福建省厦门双十中学2025-2026学年高一下学期数学周考01

厦门双十中学2025-2026学年第二学期周考01 高一数学试题 (本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知d=1,同l=2,且a与的夹角为120，则a币=) A.1 B.-i C.5 D.-5 2.在梯形ABCD中，B∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AB=号EC,则D丽=（） n.2店-AD 。而-而 2 3 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,b=2,sinA=二，则B=() 4 A君 B.月 c. D名或 4.已知非零向量ā，满足=2列=2-2列，则a,石角的余弦值为（) A.5 4 D. 5.已知a+到石则ma-引 +cosa=( A 5 C.+3 6.如图，设店=xAD,AC=yA正，(x>0,y>0),线段DE与BC交于点F,且B丽=BC,通过计算得到： =正+x而，则上+的最小值为() x y 9 A.5 B.9 C. D.5 7.已知圆I的半径为4.△ABC内接于此圆，且AC=6,则AB·AC的取值范围是(). A.[-6,42] B.[-12,42] c.[-12,21] D.0,21] 第1页共4页 8.已知平面向量ā，6，。，且间=1.己知向量6与所成的角为60，且B-≥5-对任意实数t恒成 立，则a+2+a-列的最小值为() A.5+1 B.2W5 c.5 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列命题，其中正确的选项有( A.已知A(-2,4),B0,1),则A西=(-3,3) B.若非零向量a,6满足引a+bHa-l,则a⊥6 C.若G是△ABC的重心，则点G满足条件Ga+G丽+GC=0 D.若△MBC是等边三角形，则<应，C>写 10.已知单位向量ā，6，c满足a+石+c=0,·则下列结论正确的是（ A.(, B.6+1 c.a(b+)=1 D,a在i+上的投影向量为a 1.在△1Bc中，角4B,C所对的边分别为a,b,0且o日+如6-号，sm45血C=》,D是4C cos B'sin Bb 的中点，则( AB-号 b.△ABC的面积为3V3 c.b≥V6 0.D≥32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+26的夹角为锐角，则实数u的取值范围是 13.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若aoos B+b(cosA-2)=0,则=_ 14.平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段 长的积相等.如图，已知F是圆E内的定点，P为经过点E,F的直径，且 ACOBD=F,AC.BD=0,若FP=3-V5,Fg=3+V5,则 AD.BC=_ 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知平面向量a=(3,4),6=(9,),c=(4,),且a16,a⊥c (1)求6在c方向上的投影向量； (2)求m=2a-b与元=a+c的夹角 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,△ABC的外接圆半径为R,Rsin B-acos B+c=0. (1)求A; (2)已知a=2√万，D是边BC的中点，且AD L AB,求AD的长. 17.(15分) 如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上， BE=2EA,AD与CE交于点O. (1)以AB,AC为基底表示BD; D (2)若BO=xAB+yAC,求x,y的值： A列 (3)若AB.AC=6Aō.EC,求 的值。 AC 第3页共4页 18.(17分) 已知△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〔sinB-sinA_66-5c sinC atb (1)求cosA: (2)若a=2√5，求BC边上的高的最大值 (3)若△ABC的垂心为M(M在△ABC的内部)，直线BM与AC交于点D,且AM=3,当AB+DM最 大时，求AB. 19.(17分) 如图，设a∈(0，，且a产7，当么0=u时，定义平面坐标系为a的斜坐标系.在a的斜坐标系中， 任意一点P的斜坐标这样定义：设，e,分别为Ox,Oy正方向同向的单位向量，若向量OP=x名+y吧， 记向量O丽=(x,y).在α-亚的斜坐标系中. 2 1)若向量0p=(3,2),求0丽. 10 2创已知向量a=(,y》,万=（≤），证明：ā6=%+y4+(%+). (3创若向量a,5的斜坐标分别为(sin2x,V5cos2x和(，-)，x∈R,设函数f(x)=ā-6，g(x)=e+e, ①证明：h(x)有且只有一个零点 ②比较8sn牙与的大小，并说明理由.（参考数据：e=2.71828，血2=0.69314中 第4页共4页 厦门双十中学2025-2026学年第二学期周考01 高一数学试题参考解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】B 1.【答案】8【详解】a5-问oasi20-1k24(引-l 2.【答案】C【详解】根据题意，作图如下所示： 由恩意得，D正=D1+花=Da+c=Di+(D+Dd到=-名而+西.故选：c 32 3,【答案】A【详解】在△ABC中，由a b s如Ain日，有习sin日，所以si如B=子 又6<a,故B0,引所以a=号 4.【答案】0【详解】因为=p=2站-2，所以a2=462=4(2-465+46,则6-子， a.b 1 5.【客案1c(详懈】由如a+引名1-2血(a+周引名血(a+引号→me+)-号 又(a-引aaacsa=9a+ma=(e+引 1 2 所a-周+eoa=±号 6.【答案】D【详解】由而-亚+号x而，D,2F三点共编，得号+号x=1,即4红+y=5, 所以好+-0+x+叭-s+兰》≥5+22习 当且仅当兰钙，即x=名-时取等号。 x y 3 故小值为号 7.【答案】A以I为坐标原点O,AC:轴，建立坐标系，如图， 则A(-3,-万），C3,-万），设B(4cos8,4sin), Ac=(6,0),丽=(4c0s0+3,4si日+√7则丽.AC=24cos日+18∈[-6,42， 8.【答案】B【详解】平方去绝对值号，由6-@25-，则62-26+222-25E+E3, 根据向量6与的条件可得万=，化简可得产-+同间-120， 第1页（共6页） 令f(0=2-l+-1,由于函数开口向上，所以需要满足△5P-4+4≤0→△=(-2≤0， 所以=2观察所求式子内部，两者相减可将ā约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即la+2+a-6a+2e)-(a-6)H22+8,又2e+=√4@2+4柜.6+=4+4+4=25， 则a+2+a-的最小值为25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.【答案】BC 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD 9.【答案】BC【详解】对于选项A,已知A(-2,4),B1,),则AB=(3,-3),故选项A错误 对于选项B,已知非零向量a,6满足]a+日a-1 则a2+2ai+2=a2-2ai+2,所以ab=0,则a16,故选项B正确： 对于选项C,已知G是△ABC的重心，设D为BC的中点， 则Ga=-2GD=-(GB+GC),则G+GB+GC=0,故选项c正确； 对于选项D,已知△BC是等边三角形，则<孤，C> ,故选项D错误故选项：BC 10.【答案】BD【详解1对于A,由后+6=-G,得a+5}=(-,即1+2a5+1=1,解得6= 则eos<a,6>号而05a,)≤，因此a6-行，A正确 对于B,由b+c=-a,得16+cH-a上1，B正确： 对于C,a(6+)=-=-1,C错误： 对于0，a在6+上的投影狗量为-6+96+0)=-6+0=a,D正确 16+c2 1.【答案】AcD【详解】对于A,已知osC+如C=22,所以c0 sCsin+sin CcosB.2_2s4 cos B'sinB b cos Bsin B b sinB 也即m(B+C）_sin(r- sin A cos Bsin B cos Bsin B 2m的，所以可得os8方又Be0刊，故8=子故A正确 cos Bsin B sin B 对于B,5ac-9cnB= 2Rsic=c 4ac,又由正弦定理sin4= 2R ,可得sin Asin C=ae=9 4R22 9 9i2g所以26ae、62 所以4R-2bac,又b=2Rs如B,所以4R= 9 sin2B 也即aesm8=2:又m8月 2 63 解得ac=6,所以Sc=5x ,故B错误， 4 2 对于G因为caB=克ac=6,所以8=g+g-2acsB=6+e-6 又a2+c2≥2ac=12,当且仅当a=c=√6时取等号，故b2≥12-6=6，也即b≥V6,故C正确 第2页（共6页） 对于0，D是AC中点，所以历=（夙+aC,因为A-朊==c, 所以D.团+C.矿e+aC2些号，当且仅当6=V6时取等号，所以BD29,故D正确。 4 42 2 4 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12【答案)>-且入013.【答案】24【答安】12 12.【答案】2>-号且1*0【详解1因为ā=2,6-()，所以ā+5=(1+，2+2. 因为a与a+5的夹角为锐角，所以a(a+6)>0,且a与a+5不共线， 所以1+1+2(2+刘小>0，且21+刈*2+2，解得2>-号且20枚答*为：>-号且=0。 13.【答案】2【详解】a cos B+b(co3A-2)=0,.2 Rsin Acos3B+2 RsinB(co3A-2)=0, ∴，sin Acos B+sinB(cosA-2)=0,∴sin Acos B+sin Bco3A-2sinB=0,∴.sin(A+B)-2sinB=0, :A,B,C是△ABC的内角，A+B=元-C,∴sin(π-C)-2siB=0,sinC-2sinB=0, 京-2x京-0,6-200,0=20，号=2减若案为2 14.【答案】12【详解】FP=3-V5,F2=3+5, :丽.历=-Fo=-mF@=-3-53+5)=-6, FFc=F元=m@-3-5)3+)=6,4CB=0,∴元DF=丽.=0， DBC=(正+而⑧F+FC)=正丽+F0+而8丽+而元， :FDBF=-FB.F而=6，ADBC=12.故答案为：12， 四、解答题：本题共5小题、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15.（13分) 【详解】(1)：ā/16,3x-36=0,解得x=126=(9,12)…2分 :iLc,a0=l2+4y=0,y=-3E=(4,-3)… …4分 =9x4+12x(-3）=0,61c,所以6在c方向上的投影向量为0，… …6分 (2)山(1)知，m=2ā-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),i=ā+c=(3,4)+(4-3)=(7,),……8分 :m7=-3x7+(4)x1=-25,网=(-3}+(4)=-5，同=V+下=55.设m,n的夹角为8，则： 第3页（共6页) cos= m方=-25=-2 …11分 同5×52 2 :0[0,],÷0=3买；即向量而与向量元的夹角为3亚。 ...。.e.......e …13分 4 16.(15分) 【详解】(1)由正弦定理可得Ri血B= 6 …1分 所t以由Rsin B-cos B+c=0可得sin8--siB+sinC=0, 2 又因为A+B=元-C,所以sinC=sin(A+B), 因此可得i的B-6 sinB+sin4cosB+cos4si血B=0,即n2+co84i血B=0, 2 2 又BeQ小，所以血B0,【宋交代扣一分】因此cosA=分 又4(0，，【未交代扣一分】可得A=行： …6分 (2)如下图所示：由(1)中A=2亚以及D1AB,可得∠CD= 3 6 因为D是边BC的中点，所以SD=SMcD, 即2cD=00s如爱，可很6=20， B …9分 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A=4c2+c2+2c2=7c2 又己知a=2W万，所以C=2,b=4,……11分 所议D-号=万，可得D-B0--74= 即AD的长为AD=√3，… …13分 17.(15分) 【详解】(1)而=元=-而+0=而+号c。 3分 2 (2)连接BO,则BO=xAB+yAC=xAB+y(BC-BA=-xBA-yBA+yBC=(-x-y)BA+yBC, 因为而=c,死-子丽，所以0=(-x-丽+y8c,0=(←x-城+2yD, 因为E,O,C三点共线，A,O,D三点共线， XO …9分 (-x-y+2y=1y=4 第4页（共6页) (3》设0=m,0=n,则0=mD=号恋+0， 而=正+o=正+nC=正+n(c-回=1-m)正+nAC-1二”西+nc, [11-n ms m= 3 所以 ，解得 …12分 (m=n n=- 所似而=而-而+0，c-c-花=号而+死， 60.=6×而+-（五+0=号孤+而c+C, 又因为而G=6a6C,所以号0+号C0,即亮=3，所2 =√5.…15分 AC 18.(17分) 【详解】(1) 5(sinB-sinA）_6b-5 sinC a+b ,由正弦定理得56+58=6bc+5a2,即+c2-2=bc. 由余弦定理得cosA=6+c2-a23 …4分 2bc 5 (2)在aABC中，由cosA=3, 得si血4=4 …5分 由(1)可得62+c2=20+bc≥2bc,得bcs25,当且仅当b=c=5时，$号成立， …7分 所似S。c-besinA-26c≤10.故△BC面积的最大值为0mm …8分 5 设BC边上的商为h,又aae=号BC-h=V5h≤10， 乃≤发=25，即b=c=5时，BC边上的商有数大值25.…-严 B (3)如图，设∠DAM=a(0<&<A). 在aMD中，MD=AM sina=3sina. …11分 在△MBD中，由∠BAD+ABM=受， 得sin∠ABM=sin -LBAD D. 在BM中，s油∠M8=n[行+a-casa,由正弦定理得 AM AB sin∠4BM sin∠AMB' 得AB=sin∠MB /M=2 cosax3=500s&,… …13分 sin∠ABM 所以AB+MD=5cosa+3sina=V34 3 sina+ =V34sin(a+p), 34 134 其中sip=5V34」 …15分 34 o8p=334 34 当a+P=号时，AB+MD取得最大值，此时cosa=inp= 5V34 …16分 34 得AB=5c0sa=253☒ 0004.0.0年0●。g00。g。。。g000。e408ttt。4。ss55000中w …17分 34 第5页（共6页） 19.(17分) 【详解11)因为向量0=(6,2，所以乎-=g+2运，又因为名=方，日2-8”=1， 所以0丽=(3g+28=9g2+12g8+48°=13+6=19， 所以=.… …3分 (2)因为向量ā=（名，），方=（名y2),所以ā=x8+马，万=为8+马， 所以ā6=(xg+y8小名8+4同)=g+(4+xy)gg+马2 化简得a-6=X%+X%+(名%+3X小…7分 (3)@由2)得f(个=i6=sn2x-5cos2x=5cos2x-sn2, 化前得=m2x-哥引， …8分 所以a6=hx+(2传+引-引-nx+[任e>0). 当xe0,2列时，（纠单调递增，因为4[分）-h2+s如骨 又因为管<加爱-克h2=扣4>知分，所以4哈}0，又因为0-号>0，所以}4<0， 6 由除点存在定夏可得，存在6， 使得h(x0)=0,所以h(x)在(0,2)上有一个零点…10分 当x∈[2,4)时，nx2n2>0,sin二x>0,所以h()>0,故h()在[24)上设有零点…11分 当xe[4,o时，血x≥h4>1,si血牙xe[-1,所以h(创>0，故A()在[4，o)上没有譬点.…12分 综上可得，h(x)有且只有一个零点X0…13分 ®小3 …14分 如下：（如列8(x)-+”名在气上单阀避诚 所+%引，即血列2引所以e(血)月 …17分 第6页（共6页）