精品解析：浙江省衢州第二中学2025-2026学年第一学期高一年级12月阶段性测试数学试题

衢州二中2025学年第一学期高一年级12月阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1. 设集合，则（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用补集和交集的运算求解. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以． 故选：B. 2. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，是偶函数，但是在整个上有增有减．故不满足题意． B，，不是偶函数，不合题意． C，不是偶函数，不合题意． D，既是偶函数，在上也是增函数，符合题意． 故答案为D． 4. 函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负，无意义，即可求得答案. 【详解】由题意，解得或， 所以定义域为：或. 故选：C 5. 已知角是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式即可计算求解. 【详解】因为角是第二象限角，所以，又，所以． 故选：A. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算即可. 【详解】，，解得. 故选：A. 7. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ） A. 2 B. 9 C. 99 D. 101 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算性质即可求解. 【详解】当，时， ， 由， 得，所以， 所以，即信噪比变为原来的101倍 故选：D 8. 若，且有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知函数性质，分别构造函数并求导，用导数分析函数单调性并结合三角函数性质判断的大小关系． 【详解】令，求导得，，， ，在上单调递增， ，，； 令，求导得，在上单调递增， ，； 令，求导得， 在上单调递增， ，且，， 在上，，， ， ，则， 在上单调递增，，， ． 故选：A． 二、多选题 9. 若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合分类讨论的正负即可求解. 【详解】当时，则得 所以； 当时，得 所以； 综上所述，， 故选：AB 10 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在上是增函数 C. 为的一个周期 D. 在上有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数形结合即可作出判断. 【详解】作出函数图象，如图： 根据图象可知：的最大值为1，故A正确， 在上是减函数，故B错误， 为的一个周期，故C正确， 在上有三个零点，故D错误， 故选：AC. 11. 已知函数，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最小值为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，或， 当时，则有，这与相矛盾， 当时，有，显然选项B正确； 由 又因为，所以，所以， 所以选项A正确； 因为，所以，所以没有最小值， 因此选项C不正确；选项D正确. 三、填空题 12. __________. 【答案】3 【解析】 【详解】原式 . 13. 已知，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 14. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，符合题意， 当时，二次函数的判别式为：， 若，此时函数的零点为，符合题意； 当时，只需，所以且； 当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意； 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 记函数的定义域为,的定义域为. （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式组求解即可; （2）先根据真数大于零,求出函数的定义域,再由列出不等式,结合求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意得,解得或, 即或. 【小问2详解】 根据题意, 因为，所以, 则, 即, 因为, 所以或, 解得或, 又, 所以或, 即实数的取值范围是. 16. 如图，角的终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，平方关系以及点的位置可求出，再由商数关系即可求出； （2）利用诱导公式即可求出． 【小问1详解】 由三角函数定义知,所以, 因为,所以,所以. 【小问2详解】 原式. 17. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） 0 0 1 0 0 1 3 1 1 . （2），【解析】 【小问1详解】 列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示. 【小问2详解】 由， 因为的单调递增区间为，， 所以令，，解得，， 所以的单调递增区间为，. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是上的奇函数， 所以，即，解得，从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知， 任取，，且，则 因为，所以，所以，即， 所以在R上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，，且. ①求的取值范围； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 分析】（1）由，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出又代入后计算可得结果. 【小问1详解】 由可得，所以，即，解得. 【小问2详解】 ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减，当时， 单调递增，其中，当时，，结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即. ， ， 又，所以 ， 因为，所以，, 故. 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州二中2025学年第一学期高一年级12月阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的为 A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 5. 已知角第二象限角，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ） A. 2 B. 9 C. 99 D. 101 8. 若，且有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在上是增函数 C. 为的一个周期 D. 在上有两个零点 11. 已知函数，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最小值为2 D. 三、填空题 12. __________. 13. 已知，，则的最小值为______． 14. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___． 四、解答题 15. 记函数的定义域为,的定义域为. （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 16. 如图，角终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 17. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在上图像（先列表，再画图）； （2）求单调递增区间. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，，且. ①求的取值范围； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $