15.3　1.第2课时　平行四边形对角线的性质 课件2025-2026学年北京版数学八年级下册

第 2 课时 平行四边形对角线的性质　 第十五章　四边形 15.3 1 新知与应用 小结与反思 新知与应用 [归纳定理] 平行四边形的对角线　 　　　. 符号语言:如图15-3-15: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=　　　,OB=　　　. 互相平分 知识点　平行四边形的性质定理3 图15-3-15 OC OD 3 [对点练习] 1.在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,如果AC=12,那么AO等于 (　　) A.4 B.5 C.6 D.无法确定 C 2.▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若OA=3,OB=4,则AC+BD的值为　　　　. 14 (教材典题)如图15-3-16,在▱ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少? 应用 1　利用平行四边形的性质定理3进行计算 例 1 解:∵OA+OB+AB=15,AB=6,∴AO+BO=15-6=9. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC,BO=OD, ∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18, 即▱ABCD的对角线AC与BD的和为18. 图15-3-16 6 如图15-3-17,若平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AC+BD=28,则△ABO的周长为 (　　) A.18 B.19 C.20 D.21 变式1 B 图15-3-17 如图15-3-18,在▱ABCD中,AB=4,对角线AC与BD相交于点O.若AC+BD=16,则△COD的周长为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.17 变式2 C 图15-3-18 如图15-3-19,O是▱ABCD的对角线AC与BD的交点,AC= 24 cm,BD=38 cm,AD=28 cm,求△OBC的周长. 变式3 图15-3-19 解:∵在▱ABCD中,对角线AC和BD交于点O,AC=24 cm, BD=38 cm,AD=28 cm, ∴AO=CO=AC=12 cm,BO=BD=19 cm, AD=BC=28 cm, ∴△BOC的周长=BO+CO+BC=19+12+28=59(cm). (教材补充例题)如图15-3-20所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=CN.求证:BM∥DN. 应用 2　利用平行四边形的性质定理3进行证明 例 2 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵AM=CN,∴OM=ON. 在△BOM和△DON中, ∴△BOM≌△DON(SAS), ∴∠OBM=∠ODN,∴BM∥DN. 图15-3-20 10 已知:如图15-3-21,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.求证:OE=OF. 变式1 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC. ∵AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴∠AEO=∠CFO=90°. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. 图15-3-21 如图15-3-22所示,已知▱ABCD和▱EBFD,点A,E,F,C在一条直线上.求证:AE=CF. 变式2 证明:如图,连接BD,交AC于点O. 图15-3-22 ∵四边形ABCD和四边形EBFD是平行四边形, ∴AO=CO,EO=FO, ∴AO-EO=CO-FO,即AE=CF. (教材补充例题)如图15-3-23,在▱ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC. (1)BC=　　　　,CD=　　　　,AC=　　　　,OA=　　　　; (2)▱ABCD的面积为　　　　. 应用 3　综合运用平行四边形的性质定理3解决问题 例 3 8 图15-3-23 10 6 3 48 13 如图15-3-24,已知四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,且BC⊥AC,AB=8,∠ABC=30°. (1)AD=　　　　,BD=　　　　; (2)▱ABCD的面积为　　　　. 变式 4 图15-3-24 4 16 小结与反思 [小结] 15 [反思] 总结平行四边形比一般四边形多哪些性质. 解:平行四边形比一般四边形多如下性质: (1)边:平行四边形的对边平行且相等; (2)角:平行四边形的对角相等,邻角互补; (3)对角线:平行四边形的对角线互相平分. 相关解析 【新知与应用】 例1　 变式1　B　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O, ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD. ∵AC+BD=28,∴OA+OB=(AC+BD)=14, ∴AB+OA+OB=5+14=19, ∴△ABO的周长为19. 故选B. 17 变式2　C　[解析] 在▱ABCD中,AB=4,对角线AC与BD相交于点O, ∴AB=CD=4,OA=OC=AC,OB=OD=BD. ∵AC+BD=16,∴OC+OD=(AC+BD)=8,∴△COD的周长为CD+OC+OD=4+8=12.故选C. 例2　 变式2　[解析] 要证AE=CF,用我们熟知的三角形全等可以证明,但因为题设中有两个平行四边形,所以我们也可以利用平行四边形的性质来证明. 证明:如图,连接BD,交AC于点O. ∵四边形ABCD和四边形EBFD是平行四边形,∴AO=CO,EO=FO, ∴AO-EO=CO-FO,即AE=CF. 18 例3　(1)8　10　6　3　(2)48 [解析] (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8,CD=AB=10. ∵AC⊥BC, ∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理,得AC===6.又OA=OC, ∴OA=AC=3. 19 变式　(1)4　4(2)16　[解析] (1)∵BC⊥AC,AB=8,∠ABC=30°,∴AC=AB=4, ∴BC==4. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=4,OB=BD,OC=AC=2. 在Rt△BOC中,由勾股定理,得OB==2,∴BD=2OB=4. (2)S▱ABCD=BC·AC=4×4=16. 20 $