专题6.5 平面向量的数量积导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 专题6.5平面向量的数量积 一、知识填空 1.向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O为平面上任意一点，作OA=a,OB=b,则 叫做a与b的夹角. 当非零向量a,b同向时，它们的夹角为；当非零向量α，b反向时，它们的夹角为： 如果非零向量a,b的夹角为 则说a与b垂直，即为a1b. 非零向量a,b夹角的范围为 2.向量的数量积 已知非零向量4，b,它们的夹角为0，我们把数量 叫做a与b的数量积（或内积）， 记为a.b即ab= 规定：零向量与任一向量的数量积为 3.数量积的几何意义 设ab是两个非零向量，AB=aCD=五，过AB的起点和终点作CD所在的直线的垂线，垂足分别为A,B, 得到AB,我们称上述变换为 向量叫做向量ā在向量五上的投影向量 b 即向量ā在向量五上的投影向量为AB,= (注： 为与五同向的单位向量) 4数量积的性质 设ab是两个非零向量，它们的夹角为0，e是与同向的单位向量，则： (1）a.e=e.a= (2)a1b÷_-: (3)若a,b同向，则 若a,b反向，则 (4aa=a=,同-F, 5)a-_l 5.数量积的运算律： (1)a.b=: 1/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 (2)(ai= (3)(a+c= 注意：(a-c与向量c共线，a-(cb)与向量a共线，因此(a-b)c=a-(石-c在一般情况下不成立. 6.求向量的数量积时，需明确两个关键点： (1)相关向量的模和夹角. (2)若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相 关公式进行化简. 自检自纠： 1.∠A08,0,n2o0,同cos0,0a向量a向向量6授影，4码，(co0)月 4.(1)acos8;(2)a.b=0:(3)a-i=bl:a-i=-a6:(5)≤. 5.(1)i.a;(2)2(6a,a-(2):(3)ac+b.c. 二、考点专练 目目 者点01 平面向量数量积的基本运算 【经典例题】 1.已知a2,512,a与6的夹角为牙则a.万-（) A.2√2 B.2 C.√2 D.5 2.已知a和6的夹角为120°，且=2=1，则(2a+b)b=() A.1 B.1-2W3 C.3 D.-1 3.下面给出的关系式中，正确的个数是() ①0a=0;②a-6=ba;③a=;④(ab)c=a(6.c) A.0 B.1 C.2 D.3 2/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 4.已知a+列=a-=3,a-(a+35)=2,则cos(6,a-b})=() A月 B.-3 2 c. D. 3 5.设平面向量a6满足l=1,=2,(a-)1a,则a-=() A.3 B.2 C.5 D.1 6.若平面向量ā，五，c两两夹角相等，且l=1,=2,=3,则a+b+c=() A.5 B.36 C.5或6 D.3或36 7.已知向量a,满足a-=5,a+=2a-列，则= 8。已知单位向量m,n满足(mm-》=牙则血+小= 【变式训练】 1.已知向量a与5的夹角为60，园=l=5，则ā6等于() A.月 B. 2 c D.2 2.已知平面向量a,6满足1a上6b=5,a与的夹角为汇，则a:a-2汤=() 6 A.18 B.-18 C.12V5 D.36-6N5 3.若向量a、6满足：同=1，(a+b1a,则a.6=() A.1 B.-1 C.10 D.10 3/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 4.已知团-=a+=1,则ā与的夹角为() A. B c D.3远 4 5.已知向量a,6满足|a=3,且|ā+b=a-b=5,则b的值为() A.4 B.2 C.8 D.-2 6.已知向量m与n满足m-2,且m=8,则+时=（) A.4 B.10 C.20 D.36 7.（多选)设ā，b都是非零向量，则下列命题中正确的是() A.若a,b的夹角为锐角，则a.b>0B.若ab<0,则a,b的夹角为钝角 C.若a=2b,则a+6与a-1b同向 D.若a+ba-b,则a1b 8.(多选)设ā、五、c是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是() A.(a.b)e-(.a)b=0 B.l同-<a-b列 c.(6.c)a-(a:c)b与c垂直 D.若a.c=b.c,则a=b 【巩固练习】 1.已知平面向显a,6的夹角为子，且同=1，-=2，则a6-一 2.已知向量=25=2，且向量ā与向量6的夹角为5，则(2)：(36)= 3.已知向量a,6满足|d=6,a+=9.(a+4b)1a,则a.6=,= 4.已知向量，2为单位向量，(-2)1，则，2的夹角为() A.30 B.45 C.60 D.120 5.已知向量a,万满足=2，=3，且(3ā+b)1b,则a与五的夹角为() a君 B. c D.君 6.若单位向量ā，万的夹角为？，向量m=a+6,向量1-a-石，则下列命思为假金思的是《) A.园= B.m//n C.m.a=1 D.m⊥n 7.(多选)已知向量a,五满足反-2=万，==1，则() 4/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 A.a与5的夹角为B.a与五的夹角为g c.2a-36=M9D.a1(a+2) 8.（多选)下面给出的关系式中正确的是() A.0a=0 B.a.b=b.a c.=|d D.(a.)=.2 9.(多选)己知平面向量a,b满足|a=b=a+b1,则下列各组向量的夹角为60°的是() A.a,B B.a,a+b C.a,a-b D.b,a+b 目目考点2 平面向量数量积的几何应用 【经典例题】 1.已知Rt△ABC中，若∠ABC=90°，AB=2BC=2,BM⊥AC,且点M在AC上，则BA.BM=（) B.2W5 c. D.1 5 2.如图，在圆C(C为圆心)中，弦AB的长度为8，则ACAB= 3.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则AO.BC= 4.平行四边形ABCD中，BC+BA=BC+AB,则四边形ABCD是() A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 【变式训练】 1.已知在矩形ABCD中，AB=2√2，点E是边BC的中点，则(AE+ACAB= 2.AB为圆O的一条弦，且AB=2,则AB.AO的值为 5/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 3.如图，在圆O中，己知弦AB=4,弦AC=6,那么AO.BC的值为() A.10 B.2W13 C.√1o D.-10 4.在△ABC中，|AB=13,AC=5,|BC1=12,BC与AC的夹角等于· 5.已知△ABC内有一点O满足OA2-OB2=AC2-BC2，则向量OC与AB的夹角为() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角 6.在菱形ABCD中，正D-B,则∠BAD=（) A.60° B.30° C.150° D.120° 【巩固练习】 1.己知边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别为AB,BC的中点，则AF.AE=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.在△ABC中，己知AB=4,点O是△ABC的外心，则AO.AB=(） A.16 B.8 C.4 D.-8 3.在△ABC中，AC=2√7，O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB.AO=8,N是直线OM上异于M、 O的任意一点，则ANBC=() A.3 B.6 C.7 D.9 4.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边BC的中点，则AN.AM=()( A.10 B.13 C.18 D.26 5.如图，在△ABC中，|AB+ADI-A8-AD,BC=√2BD,AD=2,则AC.AD= 6.在菱形ABCD中，E为边AD的中点，若AB.AC=2,则BE.AC= 7.正六边形ABCDEF的边长为1，则AB.AC+AC.AD+AD.AB= 6/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 目目 考点03 平面向量投影问题 【经典例题】 1.已知向量a,万满足园=5，a(36)=-30,则a在万上的投影向量为() A.-3B B.6 c.-26 3 D. 2.已知=6，|b=8,且(a,)=60°，则6在a方向上的投影数量为 3.已知5=2，a在万上的投影数量为3，则a6的值为() A子 3 B.2 C.2 D.2 4.已知向量a,万满足a万>0，a在万上的投影向量为c,c在a上的投影狗量为a,则a与万的夹角为 () A.30° B.45 C.60° D.90° 5.已知非零向量a历的夹角为号若a在6上的投影向量为多，且(a+2万a=6,则问=（) A.3 B.2 C.3 D.23 7/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 6.（多选)我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中 的八角窗，它们均可抽象为正八边形ABCDEFGI,如图3，O为其中心.记OA=ā，OB=b,且OA=2, 则() 图1 图2 图3 A.a6=25B.M=a-万C.oc=i-aD.i在0c上的投影向量为2元 【变式训练】 1.已知向最：与5的夹角为受，=万，则豆在5方向上的投影为《) A.6 B. 2 C.-6 2 2 D.、 2 2.已知月-2，且满足(a6）-g,则a在5上的投影向量为《） A.√5i B.-√3b C.3b D.-36 3.已知同=1，=2，a1(2a+),则a+2b在6上的投影向量为() A.36 C.6b D. 6 4.已知ā，6是平面内两个单位向量，且其夹角为写，则向量6在向量a上的数量投影 5.已知=4，ā在6方向上的投影数量为2，则a6的值为() A.7 B.8 C.9 D.6 6.已知=2，a在上的投影向量为五，则a6的值为 7.已知向量a,五是非零向量，且满足a-25在方向上的投影向量为-35,26，则a,五的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 8、已知△ABC中，AB=1,AC=4,4=.则aC在丽方向上的投影为 8/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 【巩固练习】 1.己知向量ā与6的夹角为120°，且d=2,=4,则向量ā在向量6上的投影数量为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知平面向量a,是非零向量， -2,a1(6+2),则向量3在向量ā方向上的投影为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.设e为单位向量.若向量a满足：同=2，向量ā与向量e的夹角为 ,,则ā在ē方向上的投影为 4.已知a向量在方向量方向上的投影向量为}方，且同=2，则a方- 2 5.平面向量同=3,6在a上的投影为-名a,则方= 6.已知向量a、6满足|a=b=2,且a+b在a上的数量投影为1，则a,b)= 7.己知O为△ABC的外接圆圆心，若CA=2OA+AB,AB=5A,则向量BA在方向8C上的投影向量为 () B.Bc D.C 4 4 8.(多选)如图所示，已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下面选项正确的是() A.OA+OC=OB B.04.OD=2 2 C.OB+Oi=-√2OE D.A在A方向上的投影数量为- 2 目目 者点04 平面向量数量积最值及范围问题 【经典例题】 1.已知非零向量五与5的夹角为0，若c09≤-行，日的取值范国是 2.在同一个平面上，已知a,i是两个相互垂直的单位向量，向量c满足(c-a(C-)=0,则的最大值 等于(). A.1 B.√5 C.5 D.2 9/16 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 3.已知向量ā，6满足=2.6在a上的投影向量是a,则ā-的最小值为() A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知平面向量ā，，ē，且=1.已知向量方与所成的角为60°，且B-e≥5-e对任意实数t恒成 立，则a+2+a-b的最小值为() A.V5+1B.23 C.√5 D.4 5.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正 六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O,M是其中一个正六边形的顶点，N为图中 7个正六边形内一点（包含边界），则OM.ON的取值范围是 M 【变式训练】 1.已知单位向量a,b的夹角为6，若a+>1,则6的取值范围为() .33 π2π D.3 2.已知a,b,c均为单位向量，且aLb,则a.c+2b.c的最大值为() A.3 B.2 C.5 D.3 3.在等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC,AB=2,D为边AC上一动点，则BD.(BA+BC() A.为定值4B.为定值8 C.最大值为4 D.最大值为8 10/16专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 专题6.5平面向量的数量积 一、知识填空 1.向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O为平面上任意一点，作OA=a,OB=b,则 叫做a与b的夹角. 当非零向量a,b同向时，它们的夹角为；当非零向量α，b反向时，它们的夹角为： 如果非零向量a,b的夹角为 则说a与b垂直，即为a1b. 非零向量a,b夹角的范围为 2.向量的数量积 已知非零向量4，b,它们的夹角为0，我们把数量 叫做a与b的数量积（或内积）， 记为a.b即ab= 规定：零向量与任一向量的数量积为 3.数量积的几何意义 设ab是两个非零向量，AB=aCD=五，过AB的起点和终点作CD所在的直线的垂线，垂足分别为A,B, 得到AB,我们称上述变换为 向量叫做向量ā在向量五上的投影向量 b 即向量ā在向量五上的投影向量为AB,= (注： 为与五同向的单位向量) 4数量积的性质 设ab是两个非零向量，它们的夹角为0，e是与同向的单位向量，则： (1）a.e=e.a= (2)a1b÷_-: (3)若a,b同向，则 若a,b反向，则 (4aa=a=,同-F, 5)a-_l 5.数量积的运算律： (1)a.b=: 1/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 (2)(ai= (3)(a+列c= 注意：(a-c与向量c共线，a-(cb)与向量a共线，因此(a-b)c=a-(石-c在一般情况下不成立. 6.求向量的数量积时，需明确两个关键点： (1)相关向量的模和夹角。 (2)若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相 关公式进行化简. 自检自纠： 1a08,8,a习]2osa,les0,03向号a向向量6投影，4码，体os)司 4.(1)acos8;(2)a.b=0:(3)a-i=bl:a-i=-a6:(5)≤. 5.(1)i.a;(2)2(6.a,a-(2):(3)ac+b.c. 二、考点专练 目目 者点01 平面向量数量积的基本运算 【经典例题】 1.已知a2,6=2,a与5的夹角为至则a6=（) A.2W2 B.2 C.√2 D.5 【答案】A 【详解】由题虑得a万=2x2xco牙25赦选：A, 2.已知a和6的夹角为120，且同=2，=1，则(2a+b)6=() A.1 B.1-2√3 C.3 D.-1 【答案】D 【详解】因为ā和的夹角为120，=2，=1， 所以(2a+6)6-2leo120+-2x2x1x(+1-1故选：D 3.下面给出的关系式中，正确的个数是() ①0a=0:②ai-b-a:③a-:④(a.b)c=a6.c） 2/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【详解】0.a=0,a.b=b.a=cosa,b）,a=试，(a-b)e表示与c共线的向量，a(6-c)表示与a共 线的向量，故两者不一定相等，故①②③正确，④错误，故选：D 4.已知a+=la-3,a-(a+36)=2,则cos(6,a-b)=() A月 B.-3 D.、V 3 【答案】D [ap +2a.B+BP=9 【详解】因为ā+=h-b=3,所以 ap-2a.B+BP=9 两式相减得：a.b=0,所以a⊥b:因为 a(a+3b)=d+3a-五本=2，所以同=2：代入+2a.6+=9,得到5=V7: 五(a-)ā.6--7-万 @依a阿5用印哥疗。专，数：D 5.设平面向量a,五满足a=l,=2,(a-b)1a,则a-=() A.3 B.2 C.5 D.1 【答案】C 【详解】(a-b)1a→(a-b}a=0-a-a-b=0-1-a.i=0-a.i=1, 所以a-=Va-)=a2+b-五-万=+42x1=5.故选：C 6.若平面向量ā，五，c两两夹角相等，且l=1,=2,=3,则a+b+c=() A.√5 B.36 C.√5或6 D.3或36 【答案】C 【详解】因为平面向量a,b,c两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即a,b,c两两夹角为0°或l20°， 当夹角为0°时，a+b+c=+5+1+2+3=6;当夹角为120°时，ā6=-1,6c=-3,ca=-3 则a+万+@+6+可-+6++五0++-2++2x(-2x2x(3)=5: 3 综上所述：a+b+d=6或a+b+c=5 7.已知向量a,五满足a-=V5,a+=2a-列，则= 【答案】√ 3/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 【详解】因为a+=|2a-,所以(a+b°=(2a-),即d+2ab+6=4a-4a.6+6,整理得 -2a.6=0,又因为a-=V5,所以(a-b)=5,则a-2a.i+62==5,所以5=5. 8。已知单位向量m,n满足(amm-川）-子，则血+小- 【答案】√5 -m元 【详解】因为成前-所以o<成-元园切-页风、a-成风，玩产 1-m.n 2√2-2mn 整理得1-m万=20-而矿，面示万1，则m贝号 所以m+列-(m+列°=V例+2m-n+闭=+2×号+1=5 【变式训练】 1.已知向量ā与6的夹角为60，同-l=5,则ab等于() A分 B.3 2 c. D.2 【答案】B 【详解】因为向量a与5的夹角为60，同=l=5,所以ā6=5cos60=1x5×5故选：B 22 2.已知平面向量a,5满足a=6=V5,a与5的夹角为二，则aa-2汤=() 6 A.18 B.-18 C.12√5 D.36-6√5 【答案】A 【详解】由la665,a与5的夹角为石得a万=6xV5cos石9， 6 所以a.(a-2b)=a-2a.b=62-2×9=18. 3.若向量a、6满足：园=1，(a+b1a,则a.6=() A.1 B.-1 C.10 D.V10 【答案】B 【详解】因为(a+b)La,所以(a+b)a=0,所以+ab=0,又园=1，所以ab=-l.故选：B. 4.已知d==a+b=1,则ā与6的夹角为() A若 B. C. D. 3π 4 【答案】C 4/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 【详解】已知ba+61,则a+6=(a+6)=a+2a.+16P,所以1=1+2a6+1,则a.6=- 设a与6的夹角为9.则a6问co,0coc0分又0c0小，故0子，所以a与5的夹角为号 故选：C 5.已知向量a,b满足|a=3,且|a+b曰a-b1=5,则b1的值为() A.4 B.2 C.8 D.-2 【答案】A 【详解】由a+bla-b=5,所以a+2ab+6=a-2ab+6=25,所以āb=0,+6=25, 所以+=25，又ā3，所以=V25-aF=V25-3=4. 6.已知向量m与0满足1m-2,且m.=8,则网+=（) A.4 B.10 C.20 D.36 【答案】C 【详解】因为m-=2,所以m-=m+n-2mn=+-16=4,所以园+=20 7.(多选)设ā，b都是非零向量，则下列命题中正确的是() A.若a,b的夹角为锐角，则a.b>0B.若a.b<0,则a,b的夹角为钝角 c.若a=26,则a+6与a-1b同向 D.若1a+b=a-b1,则alb 【答案】ACD 【详解】对A,a,b的夹角为锐角，则cos<a,b>大于零，所以a.b=a‖b|cos<a,b>大于零，A对. 对B,当a,6共线且方向相反时，有a.6<0,所以B错.对C,ā+b=36,ā-万=3五，所以a+6与ā-五 2 2 同向，C对.对D,当|ā+b=ā-b时，以a,b为邻边的平行四边形是矩形，所以a⊥b,D对.故选： ACD. 8.（多选)设ā、五、c是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是() A.(a.b)c-(c.a)=0 B.la-<a-b c.(b.c)a-(a.c)b与c垂直 D.若ac=b.c,则a=b 【答案】BC 【详解】对于A选项，不妨设ab=k,ca=k2,则(ab)e-(·a)b=ke-k五，由于a、b、c是三个 5/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 非零向量，且相互不共线，则(ab)-(亿，a)b=k-k五不一定为零向量，A错：对于B选项，作OA=a, oB=i,则a-i=OA-OB=BA,如下图所示：o 因为ā、方不共线，由三角形三边关系 可得O4-D<B4,即d-<a-列，B对：对于c选项，易知(6-c)a-(a.c)b为非零向量，则 (6.c)a-(a.c)bc=(石c)(a:c)-(a.c)(6.c)=0,所以(6c)a-(a:cb与c垂直，c对：对于D选项， 若ac=6c,则(a-b)c=0,所以a=i或(a-b)1c,D错.故选：BC 【巩固练习】 1.已知平面向量a,B的夹角为行，且=1，风=2，则a6- 【答案】-1 【详解1因为1,52，平面向量0.B的夹角为号，且o-片所以a6=12(月引- 2.已知向量d=262,且向量a与向量5的夹角为号则(20-(30)= 【答案】6 【详解】“向量同=2=2，且ā与5的夹角为5，则4=2,5=1， 2五5-6llca5-6x21xcos号6x2x分6故答案为：6 3.已知向量a,6满足d=6,la+=9,(a+46)1a,则a.6=,= 【答案】 -9 3v√7 【详解】因为(a+4b)1a可得(a+46)a=a+4a.6=0,又同=6，得a-6=寻=-9. 因为a+b=9,所以a+=81,即a+2a.6+i=81,解得5=3万. 4.已知向量，2为单位向量，(-22)1，则，2的夹角为（) A.30° B.45 C.60° D.120 【答案】C 【详解】由（信-2点）1写可得（低-2，）区-返民.=1-20os低，)-0，解得cos何)-，因 0°≤(E,E2）≤180°，则(，E2)=60°.故选：C. 5.已知向量a,五满足d=2,=3,且(3a+)1i,则a与6的夹角为() 6/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 B号 c号 D. 5π 6 【答案】C 【详解】由(3a+6列1五，得3a6+-0,又-3，所以a6=-3,cos(a.a。是3- 同2x32,且 a5e0周，所以a)-牙，故选：c 6.若单位向量a,万的夹角为死，向量m=a+乃，向量=a-i,则下列命题为假命题的是() A.园=风 B.m//n C.m.a=1 D.m⊥n 【答案】B 【详解】因为同=同=1，(a,)=,所以a.五=0，园-V厥=@+可=V后+2ai+不=反. 风=元=Va-b=V后-2a+云=V2,所以园=，A正确：ma=(a+)a=+a-6-1+0=1,c 正确：n=(a+)-(a-)=a-万=1-1=0，所以mL,故B错误，D正确 7.(多选)已知向量a,五满足a-2万，a==1,则() A.a与6的夹角为B.a与的夹角为gc.ba--gD.16+词 【答案】ACD 【详解】设ā与的夹角为6(0≤0≤)，由a-2=√a-2乃)'=-4a.b+46=万得， 时-4同os0-4-7,将问-B-1代入得1-4cae0+4=7,cos0=分又0[0，到.六0- 3 故A正确，B错误，2a-3-V2a-3汤=a-12a万+% 1-12× 9=9,故C正确： a(a+20-d+2a6-1+2为-0，放aL6+2,放D正确故选：AcD 8.(多选)下面给出的关系式中正确的是() A.0.a=0 B.a.b=b.a c.=| D.(a.B)=a.B2 【答案】ABC 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确；由平面向量的交换律可知，a=五，ā，故B正确： =aa=lcos0'=,故C正确；(a.b)°=(5coso)=.2cos26,故D错误故选：ABc 9.(多选)己知平面向量a,b满足引ab=a+1,则下列各组向量的夹角为60°的是() A.a,B B.a,a+b C.a,a-b D.b,a+b 7/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 【答案】BD 【详解】如图，设AB=a,AD=b.因为a曰b1曰a+b,所以四边形ABCD是菱形，且∠BAD=l20° 由平面向量的线性运算性质可知AC=a+万，D=a-i,则向量a,万的夹角为120，向量a,a-b的夹 D 角为30°，向量a,a+b的夹角为60°，向量b,a+b的夹角为60°故选：BD 目目 考点02 平面向量数量积的几何应用 【经典例题】 1.已知Rt△ABC中，若∠ABC=90,AB=2BC=2,BM⊥AC,且点M在AC上，则BABM=() A号 B. 2√5 c.3 D.1 5 【答案】C 【详解】Rt△ABC中，由∠ABC=90,AB=2BC=2,得4C=V2:+P=5,SmA=BC- BM⊥AC,且点M在AC上，则BM=ABsinA= 5,所以BA.Bi=BM-4 2 2.如图，在圆C(C为圆心)中，弦AB的长度为8，则AC.AB= 【答案】32 【详解】如图所示，取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB 所以ACco84=@=),则AcB=cos4=)=32.故答案为：32. 3.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则AOBC= 【答案】 【详解】A0.BC=AO.(AC-AB)=A0.AC-AO.AB如图，过点0作OB⊥AC于点E,OF⊥AB于点 P所以A0c-40丽=丽AC-亚.丽=-2丽-3子2x1- 8/33 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 4.平行四边形ABCD中，BC+BA=BC+AB, 则四边形ABCD是() A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 【答案】C 【详解】由BC+BA=BC+AB,可得BC+BA=BC-BA,所以BC+BA=BC-AB，即 BC+BA+2BC.BA=BC+BA-2BC.BA,可得BC.BA=-0,所以BC⊥BA,即BC⊥BA, 又因为ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形.故选：C 【变式训练】 1.己知在矩形ABCD中，AB=2√2，点E是边BC的中点，则(AE+ACAB= 【答案】16 【详解】由题意由AE=AE+BE,AC=AB+BC,因为AB⊥BC,AB⊥BE,所以ABBC=0,AB,BE=0, 所以(AE+AC)AB=(AB+BE+AB+BCAB=2AB+ABBC+ABBE=2A=22√2=16， 故答案为：16 2.AB为圆O的一条弦，且AB=2,则AB.AO的值为 【答案】2 【详解】取弦AB的中点M,连接OM,根据圆的垂径定理，可得OM⊥AB,如图 因为AB=2,所以AM=1.根据向量数量积的几何意义：ABAO=AOAB=AMMB=1x2=2 3.如图，在圆O中，已知弦AB=4,弦AC=6,那么AO.BC的值为( O A.10 B.213 C.10 D.-10 【答案】A 【详解】由已知得AO.BC=AO.(AC-AB)=AO.AC-AO.AB· 如图：作OM⊥AB于M,则AM就是AO在AB上的射影，且AM= AB=2. 9133 专题6.5平面向量的数量积 高中数学导学案 根据数量积的几何性质可知AO.AB=AM·AB=2×4=8.同理可得AO.AC=3×6=18, 故AO.BC=18-8=10.故选：A 4.在△ABC中，|AB=13,|AC=5,BC=12,BC与AC的夹角等于 【答案】牙 【详解】因为亚=1B,4c=5到Bc2,即网=C+B,所以C-分所以 (aC,aC)=-C=元-及号赦答案为：号 22 5.已知△ABC内有一点O满足OA-OB2=AC2-BC2,则向量OC与AB的夹角为() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角 【答案】B 【详解】由条件得OA2-OB2=CA-CB2，则OA-OB=CA-CB, 所以(OA+OB)OA-OB)=(CA-CB}Ca+CB),所以(OA+OB)BA=BA.CA+CB) 则(OA+OB-CA-CB}BA=0,即(OA+AC+OB+BC)BA=0,所以20元.AB=0,则0C.AB=0, 所以向量OC与4B的夹角为90°.故选：B, 6.在菱形ABCD中，AB.AD=AB,则∠BAD=() A.60 B.30 C.150° D.120° 【答案】A 【详解】由题可得压-面，则A5.AD-6一co4D-→cosB4D- 2 因0°<∠BAD<180°，知∠BAD=60°.故选：A. 【巩固练习】 1.己知边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别为AB,BC的中点，则AF.A正=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】因为点正，F分别为AB,BC的中点，则A-=1,且正在A正方向上的投影数量为2， 所以AF.A正=1×2=2.故选：B 10/33专题6.5 平面向量的数量积 高中数学导学案 专题6.5 平面向量的数量积 一、知识填空 1.向量的夹角 已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角. 当非零向量同向时，它们的夹角为 ；当非零向量反向时，它们的夹角为 ； 如果非零向量的夹角为 ，则说与垂直，即为. 非零向量夹角的范围为 . 2.向量的数量积 已知非零向量，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积（或内积）， 记为即. 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 3.数量积的几何意义 设是两个非零向量，，过的起点和终点作所在的直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为 ，向量 叫做向量在向量上的投影向量. 即向量在向量上的投影向量为 .（注：为与同向的单位向量） 4.数量积的性质 设是两个非零向量，它们的夹角为，是与同向的单位向量，则： （1）； （2）； （3）若同向，则 ；若反向，则 ； （4），； （5）. 5.数量积的运算律： （1）； （2）； （3）. 注意：与向量共线，与向量共线，因此在一般情况下不成立．　 6.求向量的数量积时，需明确两个关键点： （1）相关向量的模和夹角． （2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 自检自纠： 1. ，0，， ， 2.，，0 3.向量向向量投影，， . 4.（1）；（2）；（3）； ；（5）. 5.（1）；（2）；（3）. 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量数量积的基本运算 【经典例题】 1．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 2．已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 3．下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 6．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 7．已知向量，满足，，则________． 8．已知单位向量，满足，则___________． 【变式训练】 1．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 2．已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 3．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 4．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 6．已知向量与满足，且，则（   ） A．4 B．10 C．20 D．36 7．（多选）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 8．（多选）设、、是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（   ） A． B． C．与垂直 D．若，则 【巩固练习】 1．已知平面向量，的夹角为，且，，则______． 2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 3．已知向量满足，则＝______，＝______． 4．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 8．（多选）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【经典例题】地 城 考点02 平面向量数量积的几何应用 1．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 2．如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则______．   3．已知的外接圆圆心为O，，则________. 4．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【变式训练】 1．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 2．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 3．如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（    ）   A． B． C． D． 4．在中，与的夹角等于 ． 5．已知内有一点满足，则向量与的夹角为（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 6．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 【巩固练习】 1．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 3．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 4．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 5．如图，在△ABC中，，，，则_____． 6．在菱形中，为边的中点，若，则__________. 7．正六边形ABCDEF的边长为1，则______. 【经典例题】地 城 考点03 平面向量投影问题 1．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 3．已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 6．（多选）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗，它们均可抽象为正八边形ABCDEFGH，如图3，O为其中心．记，，且，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【变式训练】 1．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（     ） A． B． C． D． 2．已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影______． 5．已知在方向上的投影数量为2，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 6．已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 7．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．已知中，，，，则在方向上的投影为______． 【巩固练习】 1．已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．​ B．1 C．​ D．2 3．设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为______ 4．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则___________. 5．平面向量，在上的投影为，则______. 6．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 7．已知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 【经典例题】地 城 考点04 平面向量数量积最值及范围问题 1．已知非零向量与的夹角为，若，的取值范围是____. 2．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 3．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 5．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．   【变式训练】 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 3．在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 4．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【巩固练习】 1．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，向量也是单位向量，则的最大值是______． 2．在中，“为锐角”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 4．已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为__________. 5．已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【经典例题】地 城 考点05 解答题 1．已知，，与的夹角是．计算 (1)；(2)． 2．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 3．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 【变式训练】 1．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 2．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 3．如图，在菱形中，其对角线，． 求：(1)；(2)在上的投影的数量；(3)在上的投影的数量． 4．已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 2．已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 3．设，，其中且． (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 4．如图，在菱形中，其对角线． 求：(1)；(2)在上的投影的数量；(3)在上的投影的数量． 三、达标检测 《平面向量的数量积》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，，与的夹角为，则（    ） A． B． C．10 D．20 2．已知两个单位向量的夹角是，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，都为单位向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．在矩形中，，，是的中点，是的中点，则（    ） A．4 B． C．6 D． 7．设是圆上两点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法不正确的是（    ）   A． B． C． D．在上的投影向量为 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（    ） A．一定存在实数，使得成立 B．若，那么一定有 C．若，那么 D．若，那么，，一定相互平行 10．等腰直角的面积为2，且，记，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意的， D．对任意的， 11．已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，与的夹角是，则_______． 13．已知向量，满足，，，则与的夹角为______． 14．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为_______． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.5 平面向量的数量积 高中数学导学案 专题6.5 平面向量的数量积 一、知识填空 1.向量的夹角 已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角. 当非零向量同向时，它们的夹角为 ；当非零向量反向时，它们的夹角为 ； 如果非零向量的夹角为 ，则说与垂直，即为. 非零向量夹角的范围为 . 2.向量的数量积 已知非零向量，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积（或内积）， 记为即. 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 3.数量积的几何意义 设是两个非零向量，，过的起点和终点作所在的直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为 ，向量 叫做向量在向量上的投影向量. 即向量在向量上的投影向量为 .（注：为与同向的单位向量） 4.数量积的性质 设是两个非零向量，它们的夹角为，是与同向的单位向量，则： （1）； （2）； （3）若同向，则 ；若反向，则 ； （4），； （5）. 5.数量积的运算律： （1）； （2）； （3）. 注意：与向量共线，与向量共线，因此在一般情况下不成立．　 6.求向量的数量积时，需明确两个关键点： （1）相关向量的模和夹角． （2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 自检自纠： 1. ，0，， ， 2.，，0 3.向量向向量投影，， . 4.（1）；（2）；（3）； ；（5）. 5.（1）；（2）；（3）. 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量数量积的基本运算 【经典例题】 1．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得.故选：A． 2．已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【答案】D 【详解】因为和的夹角为，，， 所以.故选：D. 3．下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】，，，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等，故①②③正确，④错误，故选：D 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，两式相减得：，所以；因为，所以；代入，得到；，故选：D 5．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】， 所以.故选：C 6．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两夹角为或， 当夹角为时，；当夹角为时，， 则； 综上所述：或. 7．已知向量，满足，，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，即，整理得，又因为，所以，则，所以． 8．已知单位向量，满足，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，整理得，而，则. 所以. 【变式训练】 1．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为向量与的夹角为，所以.故选：B. 2．已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 【答案】A 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 3．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，又，所以.故选：B. 4．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则，所以，则. 设与的夹角为，则，又，故，所以与的夹角为. 故选：C 5．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】由，所以，所以，， 所以，又，所以． 6．已知向量与满足，且，则（   ） A．4 B．10 C．20 D．36 【答案】C 【详解】因为，所以，所以 7．（多选）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错．对C，，所以与同向，C对．对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对．故选：ACD． 8．（多选）设、、是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（   ） A． B． C．与垂直 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A选项，不妨设，，则，由于、、是三个非零向量，且相互不共线，则不一定为零向量，A错；对于B选项，作，，则，如下图所示：因为、不共线，由三角形三边关系可得，即，B对；对于C选项，易知为非零向量，则，所以与垂直，C对；对于D选项，若，则，所以或，D错.故选：BC. 【巩固练习】 1．已知平面向量，的夹角为，且，，则______． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且，所以 2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 【答案】6 【详解】向量，且与的夹角为，则， .故答案为：6 3．已知向量满足，则＝______，＝______． 【答案】 【详解】因为可得，又＝6，得． 因为＝9，所以，即，解得． 4．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，解得，因，则.故选：C. 5．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，又，所以，，且,所以，故选：C. 6．若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，， ，所以，A正确；，C正确；，所以，故B错误，D正确. 7．（多选）已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【详解】设与的夹角为，由得，，将代入得，∴，又，∴，故A正确，B错误;，故C正确; ，故，故D正确.故选：ACD. 8．（多选）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确；由平面向量的交换律可知，，故B正确； ，故C正确；，故D错误.故选：ABC 9．（多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】如图，设，.因为，所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，，则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°，向量，的夹角为60°，向量，的夹角为.故选：BD. 【经典例题】地 城 考点02 平面向量数量积的几何应用 1．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以. 2．如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则______．   【答案】 【详解】如图所示，取线段的中点，连接，则， 所以，则．故答案为：. 3．已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【详解】 .如图，过点O作于点E，于点F.所以. 4．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【详解】由，可得，所以，即，可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形.故选：C. 【变式训练】 1．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【详解】由题意由，，因为，所以，所以， 故答案为：. 2．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以.根据向量数量积的几何意义：   . 3．如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得． 如图：作于，则就是在上的射影，且．   根据数量积的几何性质可知．同理可得， 故．故选：A． 4．在中，与的夹角等于 ． 【答案】 【详解】因为，即，所以，所以.故答案为： 5．已知内有一点满足，则向量与的夹角为（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】B 【详解】由条件得，则， 所以，所以， 则，即，所以，则， 所以向量与的夹角为．故选：． 6．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 【答案】A 【详解】由题可得，则， 因，知.故选：A. 【巩固练习】 1．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为点，分别为，的中点，则，且在方向上的投影数量为2，所以.故选：B. 2．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则故选: 3．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，   所以，，设，则 ，又是的外心，所以， 所以.故选：B 4．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【详解】是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得， ．故选：B． 5．如图，在△ABC中，，，，则_____． 【答案】 【详解】由,可知，,则 .故答案为． 6．在菱形中，为边的中点，若，则__________. 【答案】 【详解】方法一：，，且由对称性易知，. 方法二：设在上的投影向量分别为，易知，由数量积的几何意义可知，，. 故答案为：. 7．正六边形ABCDEF的边长为1，则______. 【答案】 【详解】正六边形如下图所示，，，且，所以，则. 故答案为： 【经典例题】地 城 考点03 平面向量投影问题 1．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：，所以根据题意，即，将代入可得：，而，所以.故选：. 2．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为．故答案为：. 3．已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知在上的投影的数量为，又因为， 故.故选：B. 4．已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】设向量与的夹角为.因为，所以.因为在上的投影向量为，所以①.在上的投影向量为，所以，即②. 将①代入②中，，即，所以，因为，所以，所以. 5．已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为非零向量的夹角为，所以， 又在上的投影向量为，所以，由，得，即，所以，故选：A. 6．（多选）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗，它们均可抽象为正八边形ABCDEFGH，如图3，O为其中心．记，，且，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对于A，由已知，所以向量的夹角为，又，， 所以，A正确，对于B，，，B错误，对于C，因为，，所以，所以，又为的角平分线，由平行四边形法则可得，所以，C正确，对于D，因为，，所以，又， 所以在上的投影向量为，D正确，故选：ACD. 【变式训练】 1．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量与的夹角为，，在方向上的投影为.故选：D 2．已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为.故选：D 3．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得，．而向量在向量上的投影向量为，因，故在上的投影向量为． 4．已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影______． 【答案】/0.5 【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影.故答案为： 5．已知在方向上的投影数量为2，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【详解】设与的夹角为，，． 6．已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 【答案】2 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为，由题意得又，代入得即故答案为：2 7．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，.故选：C 8．已知中，，，，则在方向上的投影为______． 【答案】 【详解】.故答案为：. 【巩固练习】 1．已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为向量与的夹角为，且，，所以， 所以向量在向量上的投影数量为.故选：B 2．已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．​ B．1 C．​ D．2 【答案】A 【详解】平面向量是非零向量，，，则. 设与夹角为，则，在方向上投影为.故选：A 3．设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为______ 【答案】 【详解】向量在方向上的投影为：.故答案为：. 4．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则___________. 【答案】2 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且， 所以，所以.故答案为：2 5．平面向量，在上的投影为，则______. 【答案】 【详解】在上的投影为，则，所以，故答案为：． 6．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【详解】在上的数量投影为1，则，即， 故，即，所以，又，所以.故答案为： 7．已知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，所以是的中点，即是圆的直径，且，又，，所以，所以， ∴，所以在上的投影向量为.故选：A. 8．（多选）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 【答案】BC 【详解】对于A，由正八边形，所以， 所以，又，故A错误； 对于B，，的夹角为，所以，故B正确； 对于C，，所以，，利用向量的加法法则，结合题图可知，的方向与的方向相反，所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影数量为，因为，所以，故D错误．故选：BC． 【经典例题】地 城 考点04 平面向量数量积最值及范围问题 1．已知非零向量与的夹角为，若，的取值范围是____. 【答案】 【详解】因为是两个非零向量的夹角，所以，又因为，余弦函数在上是减函数，所以，故答案为：. 2．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设与的夹角为，因为，，所以，所以，因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以，因为，所以，即当与的夹角为0时，.故选：B 3．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则，则，因为，所以，则的最小值为.故选：A 4．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】平方去绝对值号，由，则，根据向量与的条件可得，化简可得，令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，即，又，则的最小值为 5．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．   【答案】 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，过作，垂足为，过作，垂足为．当在、处时，最小，最小值为；当在、处时，最大，最大值为．综上所述，的取值范围是．故答案为： 【变式训练】 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 又，所以.故选：B 2．已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意，则，设与的夹角为，则，显然最大值为，此时.故选：C 3．在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 【答案】A 【详解】如图：因为等腰直角三角形中，，所以.     设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，.由数量积的几何意义可知，.故选：A. 4．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，过作，垂足为，过作，垂足为．当在处时，最小，最小值为；当在处时，最大，最大值为．综上所述，的取值范围是．故选D． 5．如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【详解】要使最大，与的夹角小于，当点在弧上时，，当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为，则 ，所以当与同向时，，此时最大值为，故选：D. 【巩固练习】 1．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，向量也是单位向量，则的最大值是______． 【答案】/ 【详解】，如图， 当向量与向量同向时，取最大值，当向量与向量反向时，取最小值，所以.故所求最大值为．故答案为： 2．在中，“为锐角”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于充分性，若为锐角，则，所以，即，故充分性正确；对于必要性，若，两边平方得，即，所以，又因为是的内角，所以为锐角，故必要性也成立.所以 “为锐角”是“”的充分必要条件.故选：A 3．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为，如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值，此时取得最大值，则，因为，则，， 所以.故选：C. 4．已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】  如图，圆是边长为2的正方形的内切圆，点分别是圆和正方形的边上的点，则，当且仅当，共线且同向，，时等号成立，所以的最大值为.故答案为：. 5．已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为，则，因为，所以，则，故点在以为圆心，1为半径的圆上．过作交圆于点，且与方向相同，由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值，此时，过点作的垂线，垂足为，易知，所以．故选：D． 6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示： 根据正八边形的特征，可知，又，所以， ，则的取值范围是.故选：B. 7．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】过C作交延长线于E点，则，因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值，此时，，故选：C. 【经典例题】地 城 考点05 解答题 1．已知，，与的夹角是．计算 (1)；(2)． 【详解】（1）由已知，． ， ． （2） ． 2．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【详解】（1）由已知，， ，，又，所以； （2），解得或． 3．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为，所以， 所以. 所以向量在向量上的投影数量为 （2）若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得. 【变式训练】 1．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 2．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【详解】（1），，，，即， ． 又，， ，又，所以； （2）若，则，即， ，， ∴存在使得与垂直． 3．如图，在菱形中，其对角线，．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【详解】（1）根据菱形的性质得， 所以在直角三角形中，，，由勾股定理得. 为直角三角形，且． ，． 所以． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为． 4．已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 【巩固练习】 1．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为， 所以． （3）若，则，即，所以， 即，所以，又，所以． 2．已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【详解】（1）由，得，而， 则，即，所以. （2）由（1）得，由，得，所以. 3．设，，其中且． (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 【详解】（1）由，得，则， 所以 （2）依题意，，，， 由与垂直，得， 即，所以． 4．如图，在菱形中，其对角线．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【详解】（1）根据菱形的性质得， 为直角三角形，且．． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为． 三、达标检测 《平面向量的数量积》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，，与的夹角为，则（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】C 【详解】已知，，与的夹角为，则.故选：C. 2．已知两个单位向量的夹角是，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为两个单位向量的夹角是， 所以.故选：D 3．已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可得，因为，所以， 解得，所以在上的投影向量为.故选：B. 4．已知，都为单位向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可知：，因为在上的投影向量为，可得， 又因为，所以.故选：B. 5．已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由已知有，故.故选：A. 6．在矩形中，，，是的中点，是的中点，则（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】如下图所示，     .故选：B 7．设是圆上两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 中点为 ，则由圆的性质可得 ，如图， 所以 ．故选：D 8．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法不正确的是（    ）   A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】A 【详解】连接，与交于点，如图所示，对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，易知，均为含角的直角三角形，故，，即，所以，又因为，故，故，故B正确；对于C：设正六边形的边长为，则，，所以，故C正确； 对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，故选：A．   二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（    ） A．一定存在实数，使得成立 B．若，那么一定有 C．若，那么 D．若，那么，，一定相互平行 【答案】BC 【详解】只有当，不是共线向量时，一定存在实数，使得成立，因此选项A不正确； 由，因此选项B正确； 由，，所以选项C正确； 当时，显然成立，但是，，不一定互相平行，故选：BC 10．等腰直角的面积为2，且，记，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意的， D．对任意的， 【答案】BD 【详解】如图，等腰直角的面积为2，且，故，故，，，故，故A错误；，故，故B正确； ，，由于的正负确定不了，故与的关系无法确定，C错误；成立，故，故D正确， 故选：BD. 11．已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 【答案】ACD 【详解】对A，因为是边长为的正三角形，内心为点，所以可得，则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，根据题意可知也为的外心， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，与的夹角是，则_______． 【答案】15 【详解】易知.故答案为： 13．已知向量，满足，，，则与的夹角为______． 【答案】/ 【详解】由，得，即，所以，， 因为，所以与夹角为．故答案为：. 14．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】，所以．即时取得最小值，故答案为：． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $