云南省昆明市昆明三中呈贡学校（呈贡一中）2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷

昆明三中呈贡学校（呈贡一中）高二年级 2026年3月下学期开学考数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，-2)，则z的共轭复数三=( A.-2-2i B.2-2i C.-2+2i D.2+2i 2.5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( A.A种 B.45种 C.54种 D.C种 3.已知a,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，以下判断正确的是() A.若alIB,m/1a,nl/B,则m,n是异面直线B.若a⊥B,m/la,nllB,则m⊥n C.若alB,m⊥a,n⊥B,则mlln D.若a⊥B,m⊥n,m⊥，则n⊥B 4.如果e,e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( A.已知实数，入2，则向量，+2e2不一定在平面a内 B.对平面a内任一向量a,使a=1e+2e,的实数，可以不唯一 C.若有实数，入2使1e=e2,则1=入2=0 D.对平面a内任一向量a,使a=,e,+e2的实数A,2不一定存在 5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一 铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C 在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为() A.100v6 B.506m C.100√3mD.100√2m 6.已知直线1经过点4(-2,0)，B(-5,3),则下列选项中正确的是( A.直线1的斜率为1 B.直线1的倾斜角为牙 C.直线1的方向向量为(1，-1) D.直线I在y轴上的截距为2 7.若f(x)=2f'()x-x2+7x,则f(-2)=() A.2 B.-2 C.10 D.-10 8.记Sn为各项均不相同的等差数列{an}的前n项和，若S=9,a2是a与a的等比中项，则a=() A.9 B.10 C.11 D.12 试卷第1页，共4页 二、多选题（每题6分，选不全得3分，错选不得分，共18分） 9.已知数列{an}满足a1=2an,其前n项和为Sn,且S,=7,则() A.a=1 B.{an}是递减数列C.S2s=ao26-1 D.{log2an}是等差数列 10.如图，在正四棱柱ABCD-ABGD中，AA,=2,AB=1,P为线段B,C上一动点，则下列说法 正确的是() D A】 A.直线PD∥平面ABD B.直线AC,⊥平面A,BD C.若Q为DD,的中点，则Ag⊥APD.三棱锥C-ABD外接球的体积为√6元 D 11.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线交C于点A(x,y),B(x2,y2),则（) A.F的坐标为(L,() B.xx2+y2=-3 1,1 C.AB的最小值为2 D.丽t丽1 三、填空题（每题5分，共15分） 12.二项式(1-x)3的展开式中x4的系数为 13.若直线5x-y=0被圆x2+y2+4my+2m=0(meR)截得的弦长为2，则m= 14.在椭圆2中，FF2为焦点，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，若∠FBF=∠EAB, 则2的离心率为一 四、解答题 15.(13分)已知{an}为公差不为零的等差数列，其中a,a2,a成等比数列，a+a4=12. (1)求数列{an}通项公式； 2记6，=之，设化，}的前刀项和为S,求3. aan+ 试卷第2页，共4页 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=V3 bcosA,c=6,a=√7b. (1)求b的值： (2)若D是BC边的中点，求AD的值. 17.《15分)已知函数f)=2anx+号包+24@eR. (I)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性 试卷第3页，共4页 18.(17分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AA,=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是 棱AC,CC,AB的中点，点G在棱BB上，且BG=3BG. (I)证明：DF⊥EG B G (2)证明：BD∥平面AEG (3)求平面AEG与平面ABC夹角的正弦值， 6 19.(17分)已知精圆C三+若-1(a>b>0的右焦点为F20,且过点kv,直线/过点F交精 圆C于A,B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M 若点A为椭圆的左顶点，求△AAB的面积。 试卷第4页，共4页《2026年3月高二下学期开学考数学试卷》参考答案 题号 2 3 4 5 6 10 1 答案 D D C A A ACD AD ABD 1.D【详解】根据题意z=2-2i,则z=2+2i. 之 2.D【详解】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4 个即可满足，故有C种. 3.C【详解】对于A:如图：在长方体中，xllB,m/1a,nlWB,但mlln, 故A错误： 对于B:如图：在长方体中，&⊥B,m/1a,nlWB,但mlm,故B错误： 对于C:因为ax∥B,m⊥a,所以m⊥B,又因为n⊥B,所以mlm,故C正确； 对于D:如图：在长方体中，a⊥B,m⊥n,m⊥a,但nWB,所以D错误： n 4.C【详解】选项A中，由平面向量基本定理知2，+222与，2共面，A项不正确： 选项B中，由平面向量基本定理知实数A,入有且仅有一对，所以B项不正确： 选项C中，根据基底的定义知，g,62不共线，若1g=2,则1=乃=0，所以C正确： 选项D中，由平面向量基本定理知实数入，乙2一定存在，所以D项不正确。 5.A【详解】设此铁塔高h(m),根据题意，可得∠CAB=30°，∠CBA=105°，∠DBC=30°，在直角△BCD中， 可得BC=CD=5h,在△ABC中，由∠BMC=30,∠CBA=1059,AB=200,可得∠BCA=45°，根据正 tan30° 弦定理，可得3h=。,解得h=，(m sin30°sin45° 6。C【详解】设直线的候斜角为0,0≤9≤由解率公式得=21，故A错误： tan0=-1→0= ,放B错误：由斜率可得方向向量为（亿，-），元≠0，(《-)是直线1方向向量，所以C 3元 正确.直线l方程为：y=-x-2,令x=0得y=-2,即直线1在y轴上截距为-2，D错误 7.A【详解】由f(x)=2∫'()x-x2+7x求导得：f'(x)=2f(0)-2x+7,则f'()=2f()2×1+7,解得 f'()=-5,即∫(x)=-x2-3x,所以f(-2)=2. 8.A【详解】设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则由题可得 S3=a+(a+d)+(a,+2d)=9n[3a,+3d=9 (a,+d)2=a(a,+4d) ,即 d=2a 解得 d=2'所以a,=a+4d=1+4x2=9, a=1 9.ACD【详解】因为数列{an}满足am+l=2au,所以a2=2a，a3=2a2=4a1,所以S3=a1+a2+a3=7a1=7, 答案第1页，共6页 对于C,因为AB=x+x+p=x+x2+2=4m2+4, 所以当m=0时，弦AB的长度最小，最短弦AB的长度为4，故C错误： 对于D,由AF=x1+1,BF=x2+1, 1 A+BF名+1+名+1。++2+名+21，故D正确 得A丽*BPI FIBF (化，+1)2+1)x1+x2+xx2+1x,+x2+1+1 12.70 【详解】由题意知二项式(1-x)3的展开式的通项为T,1=Cg18-(-x)'=Cg(-x)， 令r=4,则×的系数为Cg=8×7x6x5=70. 4×3×2 13.方或或号 3 【详解】圆x2+y+4my+2m=0(m∈R)即x2+(y+2m)}2=4m2-2m,则该圆的圆心为C(0,-2m),半径 r=V4m2-2m(4m2-2m>0）.设弦心距为CB,如图，则圆心C(0,-2m)到直线V3x-y=0的距离 CB = (2m 一=叫，因为弦长为2，所以h-号=1在R△Bc中，由勾股定理得A+G④-4c, 或m=l. 1 即12+m2=4m2-2m,解得m=- 当m=1时，4m2-2m=4×12-2×1=2>0,符合题意， 综上，m=号或m=1. 14.5-l 【详解】如图，因为∠FBF=∠FAB,所以△BFF∽△ABR,所以∠BFF2=∠ABF, 所以AB=AF,即Va2+b2=a+c,因b2=a2-c2,代入整理得2c2+2ac-a2=0, 即2e+2e-1=0,解得e=5-1(负解舍去)，故答案为：5-」 2 2 15.(a,=2n-1(28,=2n+7 2n 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,由a,az,a5成等比数列，得a=aa5, 即(a+d)=a(a+4d),整理得d2=2ad,又d≠0，则d=2a1, 答案第3页，共6页 由a+a4=12,得(a,+2d)+(a+3d)=12,即5a,+7a=12,解得a=1,d=2. 所以数列{an}通项公式为an=1+(n-1)d=2n-1. 2 11 (2)由(1)得，-(2m-1(2m+12n-12n+1' 所以8=0-+(3+片》*+(32）-1229 2n 16.(1)2(2)V13 【详解】（)已知am8=6coM,由正弦定理品A品，得ainB=sin4=√5bco5,显然co4卡0， 得m4=5,由0<A<元，得A=骨，所以coA=2 因为c=6,a=V7b,由余弦定理a2=b2+c2-2bc0sA,则(V7b)=b2+62-2b×6×号=b2+36-6b, 2 b2+b-6=(b+3)(b-2)=0,解得b=2,b=-3(舍去) (2)因为D是BC边的中点，所以2D=AB+AC,4AD=+c+2ABAC, 所以44D=36+4+2x6×2×cosA,D= 40+24×立13所以AD=E, 4 17.(1)2x+2y+1=0;(2)答案见解析. 【详解1①若a=0,则/（倒-号-2，f冈=x-2,所以了0=-山，f0=2 故（倒在x=1处的切线方程为y+?-(x-,即2x+2y+1=0。 (2)因为f0=22+x-a+2)=￥-a+2x+20=x2x-0,且xe(0,+∞）， 当a≤0时，x∈(0,2)时f'(x)<0,x∈(2，+∞)时f'(x)>0, 所以，f(x)在(0,2)上单调递减，f(x)在(2，+o)上单调递增； 当0<a<2时，x∈(0，a)时f'(x)>0,x∈(a,2)时f'(x)<0,x∈(2，+o)时f'(x)>0, 所以，f(x)在(0，a)、(2,+o)上分别单调递增，f(x)在(a,2)上单调递减： 当a=2时，x∈(0，+oo)时f'(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，+oo)上单调递增： 当a>2时，x∈(0,2)时f'(x)>0,x∈(2，a)时∫'(x)<0,x∈(a,+o)时f'(x)>0, 所以，f(x)在(0,2)、(a,+∞)上分别单调递增，f(x)在(2，a)上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在(0,2)上单调递减，∫(x)在(2，+o)上单调递增： 当0<a<2时，f(x)在(0，a)、(2,+o)上分别单调递增，f(x)在(a,2)上单调递减： 当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增： )、(a,+∞)上分别单调递增，∫(x)在(2，a)上单调递减. 18.（1)证明见解析：(2证明见解析；)5 3 【详解】(1)由题意可知A,B，AC,AA两两垂直，则以A为原点，AB,,AC,AA的方向分别为x, y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则AA=4. 所以D(01,4),F(1,0,0),E(0,2,2),G(2,0,3),则DF=（1,-1,-4),EG=(2,-2,1): 因为DF.EG=1×2+(-1)×-2)+H-4×1=0,所以DF⊥EG,即DF⊥EG. (2)由题中数量关系可得A(0,0,4),，B(2,0,4),D(01,4),E(0,2,2),G(2,0,3), B 则BD=（-2,1,0),AE=(0,2,-2),AG=(2,0,-1). i.AE=2y-2z=0 设平面AEG的法向量为万=(x,y,z)，则{ ,令x=1,得y=z=2,i=(1,2,2). AG=2x-z=0 因为BD,i=-2×1+1×2+0x2=0,所以BD⊥n,又BD中平面AEG,所以BD∥平面AG. (3)由(2)可知平面4G的一个法向量为万=(（1,2,2). 因为平面A8C的一个法向量为m=(0,01),所以c0s(元，励=万m=名 园3 Z面BG与平面ABC的夹角为8，则cos8=cs元，m号，咖03c0s8 3 故平面ABG与平面ABC夹角的正弦值为 3 19.(0+'=126+25 84 「a2-b2=22 详D因为椭圆C的右焦点为F0,且过点2②)，所沙专+忌”解隔=8=4 则椭圆C的方程为父+上-1： 84 (2)方法一：若直线1斜率不存在，此时其垂直平分线与横轴重合，不符合题意， 所以直线1的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-2),A(x,),B(x2,y2),AB的中点C(x,%), 8k2 y=ka-2k +2y2-8=0消去y并整理(1+2k2)×2-8k3x+8k2-8=0,由韦达定理得 联立 X+为-1+2k2 x2 8k2-8’ 1+2k2 所以名=当+龙=42 21+2k’%=k6-2k=,2k 1+2k21 答案第5页，共页 易知kcMk=-1,所以 =小，解得=，即y=±x-2, 4k2 1 2 所以直线1的方程为x-√2y-2=0或x+√2y-2=0; 由弦长公式可知A例=V2+1k-x=2+1·x+x-4xx A 0 =e+.2(2+ 2-42x1+2 1+ 1+2k2 1+2e4迈x33正， 1+1 4(-25,0),由直线的对称性知点4到两条直线1的距离相同，即d=2+22 所以△M18的面职为-×2总3后-625。 方法二：由题意知直线1斜率不为零，设方程为：x=my+2,A(x,),B(x2,2),AB的中点C(x,%), 联立 x2+2y2-8=0消去x得(m2+2)y2+4my-4=0, x=my+2 韦达定理得y+y2= -4m -4 m2+2%4=m2+21 m2+2。=6+2= -2m 4 所以y= m2+2 -2m 由C上B,得w=厚五=m,整理得：m=2 m2+22 因为A(-2W2,0,所以4F=2+25, 3-克4Fx-小=+2)0+⅓-4%=+)m+2=6+25. 答案第6页，共6页