精品解析：新疆维吾尔自治区省直辖县级行政单位图木舒克市2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2026年3月份九年级联考数学（试卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数的相反数是（　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解： 的相反数为， 故选：D． 2. 春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题． 【详解】， 因为，故． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具． 4. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，一锐角顶点在直线上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，先求出∠3的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案. 【详解】如图， ∵，， ∴， 又∵直线， ∴， 故选B 【点睛】本题考查了互为余角的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与k，b符号的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得图像经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中， ∴图像经过第一、三、四象限， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 7. 《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质、勾股定理，理解题意是解题的关键． 设矩形门宽为尺，则高为尺，根据矩形的性质和勾股定理列方程即可． 【详解】解：设矩形门宽为尺，则高为尺， 根据题意，可列方程． 故选：A． 8. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故选：B． 9. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12)32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12400-32解不等式可判断③； 根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可 【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米 ∴乙的速度为=5米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为t秒， 5t-4t=12， ∴t=12秒， ∴12×5=60米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒， ∴5（t-12）-4(t-12)32， ∴t44， 当乙到达终点停止运动后， 4 t+12400-32， ∴t89， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米， 甲距离终点还有68米． 故④正确； 正确的个数为3个． 故选择B． 【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 11. 在单词（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：单词中共有11个字母， 其中t出现 了2次， 故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键． 12. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：-1≤x＜2， 故答案为-1≤x＜2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出，角平分线求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：65 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，垂足为D，先求出，，继而求得点C的坐标，再把代入反比例函数即可求得答案. 【详解】过点C作，垂足为D， ， ， 又菱形OABC的周长是8， ， 在中，， ， ， 把代入反比例函数得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键. 15. 对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 【答案】4047 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算以及探索规律，探究出是解题的关键．先计算，再计算，从而将原式按规律重新排列为，最后计算出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4047． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可； （2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1） =2-2+1+1 =2； （2） = = 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键． 17. （1）解方程组 （2）如图，点在上，点在上，，，求证：． 【答案】（1）．（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对于方程组，采用加减消元法消去 ，先求出 的值，再代入方程求出 的值． （2）对于几何证明题，先由 、 推出 ，再利用“”证明 ，最后根据全等三角形对应角相等得到 ． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将 代入得， 解得， 故方程组的解为 ． （2）证明：，， ， ， 在 和 中， ， ， ． 18. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 19. 如图，是平行四边形的对角线． （1）用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形； （3）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图求解即可； （2）证明即可判定四边形是菱形； （3）过点E作于点P，根据菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质计算即可． 【小问1详解】 解：根据基本作图，画图如下： 【小问2详解】 证明：设的交点为点O， 是平行四边形的对角线， ，， ， 根据基本作图，得 ，， ， ， ， ， ， 故四边形是菱形． 【小问3详解】 解：过点E作于点P， 由四边形是菱形，， ， ， ， ， 解得， 由， 得， 故平行四边形的面积为：． 20. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角） 【答案】13.44米 【解析】 【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：根据题意可得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴(米) ∴教学大楼的高度是米． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 21. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （3）求h 关 于d 的函数表达式； （4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】（1）见详解 （2） （3） （4）能 【解析】 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【小问1详解】 解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③用平滑的曲线连接， 所画图象如图所示： 【小问2详解】 解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； 【小问4详解】 解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 22. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明； （2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 23. 【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，是边上的一动点，是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：且． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系：______． 【问题拓展】 （3）如图3，点在斜边上，且（），射线交边于点，射线交边于点．当，，时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)利用边角边证，得到，再通过倒角即可证出； (2)构造一线三垂直全等，过作交延长线于点，先证，得到，，再证出，进而得到，再通过即可得解； (3)过点作于点，于点，先证，得到，再证，得出，设参，利用建立方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月份九年级联考数学（试卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数的相反数是（　） A. B. 3 C. D. 2. 春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，一锐角顶点在直线上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 因式分解：___________． 11. 在单词（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“”的概率是________． 12. 不等式组的解集是_______． 13. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 15. 对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. （1）解方程组 （2）如图，点在上，点在上，，，求证：． 18. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 19. 如图，是平行四边形的对角线． （1）用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形； （3）若，求平行四边形的面积． 20. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角） 21. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （3）求h 关 于d 的函数表达式； （4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 22. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 23. 【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，是边上的一动点，是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：且． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系：______． 【问题拓展】 （3）如图3，点在斜边上，且（），射线交边于点，射线交边于点．当，，时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $