专题6.2 平面向量的加法运算导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 专题6.2平面向量的加法运算 一、知识填空 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法. (②)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a= 2.向量求和的法则 (1)三角形法则：己知非零向量a,万，在平面内任取一点A,作B=a,元=b,则向量C叫做a与b C 的和，记作 即a+b=AB+BC= (2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，b,以OA,OB为邻边作GOACB,则以O为 B b axb 起点的向量 (OC是GOACB的对角线)就是向量a与b的 04 3.1a+b1与abb|之间的关系 一般地，我们有a+bsa+b,当且仅当a,b 时等号成立 4.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b= ；(2)结合律： (a+B)+c= 5.向量加法运算的化简方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量 的 指向最后一个向量的 的向量 (2)几何法：通过作图，根据 法则或 法则化简. 自检自纠：1.(1)和 (2)a2.(1)a+bAC (2)OC 和 3.方向相同 4.(1) (②)a+(i+ 5.(1)起点终点(2)三角形 平行四边形 二、 考点专练 目目 者点01 平面向量的加法法则与运算律 【经典例题】 1.化简：OA+OC+BO+CO=() A.BA B.AB C.AC D.CA 1/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 【答案】A 【详解】OA+OC+BO+CO=CO+OC+BO+OA=0+BA=BA.故选：A 2.化简下列各式：①AB+BC+C:②(4B+MB)+BO+OM:③OA+OC+BO+CO: ④AB+CA+BD+DC.其中结果为0的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】对于①：AB+BC+CA=AC+CA=0, 对于②：(AB+M+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AM+MB=AB, 对于③：OA+OC+BO+CO=BO+OAHO+OC上BA+GBA, 对于④：AB+CA+BD+DC=(AB+BD+DC+C=AD+DA0, 所以结果为0的个数是2，故选：B 3.已知a五，c是非零向量，则(a+c)+b,b+(a+c),+(c+a,c+(a+b),c+(6+ad)中，与向量a+b+c 相等的向量的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【详解因为向量的加法满足交换律和结合律，所以(a+c+b,五+(a+c),+(c+a,c+(a+b),c+(仍+a) 都等于a+b+c,故选：A 4.(多选)设ā=(AB+CD+(BC+DA,方是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是() A.al/b B.atb=a C.a+b=b D.a+i<d+l园l 【答案】AC 【详解】由题意，a=(AB+CD)+(BC+DA)=AB+BC+CD+DA=0, 易知A,C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误故选：AC 【变式训练】 1.向量AB+BO+OM+MB+BC=() A.AC B.AB C.BC D.AM 【答案】A 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得AB+BO+OM+M瓜+BC=AC.选：A. 2.向量AB+OM+BO)+MB=() 2/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 A.BC B.AB C.AC D.AM 【答案】B 【详解】由AB+(OM+BO+M=AB+BO+OM+MB=A正，故B正确故选：B. 3.(多选)化简以下各式，结果为0的有() A.AB+BC+CA B.AB-AC+BD-CD C.OA+OD+AD D.NO+OP+MN-MP 【答案】ABD 【详解】对A,AB+BC+CA=AC+CA=0,故A正确： 对B,AB-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD0,故B正确： 对C,OA+OD+AD=OA+AD+OD=OD+OD=2OD,故C错误： 对D,NQ+QP+MN-MP=NP+HMN-M@=NP+PW0,故D正确. 故选：ABD 4.(多选)给出下面四个命题，其中是真命题的是() A.AB+BA=0 B.AB+BC=AC C.AB+AC=BC D.0+AB=0 【答案】AB 【详解】因为AB+BA=AB-AB=0,正确：AB+BC=AC，由向量加法知正确；AB+AC=BC,不满 足加法运算法则，错误；O+AB=AB,所以0+AB=0错误故选：AB. 5.(多选)下列结论中正确的是() A.0+0=0 B.对任一向量a,0/a C.对于任意向量a,五，a+b=b+aD.对于任意向量a,b,a+>0 【答案】BC 【详解】对A,0+0=0,故A不正确：对B,根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正 确；对C,根据向量加法交换律，C正确：对D,a=-五时，a+=0,D不正确故选：BC 【巩固练习】 1.化简OP+PS+SQ的结果等于() A.OP B.00 C.SP D.SO 【答案】B 【详解】根据向量的三角形法则，可得OP+P5+S9=OS+SO=OQ.故选：B. 2.(多选)下列各式结果为零向量的有() 3/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 A.AB+CA+BC B.AB+AC+BD+CD C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP 【答案】ACD 【详解】对A,AB+CA+BC=CA+AB+BC=CB+BC=0,故A正确： 对B,AB+AC+BD+CD=AB+BD+AC+CDAD+AD=21D，,故B错误： 对C,OA-OD+AD=DA+AD=0,故C正确： 对D,NO+QP+M-M亚=N亚+P=0,故D正确： 故选：ACD 3.给出下列等式：①AB+BA=0;②AC=DC+AB+BD;③OA+AC+AO+CO=0; ④AB+CA+BD+DC=0.其中等式成立的个数为 【答案】3个 【详解】AB+BA=AA=0,①对： DC+AB+BD=DC+AD=AD+DC=AC,②对： OA+AC+AO+C0=OC+CO+AO=AO,③错： AB+CA+BD+DC=CA+AB+BC=CB+BC=O,④对. 故答案为：3个 4.(多选)下列等式正确的是() ①ā+(b+c)=(a+C)+b;②AB+BA≠0；③AC=DC+AB+BD. A.②③ B.② C.① D.③ 【答案】CD 【详解】①满足向量加法的交换律与结合律，①正确.②AB+BA=0,②不正确. ③DC+AB+BD=DC+(AB+BD)=DC+AD=AD+DC=AC,③正确.故选：CD 目目 考点02 平面向量加法的几何应用 【经典例题】 1.在△ABC中，AB=a,BC=b,CA=c,则a+b+c 【答案】0 【详解】ā+b+c=AB+BC+C@A=AC+CA-0,故答案为：0 2.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=元，则a+b+为 【答案】22 4/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 【详解】a+b+AB+BC+AC=|AC+AC2AC=2P+1P=2V2.故答案为：25 3.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是() A.AB+BC=CA B.AB+AC=BC C.AC+BA=AD D.AC+AD=DC 【答案】C 【详解】对于A,AB+BC=AC,故A错误；对于B,因为AB+BC=AC,所以AB+AC=2AB+BC, 故B错误；对于C,AC+BA=BA+AC=BC=AD,故C正确：对于D,因为AD+DC=AC,所以 AC+AD=2AD+DC,故D错误故选：C B 4.如图 在正六边形AB-CDEF中，O是其中心.则： ①AB+CD=」 ②AB+AF+BC= ③OC+OD+EF= 【答案】AO AD oc 【详解】①AB+CD=AB+AF=AO.②AB+AF+BC=AO+BC=AO+OD=AD. ③OC+OD+EF=OC+OD+OA=OC.故答案为：A0:AD;OC 5.在如图所示的方格纸中，OP+OO=() H 0- A.OG B.HO C.OE D.FO 【答案】B 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知OP+OO=O1,而可i=H而 G 故选：B. 6.已知a,石是两个非零向量，则a+与+l的大小关系是() A.1a+b>园+B.1a+bk园+Blc.1a+b园+ D.la+bls a+ 5/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 【答案】D 【详解】因为ā，五是两个非零向量，且方向相同时，a+b=+,当ā，6不共线或反向共线时， a+b<+,所以a,五是两个非零向量，则a+s+,当且仅当a与b共线同向时等号成立 故选：D 7.己知向量ā，五满足园=1，=2，则+的最小值是一， 最大值是 【答案】1 【详解】：ld-sa+≤园+，a+b=1,la+b1x=3.当且仅当a,6同向时取得最大值3，当且 仅当a,b反向时取得最小值1.故答案为：1；3. 8.已知单位向量g,,e,则+已++e的最大值是 ,最小值是 【答案】 20240 【详解】当单位向量e,6,,eo4方向相同时，+已，+…+eo2取得最大值， 日+8++ea=回十曰+中ew=2024:当单位向量g,e,eo4首尾相连时，e+e,++e=0, 所以+e2+.…+ew的最小值为0.故答案为：2024；0 【变式训练】 1.已知正方形ABCD的边长为2，则AB+BC+AC=() A.√2 B.25 C.3√2 D.4V2 【答案】D 【详解】|AB+BC+AC上2AC=2V22+22=4W2.故选：D. D C 2.如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是() A B A.AB=AD B.AC=BD C.AB+BC=AC D.AB+AD=BD 【答案】C 【详解】因为四边形ABCD是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，AB+BC=AC, AB+AD=AC≠BD,故C对D错：因为向量方向不同，所以AB≠AD,AC≠BD,故AB错误.故选：C 6/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 3.如图为正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，则OC+HG+F豆=( A.OB B.OD C.OF D.OH 【答案】A 【详解】由平面向量的运算法则，可得OC+HG+F豆=OC+FG=OC+CB=OB.故选：A 4.等腰三角形ABC中，AB=AC,D,E在边BC上，满足BD=DE=EC,则下列各式中正确的是() A.AD=AE B.BD=CE C.AB+AE=AC+AD D.AB+AC=AD+AE 【答案】D 【详解】对于A,如图 ,AD与A正方向不同，故A错误：对于B,BD与CE B 方向相反，故B错误；对于C,因D,E在边BC上，满足BD=DE=EC,则AB+AE=2AD,AC+AD=2A亚， 由A项知AD与AE不相等，故C错误；对于D,由图知，AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+AE+(DB+EC, 因DB+EC=O,故有AB+AC=AD+AE,即D正确故选：D. 5.若在△ABC中，AB=a,BC=i,且==1，a+=√5，则△ABC的形状是() A.正三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】D 【详解】如图，a+b=AB+BC=AC;∴|ABHBC=l,ACV2;ABP+|BCP=ACP=2 △ABC为等腰直角三角形.故选：D B 6.（多选)己知向量AB,BC,AC，,那么下列命题中正确的有() A.4B+BC=AC B.AB+BC=AC C.AB+BC>AC D.B+BCAC 【答案】AD 【详解】由向量的加法法则可得AB+BC=AC,故A正确，C错误；当点B在线段AC上时，AB+BC=AC, 7/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 否则AB+BC>AC故B错误，D正确.故选：AD 7.设a=8,上12，则a+b1的最大值与最小值分别为 【答案】20,4 【详解】因1a=8,=12,则|a+b1≤a+|b=20,当且仅当a与b同向共线时取等号，a+b以b1-a=4, 当且仅当a与反向共线时取等号，所以]a+b1的最大值与最小值分别为20,4.故答案为：20,4 8.(多选)己知a/i,园-2=8，则a+的值可能为() A.4 B.8 C.10 D.12 【答案】AD 【详解】因为园=25=8，所以园=4，因为a∥i,所以a,3方向相同或相反，当a同向时， a+=+=12,当a.五反向时，a+=同-=4.故选：AD a b c 9.设a,6,c为非零向量，若卫同十同十同 则列的最大值与最小值的差为 【答案】3 b 详解记a牙，。而'QE因为i、5、8为非专向量，所以4,4,4分别是与五、方、 向的单位向量，当a,瓦，C。这三个单位向量方向相同时，列取得最大值，最大值为可+瓦+1+1+1=3： 当三个单位向量两两夹角为120时，根据平行四边形法则知道P上=0，所以的最小值为0.|的最大值 为3，最小值为0，它们的差为3.故答案为：3 10.(多选)在△ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的重心，则下述结论 中正确的是() A.正+Bc-aB.AG=亚+ACC.A+BD+死=-0D.Ga+G丽+Gc-0 【答案】CD 【详解】由D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的重心，因为AB+BC=AC≠CA, 故A错误：由(AB+AC)=AD≠AG,故B错误：因为AF+BD+CE=(AB+BC+C4)=0,故C正确： 因为面+0匹+民最acc)a-+a心+c+d刘0 故D正确.故选：CD 【巩固练习】 8/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 1.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则AO+OB+AD=( A.AB B.AC C.AD D.BD 【答案】B 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得AO+OB+AD=AB+AD=AC.故选B. 2.(多选)已知点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点，则下列等式中正确的是() A.FD+DA=FA B.FD+DE+EF=0 C.DE+DA=EC D.DA+DE=FD 【答案】ABC 【详解】对于A选项，FD+DA=A,正确：对于B选项，FD+DE+EF=FE+EF=0,正确： 对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE+DA=DF=EC,正确：对于D选项， DA+DE=DF≠FD,所以D错误故选：ABC 3.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC的是() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 【答案】ABD 【详解】对于A,BA+AD+DC=BD+DC=BC:对于B,BD+DA+AC=BA+AC=BC: 对于C,AB+BD+DC=AD+DC=AC:对于D,DC+BA+AD=BA+AD+DC=BD+DC=BC. 故选：ABD 4.在矩形ABCD中，设A⑧=4，BC=2,则AB+AD的模为() A.2W5 B.45 C.12 D.6 【答案】A 【详解】已知在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,因为AB+AD=AB+BC=AC, 根据勾股定理AC=VAB+BC=V4+2=2√5，所以AB+AD的模为25.故选：A 5.已知正方形ABCD的边长为2，AB=aBC=i,4C=c,则a+b+C 【答案】4√2 【详解】如图，已知正方形ABCD的边长为2，AB=a,BC=b,AC=c,则 9/21 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 a+b+d=AB+BC+Ad=24d=2×2√2=4W2故答案为：4万 6.已知园=2，l=4,则a+的最大值为 【答案】6 【详解】+≤同+园=2+4=6，当且仅当a与万同向时取等号，故答案为：6. 7.设园=2，e为单位向量，则a+的最大值为 【答案】3 【详解】在平面内任取一点O,作OA=立，AB=e,则a+e=OA+AB=OB,因为e为单位向量，所以点 B在以点A为圆心的单位圆上（如图所示），由图可知当点B在点B:处，O,A,B,三点共线时，B即+ 最大，最大值是3.故答案为：3 8.己知向量a,汤满足d=2,=8,则a+的取值范围是 【答案】[6,10] 【详解】根据向量模长不等式a+1sa+1,已知a=2,=8,则a+b≤2+8=l0,当且仅当a与 6同向时，等号成立.根据向量模长不等式asā+b,可得a+b2-86,当且仅当a与6反向时， 等号成立.综上，|ā+1的取值范围是[6,10]故答案为：[6,10] 9.（多选)已知|a23,b=2,向量ā与五的夹角为30°，则以向量ā，5为邻边的平行四边形的一条 对角线的长度可能是() A.10 B.2W7 C.2 D.22 【答案】BC 【详解】设AD=五，A=a.则AD=2,AB=2√3，∠DAB=30°，过点D作DE LAB于点E,则AE=√5，所 以BE=V3,可得DB=2,过点A作AF⊥BD于点F,则AF=√3，DF=1,又由DO=1,所以 10/21专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 专题6.2平面向量的加法运算 一、知识填空 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法。 (②)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a= 2.向量求和的法则 (1)三角形法则：己知非零向量a,万，在平面内任取一点A,作B=a,元=五，则向量花叫做a与b C 的和，记作 即a+b=AB+BC= (2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，b,以OA,OB为邻边作GOACB,则以O为 B b axb 起点的向量 (OC是GOACB的对角线)就是向量a与b的 04 3.1a+b1与abb|之间的关系 一般地，我们有a+bsa+b,当且仅当a,b 时等号成立. 4.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b= ；(2)结合律： (a+B)+c= 5.向量加法运算的化简方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量 的 指向最后一个向量的 的向量 (2)几何法：通过作图，根据 法则或 法则化简. 自检自纠：1.(1)和 (2)a2.(1)a+bAC (2)OC 和 3.方向相同 4.(1) (②)a+(6+c.5.(1)起点终点(2)三角形 平行四边形 二、考点专练 目目 者点01 平面向量的加法法则与运算律 【经典例题】 1.化简：OA+OC+BO+CO=() A.BA B.AB C.AC D.CA 1/12 专题62平面向量的加法运算 高中数学导学案 2.化简下列各式：①AB+BC+C:②(AB+MB)+BO+OM:③OA+OC+BO+CO: ④AB+CA+BD+DC.其中结果为0的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知a五，c是非零向量，则(a+c)+b,万+(a+c),+(c+a,c+(a+),c+(6+a中，与向量a+i+c 相等的向量的个数为() A.5 B.4 C.3D.2 4.(多选)设ā=(AB+CD)+(BC+DA,方是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是() A.al/b B.ati-a C.D.at 【变式训练】 1.向量AB+BO+OM+MB+BC=() A.AC B.AB C.BC D.AM 2.向量AB+(OM+BO)+B=() A.BC B.AB C.AC D.AM 3.(多选)化简以下各式，结果为0的有() A.AB+BC+CA B.AB-AC+BD-CD C.OA+OD+AD D.NO+OP+MN-MP 4.（多选)给出下面四个命题，其中是真命题的是() A.AB+BA=0 B.4B+BC=AC C.AB+AC=BC D.0+4B=0 2/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 5.(多选)下列结论中正确的是() A.0+0=0 B.对任一向量a,0/a C.对于任意向量a,i,a+b=b+āD.对于任意向量ā，i,a+>0 【巩固练习】 1.化简OP+P+SO的结果等于() A.OP B.00 C.SP D.SO 2.(多选)下列各式结果为零向量的有() A.AB+CA+BC B.AB+AC+BD+CD C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP 3.给出下列等式：①AB+BA=0;②AC=DC+AB+BD;③OA+AC+AO+CO=0; ④AB+CA+BD+DC=0.其中等式成立的个数为 4.(多选)下列等式正确的是() ①a+(b+c)=(a+C)+b:②AB+BA≠0：③AC=DC+AB+BD A.②③ B.② C.① D.③ 目目 考点02 平面向量加法的几何应用 【经典例题】 1.在△ABC中，AB=a,BC=b,CA=c,则a+b+c 2.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=i,AC=,则a+b+d为 3.己知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是() A.AB+BC=CA B.AB+AC=BC C.AC+BA=AD D.AC+AD=DC 3/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 4.如图F C,在正六边形AB-CDEF中，O是其中心.则： A ①AB+CD= _:②AB+AF+BC=」 ;③OC+OD+EF= 5.在如图所示的方格纸中，OP+OQ=() G IF A.OG B.HO C.OE D.FO 6.已知a,6是两个非零向量，则a+与同+|的大小关系是() A.latbl>a+B.la+bka+C.la+b a+D.la+Bls a+ 7.已知向量ā，五满足=1，=2，则a+的最小值是，最大值是 8.己知单位向量，e,,e,则+e,++e的最大值是一，最小值是 【变式训练】 1.已知正方形ABCD的边长为2，则AB+BC+AC=() A.2 B.2√2 C.3v2 D.4V2 4/12 专题62平面向量的加法运算 高中数学导学案 D 2.如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是() A B A.AB=AD B.AC=BD C.AB+BC=AC D.AB+AD=BD 3.如图为正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，则OC+HG+F豆=() A.OB B.OD C.OF D.OH 4.等腰三角形ABC中，AB=AC,D,E在边BC上，满足BD=DE=EC,则下列各式中正确的是() A.AD=AE B.BD=CE C.AB+AE=AC+AD D.AB+AC=AD+AE 5.若在△ABC中，AB=a,BC=i,且==1，a+=√5，则△ABC的形状是() A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.(多选)已知向量AB,BC,AC,那么下列命题中正确的有() A.AB+BC=AC B.B+BC=AC C.AB+BC>AC D.B+BCAC 7.设1a=8,=12,则|a+b1的最大值与最小值分别为 5/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 8.(多选)已知a/i,=2=8,则a+的值可能为() A.4 B.8 C.10 D.12 ab c 9.设ā6，为非零向量，若D同同十问，别则团的最大值与最小值的差为 10.(多选)在△ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的重心，则下述结论 中正确的是() A.西+BC-GB.4AG-(a+4GC.A亚+丽+Cz-0D.Ga+G5+元-0 【巩固练习】 1.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则AO+OB+AD=( A.AB B.AC C.AD D.BD 2.(多选)己知点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点，则下列等式中正确的是() A.FD+DA=FA B.FD+DE+EF=0 C.DE+DA=EC D.DA+DE=FD 3.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC的是() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 4.在矩形ABCD中，设AB=4,BC=2,则AB+AD的模为（) A.25 B.45 C.12 D.6 5.已知正方形ABCD的边长为2，AB=a,BC=五，AC=c,则a+b+C= 6.己知d=2,=4,则a+的最大值为 7.设a=2,e为单位向量，则a+e的最大值为 6/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 8.已知向量a,3满足日=2，=8，则a+的取值范围是 9.（多选)已知|a=23,=2,向量a与6的夹角为30°，则以向量a,b为邻边的平行四边形的一条 对角线的长度可能是() A.10 B.2万 C.2 D.22 C 10.如图 0 B,AB是⊙O的直径，点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用AB,AC表 示AD 平面向量加法的实际应用 目目 考点03 【经典例题】 1.如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移 的结果为() R A.AB B.BC C.AC D.CA 2.向量a、b分别表示向东和向北方向走l0m,则a+表示() A.向东北方向走10√2km B.向西北方向走10W2am C.向东北方向走20km D.向西北方向走20m 7/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 3.如图，己知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F,=24N绳BO与墙壁垂直，所受拉力 F2=12N,则F,与F2的合力大小为，方向为 4.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2k到D地，然后从D地沿北偏 北个 东60°方向行驶km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B地. 西 东 南 (1)在如图所示的坐标系中画出AD,DC,CB,AB; (2)求B地相对于A地的位移. 5.甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2给机器人乙， 然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传√2m给机器人丁，利 用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 【变式训练】 1.某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为()，则逆风行驶的速度大小为() A.+2 B.-2 c.+ D.- 8/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 2.某人在静水中游泳的速度为√5/s,河水自西向东的流速为1m/s,此人朝正南方向游去，那么他的实 际前进方向与水流方向的夹角为() A.90 B.60° C.45 D.30° 4.设向量a表示“向东走2km”;向量b表示“向西走1km”;向量c表示向南走2km';向量d表示向北 走1km”,试说明下列向量所表示的意义：(1)a+a;(2)a+c;(3)a+b+d:(4)c+d+c. 5.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是 抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑'是重庆的地标性 建筑，吸引众多游客来此打卡拍照如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正 八边形ABCDEFGH,如图乙所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且AC=xAB+yAH(x,y∈R), 则x+y=( 甲 A.1+2√5 B.1+√2 C.2+√2 D.3 6.在静水中船的速度是40m/min,水流的速度是20mmim.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达 对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 9/12 专题6.2平面向量的加法运算 高中数学导学案 7.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300后到达B地，然后向C地飞行，已知C地 在A地东偏北30°的方向处，且A,C两地相距300k,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距 离 【巩固练习】 1.若向量a表示“向东航行1km”,向量表示“向北航行√3km”,则向量a+b表示（) A.向东北方向航行2m B.向北偏东30°方向航行2km C.向正北方向航行1+√3)km D.向正东方向航行(1+√3)km 2.已知向量a表示“向东航行3km”,b表示“向南航行3km”,则a+b表示 3.某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改 变方向，向东走了200m到达D点.(1cm表示100m) (I)作出向量AB、BC、CD: (2)求DA. 4.在水流速度为10/h的河中，如果要使船以17.3kmh的速度与河岸成直角横渡，求船的航行速度的大 小与方向. 5.在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为l0m/min,若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行 进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角） 10/12专题6.2 平面向量的加法运算 高中数学导学案 专题6.2 平面向量的加法运算 一、知识填空 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量，规定 ． 2．向量求和的法则 (1)三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作 ，即 . (2)平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作，则以为起点的向量 (是的对角线)就是向量与的 . 3. 与之间的关系 一般地，我们有，当且仅当， 时等号成立． 4.向量加法的运算律 (1)交换律： ；(2)结合律： ． 5.向量加法运算的化简方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量 的 指向最后一个向量的 的向量． (2)几何法：通过作图，根据 法则或 法则化简．　 自检自纠：1．(1)和 (2) 2．(1) (2) 和 3.方向相同 4.(1) (2)．5.(1)起点 终点 (2)三角形 平行四边形 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的加法法则与运算律 【经典例题】 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．向量 （  ） A． B． C． D． 2．向量 （    ） A． B． C． D． 3．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列结论中正确的是（    ） A． B．对任一向量， C．对于任意向量， D．对于任意向量， 【巩固练习】 1．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列各式结果为零向量的有（    ） A． B． C． D． 3．给出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的个数为________． 4．（多选）下列等式正确的是（   ） ①；②；③． A．②③ B．② C．① D．③ 【经典例题】地 城 考点02 平面向量加法的几何应用 1．在中，，，，则_____________． 2．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 3．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正六边形中，是其中心．则： ①___________；②___________；③___________． 5．在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． 6．已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．已知向量满足，则的最小值是______，最大值是______． 8．已知单位向量，…，，则的最大值是________，最小值是________． 【变式训练】 1．已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）   A． B． C． D． 3．如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 7．设，则的最大值与最小值分别为__________． 8．（多选）已知，则的值可能为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 9．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为______. 10．（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 4．在矩形中，设，，则的模为（    ） A． B． C．12 D．6 5．已知正方形的边长为2，，则 ________． 6．已知，，则的最大值为________． 7．设，为单位向量，则的最大值为________． 8．已知向量满足，，则的取值范围是____________ 9．（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. 【经典例题】地 城 考点03 平面向量加法的实际应用 1．如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（    ）   A． B． C． D． 2．向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 3．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1与F2的合力大小为____，方向为_____. 4．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 5．甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【变式训练】 1．某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 2．某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义：(1)；(2)；(3)；(4)． 5．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（    ） A． B． C． D．3 6．在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 7．一架执行任务的飞机从A地按北偏西的方向飞行后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北的方向处，且A，C两地相距，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离． 【巩固练习】 1．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 2．已知向量表示“向东航行3km”，表示“向南航行3 km”，则表示_________. 3．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 4．在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角横渡，求船的航行速度的大小与方向． 5．在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 6．一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 三、达标检测 《平面向量的加法运算》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．化简 （    ） A． B． C． D． 2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知M为四边形ABCD内任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）   A． B． C． D． 6．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 7．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 11．下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 13．已知向量满足，，则的取值范围是____________ 14．如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么___________；_________. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.2 平面向量的加法运算 高中数学导学案 专题6.2 平面向量的加法运算 一、知识填空 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量，规定 ． 2．向量求和的法则 (1)三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作 ，即 . (2)平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作，则以为起点的向量 (是的对角线)就是向量与的 . 3. 与之间的关系 一般地，我们有，当且仅当， 时等号成立． 4.向量加法的运算律 (1)交换律： ；(2)结合律： ． 5.向量加法运算的化简方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量 的 指向最后一个向量的 的向量． (2)几何法：通过作图，根据 法则或 法则化简．　 自检自纠：1．(1)和 (2) 2．(1) (2) 和 3.方向相同 4.(1) (2) 5.(1)起点 终点 (2)三角形 平行四边形 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的加法法则与运算律 【经典例题】 1．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A 2．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：， 对于②：， 对于③：， 对于④：， 所以结果为的个数是，故选：B 3．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，所以，，，，都等于，故选：A 4．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意，， 易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC. 【变式训练】 1．向量 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得.选：A. 2．向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，故B正确.故选：B. 3．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD 4．（多选）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B. 5．（多选）下列结论中正确的是（    ） A． B．对任一向量， C．对于任意向量， D．对于任意向量， 【答案】BC 【详解】对A，，故A不正确；对B，根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正确；对C，根据向量加法交换律，C正确；对D，时，，D不正确.故选：BC. 【巩固练习】 1．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的三角形法则，可得.故选：B. 2．（多选）下列各式结果为零向量的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：ACD 3．给出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的个数为________． 【答案】3个 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个 4．（多选）下列等式正确的是（   ） ①；②；③． A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】CD 【详解】①满足向量加法的交换律与结合律，①正确．②，②不正确． ③，③正确．故选：CD 【经典例题】地 城 考点02 平面向量加法的几何应用 1．在中，，，，则_____________． 【答案】 【详解】，故答案为： 2．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 【答案】 【详解】.故答案为： 3．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误.故选：C 4．如图，在正六边形中，是其中心．则： ①___________；②___________；③___________． 【答案】 【详解】①．②． ③．故答案为：；；. 5．在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知，而. 故选：B． 6．已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，，当不共线或反向共线时，，所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 7．已知向量满足，则的最小值是______，最大值是______． 【答案】1 3 【详解】，，当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1.故答案为：1；3. 8．已知单位向量，…，，则的最大值是________，最小值是________． 【答案】 【详解】当单位向量，…，方向相同时，取得最大值，；当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为.故答案为：； 【变式训练】 1．已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，，，故C对D错；因为向量方向不同，所以，，故AB错误.故选：C 3．如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平面向量的运算法则，可得.故选：A. 4．等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图，与方向不同，故A错误；对于B，与方向相反，故B错误；对于C，因在边上，满足，则，，由A项知与不相等，故C错误；对于D，由图知，， 因，故有，即D正确.故选：D. 5．若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】如图，  ；； 为等腰直角三角形．故选：D． 6．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由向量的加法法则可得，故正确，错误；当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．故选：AD. 7．设，则的最大值与最小值分别为__________． 【答案】20，4 【详解】因，则，当且仅当与同向共线时取等号，，当且仅当与反向共线时取等号，所以的最大值与最小值分别为20，4.故答案为：20，4 8．（多选）已知，则的值可能为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】AD 【详解】因为，所以，因为，所以方向相同或相反，当同向时，，当反向时，.故选：AD. 9．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为______. 【答案】3 【详解】记，，，因为、、为非零向量，所以分别是与、、同向的单位向量，当这三个单位向量方向相同时，取得最大值，最大值为； 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为.的最大值为，最小值为，它们的差为.故答案为： 10．（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，因为，故A错误；由, 故B错误；因为, 故C正确； 因为, 故D正确.故选：CD 【巩固练习】 1．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.故选B. 2．（多选）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A选项，，正确；对于B选项，，正确； 对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；对于D选项，，所以D错误.故选：ABC 3．（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，；对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 4．在矩形中，设，，则的模为（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【详解】已知在矩形中，，，因为， 根据勾股定理，所以的模为.故选：A. 5．已知正方形的边长为2，，则 ________． 【答案】 【详解】如图，已知正方形的边长为2，，则.故答案为： 6．已知，，则的最大值为________． 【答案】6 【详解】，当且仅当与同向时取等号，故答案为：6． 7．设，为单位向量，则的最大值为________． 【答案】3 【详解】在平面内任取一点O，作，则，因为为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1处，O，A，B1三点共线时，即最大，最大值是3．故答案为：3 8．已知向量满足，，则的取值范围是____________ 【答案】[6,10] 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立.综上，的取值范围是 故答案为： 9．（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 【答案】BC 【详解】设．则,过点作于点，则，所以，可得，过点作于点，则,又由，所以，即.故选：BC. 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. 【答案】 【详解】连接CD，OD，如图所示． ∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO. 由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO， ∴四边形ACDO为平行四边形，∴. 【经典例题】地 城 考点03 平面向量加法的实际应用 1．如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意,故这个人由A地到C地位移的结果为，故选：C 2．向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 【答案】A 【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，故平行四边形为正方形，所以，且，且，故表示向东北方向走，故选：A. 3．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1与F2的合力大小为____，方向为_____. 【答案】 竖直向上 【详解】以为邻边作平行四边形BOAC，则， 即，则，，，，. 与的合力大小为，方向为竖直向上. 4．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【详解】（1）向量，，，，如图所示, （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形．所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 5．甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【详解】根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 【变式训练】 1．某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小）. 表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小，表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小.故选：D. 2．某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度，则即表示他的实际前进方向，由题意可知，， 则在中，，故，即他的实际前进方向与水流方向的夹角为，故选：B 4．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义：(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”，则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 5．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由图可知角度关系，外角，作平行四边形， ，设八边形的边长为1，则，，所以，，所以.故选：C 6．在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【详解】设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形.所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 7．一架执行任务的飞机从A地按北偏西的方向飞行后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北的方向处，且A，C两地相距，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离． 【详解】如图所示，，，， 所以．， 因为，且A地在B地的东偏南的方向处，可知C地在B地的东偏南的方向处． 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南，B，C两地间的距离为． 【巩固练习】 1．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 【答案】B 【详解】如图，  易知，所以．故的方向是北偏东．又.故选：B． 2．已知向量表示“向东航行3km”，表示“向南航行3 km”，则表示_________. 【答案】向东南航行km. 【详解】根据题意由于向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km”，那么可知表示向东南航行km.故答案为：向东南航行km 3．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【详解】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形，所以. 4．在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角横渡，求船的航行速度的大小与方向． 【答案】船的实际航行速度大小为，与水流的方向成角 【详解】如图所示．设，． 在中，． 又，所以． 所以船的实际航行速度大小为，与水流的方向成角． 5．在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 【答案】 【详解】如图所示，表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.所以在中，.所以船实际行进的方向的正切值为. 6．一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 三、达标检测 《平面向量的加法运算》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，.故选：A. 3．已知M为四边形ABCD内任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平面向量的加法运算法则可知，，故选：B. 4．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，,故①正确； 对于②，,故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，,故④正确. 故结果为零向量的个数是3.故选:C. 5．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，，，故C对D错；因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 6．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【详解】因为，又是一非零向量，所以，故①正确； ，故②错误，③正确；又，所以，故④错误.故选：D 7．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设表示水流速度，表示实际速度（即静水速度），表示与合速度，则，，由题意可得.故选：B. 8．已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图，作平行四边形，设的交点为，点到直线的距离为，因，，则四边形为菱形，且，因的面积为，则，得，则点在与直线平行的直线上，且两直线之间的距离为，则的最小值为.故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确； 对于B项，，B错误； 对于C项，，C正确； 对于D项，，D正确． 故选：ACD 10．给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 【答案】AD 【详解】对于A项，∵线段AC=AB+BC，∴点B在线段AC上，，故选项A正确；对于B项，在△ABC中，，但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B不成立；对于C项，若向量与反向共线，则AC≠AB+BC，故选项C不成立；对于D项，∵向量与反向共线， 故选项D正确.故选：AD. 11．下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为向量与的方向相同或相反且，所以的方向必与或的方向相同，故A正确；对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，故B错误； 对于C，当A，B，C三点共线时，也可以满足，故C错误；对于D，当，反向时，，等式不成立，故D错误.故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【答案】1 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 13．已知向量满足，，则的取值范围是____________ 【答案】[6,10] 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立.综上，的取值范围是 故答案为： 14．如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么___________；_________. 【答案】 【详解】因为，所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ；.故答案为：；. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $