第2章 三角恒等变换（复习课件）数学湘教版必修第二册

单元复习课件 第2章 三角恒等变换 湘教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握两角和与差的正余弦、正切公式、二倍角公式及其核心变形（降幂、升幂、辅助角公式），明确两角差的余弦公式作为公式体系的推导起点，能完成基础公式的互推，无需死记积化和差、和差化积公式。 2.能将复杂三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B/y=Acos(ωx+φ)+B标准形式，分析函数的最值、值域、周期等性质。 3.提升跨模块综合解题能力，能将三角恒等变换与向量的数量积、平行关系，平面几何的角度、边长问题，解三角形的正余弦定理、面积公式结合，解决综合型问题。 4.体会三角恒等变换公式反映的 “角的运算与三角函数值变化的规律”，理解数学知识的整体性，提升综合运用数学知识解决问题的能力。 单元学习目标 本章数学本质 三角恒等变换是三角函数的核心内容，其本质是利用角的代数运算（和、差、倍、半），通过三角函数的基本关系，实现三角函数式的结构转化与数值计算。本章以两角差的余弦公式为逻辑起点，通过角的代换、恒等变形，构建起一套完整的三角公式体系，反映了 “角的变换” 与 “三角函数式的变换” 之间的内在联系。三角恒等变换不仅是对三角函数定义、基本关系的深化应用，更是连接三角函数图像与性质、向量、解三角形、实际应用问题的桥梁，体现了数学的整体性、逻辑性和工具性，其核心思想是化归与转化（异角化同角、异名化同名、高次化低次、复杂式化简单式）。 单元知识图谱 一、两角和与差的三角函数公式 1 两角差的余弦公式 图10.1-1 推导：如图10.1-1,设向量 , ,则 . 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 . 所以可得 . 考点串讲 2 两角和的余弦公式 推导：在两角差的余弦公式中，用 代替 ，就可以得到 . 一、两角和与差的三角函数公式 特别提醒 1.公式中的 ， 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 如： . 2.要掌握公式的逆用，如 . 考点串讲 一、两角和与差的三角函数公式 3 两角和的正弦公式 推导：运用两角差的余弦公式 和诱导公式，有 4 两角差的正弦公式 推导：在两角和的正弦公式中,用 代替 ，就可以得到 . . 考点串讲 5 两角和的正切公式 . 推导：利用公式和 ， 有 . 6 两角差的正切公式 . 推导： . 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 ; ; ; ; ; . 正切公式的变形 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 和角公式与差角公式 ,,统称为和角公式，,, 统称为差角公式,它们 之间具有紧密的联系（有时可以互相转化），这种联系可用框图形式表示，如图 所示. 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 二、化一公式（辅助角公式） 1 辅助角公式 对教材【问题与探究】的深挖 . 2 辅助角公式的推导 . 令,,则 , 其中角 的终边所在象限由,的符号确定，角 的值由 确定或由 和 共同确定. 考点串讲 二、化一公式（辅助角公式） 3 常见辅助角结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） . 考点串讲 三、二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 倍角公式 简记符号 正弦 余弦 正切 其中，公式 还可以变形为 , . 说明 以上这些公式都叫作倍角公式.这里的“倍角”,实际上专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名称时，“三”字等不能省去. 考点串讲 倍角公式的变形 （1）倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . （3）因式分解变形 . 二、化一公式（辅助角公式） 考点串讲 （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ； ； . 倍角公式的变形 二、化一公式（辅助角公式） 考点串讲 三、积化和差、和差化积公式 积化和差公式 （1）和 两边相加得 , 即 ①. 类似地，和 两边相减，可得 ②. 考点串讲 （2）和两边相加，可得 ③. 和两边相减，可得 ④. 公式①②③④中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函 数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 三、积化和差、和差化积公式 考点串讲 和差化积公式 在积化和差的公式中，如果令, ,那么, .把 , 的值代入积化和差公式 ,就有 ,所以,把 , 换 成 , ，就有 ⑤, 同样可得 ⑥, ⑦, ⑧. 公式⑤⑥⑦⑧中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角 函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 三、积化和差、和差化积公式 考点串讲 题型01 和差公式及其应用 D 题型剖析 题型01 和差公式及其应用 C 题型剖析 A 题型01 和差公式及其应用 题型剖析 状元笔记 　直接利用和、差角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数的基本关系式、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用． 题型剖析 题型02 倍角公式及其应用 题型剖析 A 题型02 倍角公式及其应用 题型剖析 C 题型02 倍角公式及其应用 题型剖析 C 题型02 倍角公式及其应用 题型剖析 状元笔记 题型剖析 题型03 辅助角公式及其应用 C 题型剖析 题型03 辅助角公式及其应用 D 题型剖析 题型03 辅助角公式及其应用 D 题型剖析 状元笔记 题型剖析 C *题型04 积化和差与和差化积公式及其应用 题型剖析 C *题型04 积化和差与和差化积公式及其应用 题型剖析 状元笔记 题型剖析 题型05 给角求值、给值求值与给值求角问题 A B 题型剖析 题型05 给角求值、给值求值与给值求角问题 A 题型剖析 状元笔记 题型剖析 题型06 三角恒等变换中的化简 与恒等式证明问题 题型剖析 状元笔记 题型剖析 题型08、综合应用 题型剖析 题型08、综合应用 题型剖析 状元笔记 题型剖析 D 针对训练 A 针对训练 A 针对训练 C 针对训练 B 针对训练 D 针对训练 B 针对训练 C 针对训练 ABD 针对训练 ABD 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1、本章知识结构 三角恒等变换是一个以对称性为骨架、以推导为血脉的自洽逻辑体系。 课堂总结 62 课堂总结 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 【解析】：因为，，所以，所以， 则，所以，所以. 故选：A. 例8 求证： 【解析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论. 证明：由 ，得证. 【解析】（1）如图，作于F，记，则. 在中，，则， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 例9.如图，扇形半径为1，圆心角为，过扇形弧上点分别向，作垂线，垂足为，，得到，当点（与，不重合）在扇形弧上从到运动时． (1)的面积是如何变化的？ (2)求面积的最大值． 1、所有题型均围绕三角恒等变换公式展开，公式的正向、逆向、变形应用是解题的前提； 2、角的变换是连接所有考点和题型的核心纽带，无论是求值、化简、证明还是综合应用，都需通过角的配凑将未知转化为已知； 3、三角求值、化简、证明考查公式的直接应用和基本变换技巧，综合题型考查公式的灵活应用和知识的跨模块整合（向量、几何、实际问题）； 4、数学运算的准确性、逻辑推理的严谨性是解决所有题型的关键，尤其是角的范围判断、三角函数符号确定、公式适用条件等. 三角恒等变换不是孤立的技巧，而是一套揭示角度世界代数结构的思维语言. 积累基本思维活动经验： 一般思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，一个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切化弦法，消元降次法，辅助元素法). $