02 整式与因式分解 考点一 代数式 知识点01 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 知识点02 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【典例1】（2025·广东深圳·二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，先设设小的实数为，大的实数为，结合题意得，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】解：依题意，设小的实数为，大的实数为， ∵用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”， ∴ ． 故选：D． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） 【答案】(1) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件． 【详解】（1）解： 降价元后的月销售量为件 故答案为： 【典例2】（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为． 根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，求代数式的值等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的意义． 利用一元二次方程的解的意义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：2025． 【典例3】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 先根据非负数的性质可得，求出，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 考点二 整式的相关概念 知识点01 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是常数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 知识点02 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点03 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 【典例1】（2025·广东东莞·二模）单项式的次数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式次数的定义，项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解： 的次数为： 故答案为： 【变式1】（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 【典例2】（2025·广东云浮·一模）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，理解单项式的系数与次数是解题的关键．直接根据单项式的系数与次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东·二模）多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题直接根据多项式次数的定义作答即可． 【详解】解：由题可得：中的次数最高，是3次， 故选：B． 考点三 整式的运算 知识点01 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识点02 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 知识点03 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 知识点04 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1、同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2、幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 3、积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4、同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点05 整式的乘除 1、单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2、单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3、多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 4、单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5、多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点06 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】（2025·广东东莞·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算逐一分析各选项的运算是否正确即可． 【详解】解：A选项， ，而非，错误； B选项，，符合幂的乘方法则，正确； C. ，展开后缺少项，错误； D. ，而非，错误． 故选：B ． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逐一验证各选项的运算是否正确，结合合并同类项、同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方等法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，逐项判定即可． 【详解】解∶A．，故该选项正确，不符合题意； B．，故该选项正确，不符合题意；； C．，故该选项正确，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的除法，积的乘方，根据以上运算法则解析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【典例3】（2025·广东阳江·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键，直接合并同类项即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程； （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 【典例4】（2024·广东·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、单项式乘法、积的乘方以及单项式除法运算，解题的关键是熟练掌握各类整式运算的法则，明确同类项的定义及运算中指数的变化规律． 判断选项A需先明确同类项定义，与所含字母的指数不同，不是同类项，不能合并；判断选项B需依据单项式乘法法则，，而非；判断选项C需运用积的乘方法则，，指数运算错误；判断选项D需按照单项式除法法则，，运算正确． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并为，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 【变式4】（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类二次根式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、， 故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【典例5】（2024·广东·模拟预测）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐项计算，即可求解． 【详解】解：A、，该选项运算正确，故A选项不符合题意； B、，该选项运算错误，故B选项符合题意； C、，该选项运算正确，故C选项不符合题意； D、，该选项运算正确，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式5】（2023·广东汕头·一模）计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【典例6】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 . ；. 当时 ． 【变式6】（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简得到原式为，进而把代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【典例7】（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答； 本题考查了整式的混合运算，化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 当时，原式． 【变式7】（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得； （2）由得，代入可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）知， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则． 【典例8】（2024·广东·模拟预测）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的除法、积的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式8】（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．首先运用平方差公式，多项式除以单项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把、值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【典例9】（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解： ， 括号内应填的单项式为， 故选：A． 【变式9】（2023·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值问题，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，根据相关的运算法则和公式计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 考点四 乘法公式 知识点01 乘法公式 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 知识点02 完全平方公式的推导 用多项式的乘法推导完全平方公式： 【典例1】（2025·广东佛山·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数的运算．利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，将所求式子变形．用平方差公式把所求式子变形后，将，的值代入计算即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 【典例2】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式，计算即可． 【详解】解：原式 将，代入原式， 原式， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键． （1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可； （2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解． 【详解】（1） （2） a，b互为相反数， ， ． 【典例3】（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、平方差公式和合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是关键； 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 考点五 因式分解 知识点01 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点03 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点04 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 【典例1】（2024·广东佛山·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和因式分解，利用完全平方公式分解即可．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】（2023·广东深圳·模拟预测）分解因式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：（1） （2） 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键． 利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式1.1】（2025·广东梅州·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1.2】（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 课后巩固练习 1．（2025·广东东莞·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式和二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、二次根式的除法法则和平方差公式． A.根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可； C．先把化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，最后进行判断即可； D．根据平方差公式进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， 与不是同类项，无法合并，则D不符合题意， 故选：C． 3．（2025·广东深圳·三模）下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（   ） 课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4） A．3分 B．6分 C．9分 D．12分 【答案】B 【分析】本题主要查了合并同类项，幂的乘方，算术平方根的性质．根据合并同类项，幂的乘方，算术平方根的性质，逐项计算即可． 【详解】解：（1），正确； （2），原计算错误； （3），正确； （4），原计算错误； 故她最后的得分是6分． 故选：B 4．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 【答案】A 【分析】本题考查了代数推理和完全平方公式，解题的关键是运用完全平方公式进行变形和推导． 通过完全平方公式将不等式转化为易于分析的形式，判断各选项证明方法的正确性，从而确定符合题目要求的选项． 【详解】根据题意可知：；当时，左右两边取等号． A．通过完全平方公式将转化为 ，而总是大于或等于0．因此，这个推理是正确的，故该选项符合题意； B．并不等于而是等于 ，这不等于0，因此，这个推理是错误的，故该选项不符合题意； C．虽然是正确的，但 仅在时成立，这与题目要求的 时取等号不符，故该选项不符合题意； D．并不等于，且 仅在时时成立，这与题目要求的时取等号不符，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式； 直接利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）若，则 ． 【答案】9 【分析】该题考查了代数式求值，根据得出，再将其代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：9． 7．（2025·广东清远·二模）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项的运用，负指数幂的计算，理解同类项的定义，正确列式是关键． 根据题意得到，由此得到的值，由此即可求解． 【详解】解：单项式与的和仍是一个单项式， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 8．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查代数式求值，先化简再求值；先提取公因式化简，再代入计算即可求出． 【详解】解：当时， 故答案为：49． 9．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 10．（2024·广东汕头·一模）设a，b为整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质应用．将已知利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质列式求得a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 11．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 12．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 13．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 14．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 15．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 16．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 17．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 18．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 19．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 20．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 21．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值与合并同类项，解题的关键是先化简再求值． 先去括号，再合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 22．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 23．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）根据平方根的定义可得，然后代入（1）中的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）， ， 24．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（2025·广东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 26．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．先去括号，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 1．（2024·广东·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂相乘和幂的乘方，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：∵，故A错误； ∵中和不是同类项，不能合并，故B错误； ∵，故C错误； ∵，故D正确； 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 由题意知，，则，根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是， ∴，则， ∴． 故选：D． 3．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【答案】A 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为 第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为 第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为 第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为 … 由此发现规律是： 第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为， 第50个图形中长为1的线段和为． 故选：A． 4．（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，二元一次方程组的求解，点到原点的距离，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据同类项，可得，解得，然后再计算其到原点的距离即可． 【详解】解：与是同类项， ， ， 为， 到原点的距离为， 故答案为：． 5．（2024·广东·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值．先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 6．（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式变形等．根据题意先将变形为，继而利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：15． 7．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式、多项式除以单项式去括号，再合并同类项即可化简，代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 8．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 9．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 10．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 11．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 13．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 14．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 15．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 27 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式与因式分解 考点一 代数式 知识点01 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写 . 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成 形式，带分数与字母相乘需把代分数化为 . 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用 括起来，再写单位. 知识点02 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【典例1】（2025·广东深圳·二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） 【典例2】（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【典例3】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 考点二 整式的相关概念 知识点01 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的 组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的 叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是 ； 单项式的次数：一个单项式中， 叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的 有关，与系数的指数 . 知识点02 多项式 多项式的定义：几个 的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 . 多项式的次数：一个多项式中 ，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母 排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母 排列． 知识点03 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 【典例1】（2025·广东东莞·二模）单项式的次数为 ． 【变式1】（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【典例2】（2025·广东云浮·一模）单项式的次数是 ． 【变式2】（2025·广东·二模）多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 考点三 整式的运算 知识点01 同类项 定义：所含字母 ，并且相同字母的指数 的项叫做 . 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为 ，字母与字母的指数 .（简称：一相加两不变） 知识点02 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号 ；括号外是“-”，添(去)括号都 . 知识点03 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 知识点04 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1、同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2、幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 3、积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 （n为整数） 4、同底数幂的除法底数不变，指数相减，即 （a≠0，m，n都为整数） 5、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点05 整式的乘除 1、单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2、单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3、多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 4、单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5、多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点06 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】（2025·广东东莞·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2025·广东阳江·二模）化简： ． 【变式3】（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【典例4】（2024·广东·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】（2024·广东·模拟预测）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2023·广东汕头·一模）计算：． 【典例6】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式6】（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【典例7】（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【变式7】（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【典例8】（2024·广东·模拟预测）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式8】（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 【典例9】（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式9】（2023·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 考点四 乘法公式 知识点01 乘法公式 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 知识点02 完全平方公式的推导 用多项式的乘法推导完全平方公式： 【典例1】（2025·广东佛山·二模）计算： 【变式1】（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【典例2】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 【典例3】（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 考点五 因式分解 知识点01 因式分解 定义：把一个多项式化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 公因式 定义：多项式的各项中 ，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点03 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点04 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 【典例1】（2024·广东佛山·一模）分解因式： ． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）因式分解： ． 【变式2】（2023·广东深圳·模拟预测）分解因式： （1） ； （2） ． 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【变式1.1】（2025·广东梅州·一模）因式分解： ． 【变式1.2】（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 课后巩固练习 1．（2025·广东东莞·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（   ） 课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4） A．3分 B．6分 C．9分 D．12分 4．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）若，则 ． 7．（2025·广东清远·二模）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 8．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 9．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 10．（2024·广东汕头·一模）设a，b为整数，且，求的值． 11．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 12．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    13．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 15．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 16．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 22．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 23．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 24．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 25．（2025·广东·中考真题）因式分解： ． 26．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ． 1．（2024·广东·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 3．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 4．（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是 ． 5．（2024·广东·二模）若，则 ． 6．（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 7．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 8．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 8．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 9．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 10．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 11．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 13．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $