15.3平行四边形的性质与判定（第3课时平行四边形的判定3、4）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

二、平行四边形 15.3平行四边形的性质与判定 第三课时平行四边形的判定3、4 第十五章 四边形 学 习 目 标 1 2 掌握平行四边形的两个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 能够根据已知条件选择合适的判定定理证明四边形为平行四边形，并能区分易混淆的判定条件。 3 通过 “问题猜想 — 推理论证 — 归纳结论” 的探究过程，培养逻辑推理与几何直观能力。 复习回顾 1 问题1：我们已经学过哪些平行四边形的判定方法？ 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 2：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 如果只知道一组对边的关系，或者对角的关系，能否判定四边形是平行四边形？这就是我们今天要探究的内容。 新知导入 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是根据两组对边的关系来判定一个四边形是平行四边形的，你能否根据一组对边的关系来判定一个四边形是平行四边形呢？它应该满足什么条件？ 思 考 交 流 与 新知探究 3 探究1 平行四边形的判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是根据两组对边的关系来判定一个四边形是平行四边形 . 你能否只根据一组对边的关系来判定一个四边形是平行四边形呢？它应满足什么条件？怎样证明你的猜想？ 思 考 A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD 且AB=CD B D ABCD A C 新知探究 3 探究1 平行四边形的判定定理3 将以上问题转化为数学问题 已知：在四边形 ABCD 中，AB DC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . = ∥ A B C D 分析：通过连接 AC，把四边形 ABCD 分成△ABC 和△CDA 证明：连接 AC，如图 ∵ AB ∥ DC， ∴ ∠BAC = ∠DCA. 又∵ AB = CD，AC = CA， ∴ △ABC ≌△CDA. ∴ ∠ACB = ∠CAD. ∴ AD ∥ BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 新知探究 3 探究1 平行四边形的判定定理3 　　 知识归纳 平行四边形的判定定理3： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B D A C 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵AB=CD,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形. 新知探究 3 探究2 平行四边形的判定定理4 根据对角之间的关系能否判定一个四边形 是平行四边形？ 思 考 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴2∠A+2∠B=360°， 即∠A+∠B=180°， ∴ AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥ CD， 证明： B D A C 新知探究 3 探究2 平行四边形的判定定理4 　　 知识归纳 平行四边形的判定定理4： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. B D A C 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. 典例解析 4 例1：已知：如图 15 - 30， ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 的中点 .求证：EB = DF. = ∥ 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC. 又∵ E，F 分别是边 AD，BC 的中点， ∴ ED =AD，BF =BC. ∴ ED BF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . ∴ EB = DF 典例解析 4 例2：如图，将两块相同的三角尺ABC和A'B'C'按如图放置，使两条直角边BC与B'C'重合在一起，这样拼成的四边形ACA'B是平行四边形吗?试用两种不同的方法说明理由． 解：四边形ACA'B是平行四边形．理由如下： 方法1:∵△ABC≌△A'B'C', ∴AB＝A'B',AC＝A'C',即AB＝A'C,AC＝A'B, ∴四边形ACA'B是平行四边形． 方法2:∵△ABC≌△A'B'C', ∴∠A＝∠A',∠ABC＝∠A'B'C',∠ACB＝∠A'C'B', ∴∠ACA'＝∠A'BA, ∴四边形ACA'B是平行四边形． 新知进阶 5 1.如图，在▱ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，且AF＝CE．求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴AF∥CE． ∵AF＝CE,∴四边形AECF是平行四边形． 新知进阶 5 A B C D 2.下面给出四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3 C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3 B 课堂练习 6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1.如图，在每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有( ) C 课堂练习 6 A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( ) D 课堂练习 6 3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　　) A．3种　　B．4种　　C．5种　　D．6种 B O D A C B 课堂练习 6 4.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　） A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE B 课堂练习 6 5. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（　 ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm C 6.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有____个. 9 课堂练习 6 7.如图，A,B,C,D 四点在同一条直线上，AB＝CD,线段AE与线段DF平行，AE＝DF．求证：四边形EBFC是平行四边形． 证明：∵AE∥FD,∴∠A＝∠D． 又∵AB＝CD,AE＝DF, ∴△ABE≌△DCF(SAS), ∴BE＝CF, ∠ABE＝∠DCF． ∴∠EBC＝∠FCB, ∴BE∥CF, ∴四边形EBFC是平行四边形． 课堂练习 6 8．如图，DE⊥AC,BF⊥AC,DE＝BF,∠ADB＝∠DBC,求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵∠ADB＝∠DBC,∴AD∥BC,∴∠DAE＝∠BCF． ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED＝∠CFB＝90°． ∵DE＝BF,∴△ADE≌△CBF(AAS), ∴AD＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形． 课堂练习 6 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD＝12 cm,BC＝15 cm,点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P,Q同时出发，设运动时间为t s． (1)填空：AP＝　 　cm,DP＝　 　cm,  BQ＝　 　cm,CQ＝　 　cm;  (2)t为何值时，四边形APQB是平行四边形? 2t　 (15－2t)　 (12－t)　 t　 解：(2)∵AD∥BC, 即AP∥BQ, ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝15－2t,解得t＝5． ∴t＝5时，四边形APQB是平行四边形． 0 课堂总结 7 知识梳理： 判定定理 3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理 4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 辨析易混命题：“一组对边平行、另一组对边相等” 不能判定平行四边形。 方法归纳： 证明平行四边形的常用思路：定义法、判定定理 1-4，需根据已知条件选择最优方法。 遇到线段相等的证明，可尝试转化为证明平行四边形。 思想感悟：体会转化思想、分类讨论思想在几何证明中的应用。 感谢聆听! $