精品解析：浙江省杭州市西湖区浙附玉泉2025-2026学年高一上学期月考数学试题

数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A B. C. D. 2. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ） A B. C. 1 D. 7 3. 将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了” 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四份供词都是一半真一半假，则作案的两人是（ ） A. 甲、丙 B. 乙、戊 C. 丁、己 D. 甲、戊 5. 若，，，，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点在上，，连接，过点作交于点，的延长线交于点，设四边形的面积与的面积之比为，正方形的面积与的面积之比为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 14 8. 已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（ ） A. a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B. a、b、c三个数中，至少有一个数0 C. a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D. a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.每小题全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（ ） A. 必然发生 B. 发生的概率为 C. 可能发生 D. 发生的概率大于0 10. 已知抛物线一段图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且在第一象限，点D为对角线、的交点，曲线与的延长线相交于点，若点，，则以下结论正确的是（ ） A. 点的坐标是 B. 四边形的面积为 C. D. 三、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分 12. 若的值恒为常数，则x的取值范围为______． 13. 已知其中A、B、C、D为常数，则______． 14. 化简：______． 15. 设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于，，，则______． 17. 如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 18. 若，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 19. （1）计算 （2）已知三个数，，满足，，，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点、，交y轴负半轴于点C，为的直径． （1）求图象经过点A、B、C二次函数的解析式； （2）设点D为（1）中二次函数图象的顶点，判断直线与的位置关系，并说明理由． 21. 为了探索代数式的最小值，小张巧妙地运用了数学思想，具体方法是这样的：如图，C是线段上一动点，分别过点B，D作，，连接，，已知，，，设，则，，则问题转化为求的最小值． （1）当满足条件________________时，的值最小，可以求得的最小值等于______； （2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值； （3）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，，， 所以 2. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 3. 将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将四个数组成没有重复数字的四位数， 从小到大排列：， 所以第个四位数是. 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了” 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四份供词都是一半真一半假，则作案的两人是（ ） A. 甲、丙 B. 乙、戊 C. 丁、己 D. 甲、戊 【答案】D 【解析】 【分析】一共2人作案，5人的供词（己无供词）中，1人供词全假，其余4人都是一真一假（一半真一半假），逐个代入选项验证. 【详解】对于A：甲说“乙、戊作案”全错，丙说“乙、己作案”也全错，出现两个全假供词，不符合条件，A错误； 对于B：乙说“甲、丁作案”全错，丁说“甲、丙作案”也全错，出现两个全假供词，不符合条件，B错误； 对于C：甲说“乙、戊作案”全错，丁说“甲、丙作案”也全错，出现两个全假供词，不符合条件，C错误； 对于D：丙说“乙、己作案”：两人都没作案，供词全假（符合“一人全假话”）， 甲：乙错、戊对 → 一真一假 乙：甲对、丁错 → 一真一假 丁：甲对、丙错 → 一真一假 戊：甲对、己错 → 一真一假 刚好满足“1人全假，其余4人一半真一半假，共2人作案”，符合所有条件 D正确. 5. 若，，，，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 7. 如图，在正方形中，点在上，，连接，过点作交于点，的延长线交于点，设四边形的面积与的面积之比为，正方形的面积与的面积之比为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 14 【答案】A 【解析】 【详解】设， 在中，， 因为，所以， 故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，， 所以，， ， 因为，， ，， 所以，， 故. 8. 已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（ ） A. a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B. a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C. a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D. a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【解析】 【分析】对求和后配方，证明恒大于0，从而推出中至少有一个正数，结合特殊值逐项判断. 【详解】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为  ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.每小题全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（ ） A. 必然发生 B. 发生的概率为 C. 可能发生 D. 发生的概率大于0 【答案】ABC 【解析】 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A，C，D；根据概率乘法公式及对立事件概率公式计算判断B. 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 10. 已知抛物线的一段图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且在第一象限，点D为对角线、的交点，曲线与的延长线相交于点，若点，，则以下结论正确的是（ ） A. 点的坐标是 B. 四边形的面积为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由菱形的性质可知，，则菱形面积，故B错误； 已知，则，， ，设的高为， ，， 设，则，， ， 是的中点， 坐标为， 在上，，解得， 曲线方程为， 为水平线与曲线的交点为，令则， ，故A正确； ，故C错误； 设， ，解得， 由菱形的性质可知，边长，对角线互相垂直平分， 直角三角形中，， ，解得， ，故D正确． 三、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分 12. 若的值恒为常数，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个绝对值的零点，分为3段去绝对值，求的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 若的值恒为常数，则的取值范围为 13. 已知其中A、B、C、D为常数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通分后，通过比较系数可得答案. 【详解】 ， 则，从而. 故答案为：. 14. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， ， ， ． 15. 设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，根据三角函数定义解直角三角形求，利用正弦定理求结论. 【详解】连接，因为轴轴，所以，因此是外接圆的直径， 根据同弧所对圆周角相等，得， 已知，即， 在中： ， 在中，由内角和得： ， 根据正弦定理， ，，， 可得. 17. 如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用坐标法判断，再根据三点共线求点的坐标，最后代入两点间距离公式. 【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 设，，，，， ，，，所以， ，所以，所以， 则，即， 设，，，，， 点三点共线，则，① ，，，， 点三点共线，则，② 联立①②，解得：，， 即，， 则 18. 若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用主元分析法，先对进行配方，再对剩下的配方，即可得到最小值. 【详解】由 ， 当且仅当时取到最小值. 四、解答题：本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 19. （1）计算 （2）已知三个数，，满足，，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 由可得， 由可得， 所以，即， 因为，所以. 20. 如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点、，交y轴负半轴于点C，为的直径． （1）求图象经过点A、B、C的二次函数的解析式； （2）设点D为（1）中二次函数图象的顶点，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）CD与相切，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质求得，结合已知并应用待定系数法求二次函数解析式； （2）求出相关点坐标，应用勾股定理及圆的切线性质判断，即可得结论. 【小问1详解】 连接，由题为直角三角形，由射影定理， ， 因，设二次函数解析式为， 代入，得，则 【小问2详解】 注意到为中点，则. 注意到，则. 因，，， ，则，又在上，则为切线， 即与相切. 21. 为了探索代数式的最小值，小张巧妙地运用了数学思想，具体方法是这样的：如图，C是线段上一动点，分别过点B，D作，，连接，，已知，，，设，则，，则问题转化为求的最小值． （1）当满足条件________________时，的值最小，可以求得的最小值等于______； （2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值； （3）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积． 【答案】（1）三点共线；10 （2）13 （3） 【解析】 【分析】（3）根据题干中数形结合思想的运用，将代数问题转化为几何问题，在矩形中找到表示，，的线段，进而求面积. 【小问1详解】 如图1， ，当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最小值为，过作直线的垂线，垂足为， 则， 在中，由勾股定理知， 所以，即的最小值为10. 【小问2详解】 如图2， C是线段上一动点，分别过点B，D作，，连接，， 已知，，，设，则， ，则问题转化为求的最小值． 因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最小值为，过作直线的垂线，垂足为， 则， 中，由勾股定理知， 所以，即的最小值为13. 【小问3详解】 在矩形中，分别各边中点，， 则，，，如图3， 则的面积即所求，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $