精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

杭州学军中学2025级高一上第二次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题，其中为真命题的是（ ） A. 若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B. 和表示同一函数 C. 函数的单调增区间为 D. 若函数值域是，则实数或 4. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 已知正实数，，满足，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 设函数满足，，且，则下列结论正确是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（且），则的取值范围是______. 13. 已知，则的值为______． 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求，值； （2）求的值. 16. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间和值域； （2）解关于的不等式. 17. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 15 12 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 18. 已知函数． （1）写出函数的单调区间； （2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若，且，求的取值范围． 19. 已知函数，记（）. （1）若，解不等式：； （2）设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025级高一上第二次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解． 【详解】， 故． 故选：D． 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解. 【详解】解：因， 所以，， 所以， 故选：B 3. 下列四个命题，其中为真命题的是（ ） A. 若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B. 和表示同一函数 C. 函数的单调增区间为 D. 若函数的值域是，则实数或 【答案】D 【解析】 【分析】对A，取进行说明，即判断正误；对B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对C，直接求出的增区间，即可判断正误；对D，利用二次函数的性质，结合条件得. 【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数， 但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A错误， 对于B，因为的值域为，的值域为，所以和不表示同一函数，故B错误， 对于C，因为， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，，故C错误， 对于D，函数的值域是，又的对称轴为，图象开口向上， 则，解得或，所以D正确， 故选：D. 4. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小. 【详解】因为函数，定义域为，而且 所以为偶函数， 因为时，在上单调递增； ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数在上单调递增， 有，可得 故选：A. 6. 某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：C 7. 已知正实数，，满足，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，将条件化为关于的方程有解，利用判别式求的范围. 【详解】设，则， 所以关于的方程在上有解， 对于，其图象开口向上且对称轴， 所以，只需，则， 所以. 故选：B 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】考查图像的平移变换和指对运算，依次分析求解即可. 【详解】对于A，因为，，所以向左平移2个单位可以得到，所以选项A正确； 对于B，假设 ，变形可得不存在a，b的值满足该式，所以选项B错误； 对于C，，所以可以由向左平移 个单位长度得到，所以选项C正确； 对于D， ，将的图象向上平移lg3个单位，可得的图象，所以选项D正确； 故选:ACD 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故错误； 对于B，，，因， 则，可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为2，故B正确； 对于C，，，， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确； 对于D，令，显然满足，而， 所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 11. 设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确. 对于B，令，则原等式变为. 因为前面已求得，所以，即，移项可得. 根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误. 对于C，令，原等式变为. 由于，则，即. 令，则，那么. 根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期. 当，时，可得， 可得，①； 当时，可得 ②. 由①+②可得，由于， 所以， 代入②式得到，由于，进而解得. 令，原等式变为. 因为，所以，移项可得. 又因为，所以. 根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心. 因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误. 对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以. 因为，所以，所以D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（且），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把变形为，然后对 和讨论，得出结果 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解. 【详解】因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 故答案为： 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数单调性可得、是关于的方程的两不同根，再利用根的判别式与韦达定理计算即可得. 【详解】由，则有，故， 且有在定义域内单调递增， 则，， 即，， 令，，则，， 则，， 故是关于的方程的两不同非负根， 则有，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），. （2）3 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得解； （2）根据诱导公式将（1）中的结论代入即可. 【小问1详解】 由三角函数定义，得，. 【小问2详解】 由诱导公式，得原式. 16. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间和值域； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，分类讨论去掉绝对值号求解即可. 【小问1详解】 由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. 【小问2详解】 当时，关于的不等式可为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. 17. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 【答案】（1）最合适， （2）元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解； （2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：若选择模型，将代入可得，即， 经验证，均不满足，故模型不合适． 若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 若选择模型，将代入可得，即， 经验证，，均满足，故模型最合适，且． 【小问2详解】 解：由成本与销量Q的关系为． 要使生产的产品可以获得利润，则． 因为，所以，即． 因为，所以． 故该产品的销售单价应该高于元． 18. 已知函数． （1）写出函数的单调区间； （2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）作出函数图象，利用数形结合法，由或求解； （3）易得，再由，得到，从而，然后由求解． 【小问1详解】 则的单调递增区间是，单调递减区间是， 【小问2详解】 函数在单调递减，在单调递增， 故在的最小值为， 同理，在的最小值为， 故结合图象可得，函数有两个零点时需满足 解得：． 或 解得：． 综上所述：或． 【小问3详解】 由题意得：， 则． 且， 则 因为，所以， 故． 所以． 又，则， 故单调递增， 所以单调递增， 故． 因此的取值范围为． 19. 已知函数，记（）. （1）若，解不等式：； （2）设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，， 【解析】 【分析】（1）由题意将不等式转化为，因式分解后即可得解； （2）将原方程有解转化在上有解，利用层层函数的单调性求得在上的值域，从而得解； （3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解. 【小问1详解】 因为，， 当时，， 由，得，整理得， 即，所以 ，即， 故不等式解集为. 【小问2详解】 当时，， 则， 因为存在实数，使得成立， 所以在上有解， 整理得到在上有解， 因为在上为增函数，则， 而为增函数，则， 而为减函数，则， 所以的值域为， 故. 【小问3详解】 因为， 所以， 令，，则， 因为对于任意的，均有， 所以对任意的恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为， 此时，整理得， 故，故，从而，所以. 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，. 【点睛】思路点睛：已知含参数的不等式恒成立，要求其中参数的具体值，一般通过特例得到关于参数的不等式组，利用两边夹的方法得到参数的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $