专题12二次函数及其应用突破讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题12二次函数及其应用突破讲义 【模块一 基础概念类】.............................................7 【题型01 二次函数的定义辨析】.....................................7 【题型02 二次函数的图象识别】.....................................8 【模块二 图象图性质类】..........................................10 【题型03 二次函数的图象性质】....................................10 【题型04 二次函数图象与系数关系】................................12 【题型05 二次函数的对称性】......................................16 【模块三 解析求解类】............................................19 【题型06 待定系数法求解析式】....................................19 【题型07 二次函数图象的平移】....................................22 【模块四 函数与方程.不等式】.....................................24 【题型08 二次函数与一元二次方程】................................24 【题型09 二次函数与不等式】......................................27 【模块五 最高频应用题型(中考必考)】...............................30 【题型10 二次函数应用:销售问题】.................................30 【题型11 二次函数应用:图形问题 】.................................33 【模块六 高频应用题型(地区中考常考.出现率高)】....................36 【题型12 二次函数应用:投球问题】..................................36 【题型13 二次函数应用:拱桥问题】..................................40 【题型14 二次函数应用:喷水问题】..................................44 【模块七 中频应用题型(偶尔)】.....................................49 【题型15 二次函数应用:图形运动问题】..............................49 【题型16 二次函数应用:增长率问题】................................52 【模块八 二次函数综合】...........................................54 【题型17 二次函数中的线段与周长问题】.............................54 【题型18 二次函数中的面积计算问题】...............................59 【题型19 二次函数中的角度问题】...................................63 【题型20 二次函数与特殊三角形综合】...............................68 【题型21 二次函数与特殊四边形综合】...............................76 【题型22 二次函数与相似三角形问题】...............................81 · 分值占比：二次函数是中考数学核心必考板块，总分值约 10–18 分，覆盖选择、填空、解答三种题型，常作为压轴题出现，是区分度较高的关键内容。 · 常考考点：聚焦二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、与一元二次方程的综合应用、实际应用问题（利润最大化、几何图形面积最值、运动轨迹等）、与几何图形的综合探究（相似、全等、面积、存在性问题）五大方向。 · 命题趋势：基础题侧重图像性质辨析与解析式求解，中档题侧重函数与方程、不等式的综合运算，难题多以动态几何、存在性探究、实际情境建模为主，且结合坐标系、几何变换、新定义的题型占比逐年提升，对数形结合能力要求较高。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念与表达式 1. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a0，a,b,c 为常数）的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：2 次 关键条件：a0（若 a=0，则退化为一次函数或常数函数） 2. 三种表达式 形式 表达式 适用场景 优点 一般式 y=ax2+bx+c 已知任意三点坐标 直接反映 a,b,c 的几何意义 顶点式 y=a(x−h)2+k 已知顶点 (h,k) 或对称轴 直接看出顶点坐标和对称轴 交点式 y=a(x−x1)(x−x2) 已知与 x 轴两交(x1,0),(x2,0) 直接看出与与 x 轴交点坐标 知识点02:图像与性质 1. 图像形状 二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 2. 开口方向 a>0：开口向上，函数有最小值 a<0：开口向下，函数有最大值 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 3. 对称轴与顶点坐标 对称轴：直线 x=−（由一般式推导） · 顶点是抛物线的最高点（a<0）或最低点（a>0） · 顶点式中：顶点为 (h,k)，对称轴为 x=h 4. 增减性 开口向上（a>0）： 对称轴左侧（x<−）：y 随 x 增大而减小 对称轴右侧（x>−）：y 随 x 增大而增大 开口向下（a<0）： 对称轴左侧（x<−）：y 随 x 增大而增大 对称轴右侧（x>−）：y 随 x 增大而减小 5. 最值 知识点03:a,b,c 的几何意义 系数 几何意义 a 决定开口方向和开口大小 b 与 a 共同决定对称轴位置：x=−（“左同右异”：a,b 同号，对称轴在y 轴左侧；异号则在右侧） c 决定抛物线与 y 轴交点坐标：(0,c) 知识点04:与一元二次方程的关系 1. 交点个数与判别式 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点个数，由方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2−4ac 决定： Δ>0：抛物线与 x 轴有 2 个 不同交点 Δ=0：抛物线与 x 轴有 1 个 交点（顶点在 x 轴上） Δ<0：抛物线与 x 轴 无交点 2. 交点坐标与韦达定理 若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2，则抛物线与 x 轴交点为 (x1,0)、(x2.,0) 知识点05:图像平移规律 1. 平移原则（顶点式） “左加右减，上加下减”（针对 y=a(x−h)2+k）： 向左平移 m 个单位：y=a(x−h+m)2+k 向右平移 m 个单位：y=a(x−h−m)2+k 向上平移 n 个单位：y=a(x−h)2+k+n 向下平移 n 个单位：y=a(x−h)2+k−n 2. 一般式平移步骤 1.将一般式配方为顶点式 2.按平移规律修改顶点坐标 3.展开还原为一般式（若需要） 知识点06:实际应用与综合题型 实际应用 1. 利润问题 核心等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售量 总利润=(售价−成本)×销售量 常见建模：设涨价 / 降价为 x，建立 y=ax2+bx+c 形式，求顶点处的最大利润。 2. 面积问题 核心等量关系： 矩形面积：S=长×宽 三角形面积：S=×底×高 常见建模：用含 x 的式子表示边长，代入面积公式得二次函数，求面积最大值。 3. 运动 / 抛射问题 核心等量关系： 竖直上抛高度：h=−gt2+v0t+h0（g 为重力加速度，v0初速度，h0初始高度） 水平抛射：水平位移 x=vxt，竖直位移 y=−gt2 建模：求最大高度（顶点纵坐标）或落地时间（h=0 时的正根） 综合题型 1. 与一次函数综合 交点坐标：联立方程 2. 与几何图形综合 3. 与一元二次方程 / 不等式综合 4.存在性问题核心等量关系 易错点提醒 1.忽略 a0 的条件，误将一次函数或常数函数判断为二次函数 2.配方时漏乘系数，导致顶点坐标计算错误 3.平移规律混淆 “左右” 与 “上下”，符号出错 4.实际问题中忽略自变量取值范围，导致最值不符合实际意义 5.判别式 Δ 与交点个数的对应关系记忆混淆 【模块一 基础概念类】 【题型1.二次函数的定义辨析】 【典例】若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如，注意二次项的系数不能为零． 根据二次函数的定义，需为整式且最高次项为二次，且二次项系数不为零，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数形式为， 选项A：，含分式，非整式，故不是二次函数，不符合题意； 对于B：，为一次函数，故不是二次函数，不符合题意； 对于C：，即，故是二次函数，符合题意； 对于D：，若，则非二次函数，∴不一定是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义和图象，熟练掌握二次函数的定义和图象特征是解题关键．根据二次函数的定义和二次函数的图象特征可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的二次函数，且该函数图象开口向下， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 【题型2.二次函数的图象识别】 【典例】二次函数图象的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过配方法将二次函数化为顶点式，其中为顶点坐标，据此进行解答即可． 【详解】解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．需验证抛物线是否经过原点（时）以及对称轴是否为直线，可通过二次函数的对称轴公式或顶点式特点逐项分析即可解答． 【详解】解：选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意； 选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，不符合题意； 选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，符合题意； 选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解题中用到 “图象分析法”，解题关键是结合图象特征确定a、c的正负性，进而判断的符号．本题先由二次函数图象开口向下，得；再由图象与y轴交于负半轴，得；最后根据 “同号相乘得正”，判断出． 【详解】解：∵由图可知开口向下， ∴． ∵二次函数图象与y轴的交点为，由图可知，图象与y轴交于负半轴， ∴． ∵，， ∴， 故答案为>． 【跟踪专练3】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 【模块二 图象与性质类】 【题型3.二次函数的图象性质】 【典例】已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 【跟踪专练1】下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是根据图示列方程求出a的值．先根据魔术盒中的运算法则列方程求出a的值，再将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 整理，得，即， 解得， ， 二次函数的顶点坐标为： 故选：B． 【题型4.二次函数图象与系数关系】 【典例】.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 【跟踪专练1】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象的对称轴在轴左边，且过点．当为整数时，（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系．首先根据题意确定的符号，然后进一步确定，求得，再代入求解即可． 【详解】解：∵图象过点， ∴，即， ∵对称轴直线在y轴左边， ∴， 若，则，即；若，则，即， ∴ a与b同号， 又， ∴且， 设，为整数， 由，得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即，， ∴，又d为整数， ∴，即， ∴，代入，得， ∴， 故选：B． 【题型5.二次函数的对称性】 【典例】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 【跟踪专练1】如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标到对称轴的距离相等、纵坐标相等是解题的关键． 利用抛物线的轴对称性，已知点的坐标和对称轴方程，计算点到对称轴的水平距离，再根据对称关系求出点的横坐标，纵坐标保持不变． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点与点关于该对称轴对称， ∴点到对称轴的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∵对称点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 【跟踪专练3】抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 【模块三 解析求解类】 【题型6.待定系数法求解析式】 【典例】.已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和c的方程组，然后求解方程组即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 【跟踪专练1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式． 如图，过点作轴于点E．根据旋转的性质推知直角中的，，通过解该直角三角形即可求得、的长度，从而求得点的坐标，然后将其代入二次函数解析式，从而求得a的值． 【详解】解：根据题意，可设该二次函数解析式为， 如图，过点作轴于点E． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． 又∵由旋转的性质知，，， ∴在直角中，， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴该二次函数解析式是：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，待定系数法求解析式，求函数值．由题意可得，，点D横坐标为．设落地灯抛物线部分的解析式为，将点代入求出a的值，即可得到抛物线解析式，从而判断嘉嘉的说法．把代入抛物线，得到点D的坐标，从而判断淇淇的说法． 【详解】解：由题意可得，，点D横坐标为， ∵点是抛物线的最高点， ∴设落地灯抛物线部分的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴落地灯抛物线部分的解析式为．故嘉嘉的说法正确． 把代入抛物线，得 ， ∴点D的坐标为， ∴灯罩D距地面的高度为．故淇淇的说法正确． 综上所述，两人都对． 故选：C． 【题型7.二次函数图象的平移】 【典例】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的表达式为____________． 【答案】（或） 【分析】根据二次函数图象与几何变换，结合平移规则“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线表达式为， 将抛物线向右平移2个单位长度，得到：， 再将所得抛物线向上平移3个单位长度，得到：. 整理得，化为一般式可得． 【跟踪专练1】将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的平移，利用初中抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式，结合选项即可得到答案； 【详解】解：∵ 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位， 平移后解析式为：， 故选：A． 【跟踪专练2】若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选：B． 【模块四 函数与方程.不等式】 【题型8.二次函数与一元二次方程】 【典例】二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【跟踪专练1】若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 【跟踪专练2】抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间．给出以下结论： ①；②；③当时，；④对于任意实数m，不等式恒成立；⑤一元二次方程的两根为，，则．则正确的结论是________．（填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴的交点在点和之间， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故②错误； ③当时，，即，又，，所以，即，故③正确； ④∵时，函数有最小值， ∴（任意实数）， ∴，故④正确； ⑤一元二次方程的两根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， ∵直线经过点，， 抛物线与轴的交点为点和之间， ∴，， ∴，故⑤错误． 【跟踪专练3】已知二次函数，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数开口向上及抛物线与x轴交点的位置关系，判断函数值的正负对应自变量的范围． 【详解】解：由题意可得：抛物线开口向上，与x轴交点坐标是和， ∴当或时，， 当时，， ∵点在该二次函数的图象上， ∴若，则 或，故选项A和B不符合题意； 若，，m可能大于0，也可能小于0，故选项C不符合题意； 若，则，故选项D符合题意． 故选：D． 【题型9.二次函数与不等式】 【典例】如图，一次函数的图像与二次函数（）的图像交于点A、B，且点A 在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解本题的关键． 由抛物线与x轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间． 【详解】抛物线与x轴交于，， 方程的根为． 又， 抛物线开口向上． 当时，，即． 故不等式解集为， 故选C． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练3】设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度较大﹒ 根据关于的方程有两个不相等的实数根得到或﹒根据二次函数与方程关系得到关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标，进而得到当时，，当时，﹒当时，根据二次函数开口向上，，得到，求出，不合题意；当时，根据二次函数开口向下，，得到，求出，即可得到﹒ 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 【模块五 最高频应用题(中考必考)】 【题型10.二次函数应用:销售问题】 【典例】某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据利润等于每件利润乘以销量，可得到函数关系式． 【详解】解：根据题意得：． 即y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【跟踪专练2】某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 【答案】月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题．掌握销售利润的公式应用是解题关键．根据总利润=商品单件的利润×销售件数及二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：存在，设每件商品的售价为元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． ∴月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 【跟踪专练3】．某商贸公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天内的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y与t之间的变化符合一次函数关系，直接写出y与t的函数解析式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数t的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 (3)（t为整数） 【分析】（1）设，利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设第t天的销售利润为w元，分别求出两个范围内关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； （3）当时，，令，求出方程的解，再根据二次函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：设，把代入得到： ∴． ∴． ∴． （2）解：设第t天的销售利润为w元． 当时，由题意，， ∴时，w最大值为1250元． 当时， ∵对称轴， ∴在对称轴左侧w随t增大而减小， ∴时，w最大值， ∵， ∴第10天利润最大，最大利润为1250元． （3）解：由题意，当时，， 令， ∴． ∴或． ∵抛物线开口向下， ∴当时，， 又∵，且t为整数， ∴天数t的取值范围是（t为整数）． 【题型11.二次函数应用:图形问题】 【典例】用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______． 【答案】 5 25 【分析】此题考查了二次函数的应用．设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 故答案为：5；25． 【跟踪专练1】如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得到大矩形的另一边长，进而由面积得二次函数，结合函数图象当时函数值为25，即可求得a的值． 【详解】解：由题意得，大矩形的另一边为， 则， 由函数图象知，当时，函数值为25， 即， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】(1) (2)当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； （2）解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【跟踪专练3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； （3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 【模块六 高频应用题】 【题型12.二次函数应用:投球问题】 【典例】运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数表达式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的顶点式是解题关键． 利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标可求得最高点离地面的距离． 【详解】解：已知铅球运行时函数表达式为：， 可得 ， 二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为，铅球运动的函数表达式中，抛物线开口向下， 顶点为最高点， 故铅球运动过程中最高点离地面的距离为． 故选：． 【跟踪专练2】如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点的坐标，再取，，解一元二次方程求得即可得出小球落回地面点的坐标； （2）联立两解析式可得：，求出方程组的解即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，． 故小球到达的最高点的坐标为； 当时，，解得（不合题意，舍去），， 故小球落回地面点的坐标为； （2）解：联立两解析式可得：， 解得：，或， 故可得点的坐标为． 【跟踪专练3】乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】（1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得， 解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 【题型13.二次函数应用:拱桥问题】 【典例】如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 【跟踪专练1】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 【跟踪专练3】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】（1）根据题意可得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为6时x的值，再比较较小的x的值加上4与的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将代入，得，解得 抛物线的表达式为； （2）解：中，当时，， 解得或， ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【题型14.二次函数应用:喷水问题】 【典例】要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 【跟踪专练2】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 【跟踪专练3】消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． . (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据待定系数法求解即可； ②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解； （2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解． 【详解】（1）解：①设， 把代入，得， 解得， ∴； ②当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该喷头覆盖的灭火面积为； （2）解：设向右平移后经过F， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； 设向左平移后经过O， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； ∴． 【模块七 中频应用题】 【题型15.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．设运动时间为，先用含的代数式表示出、，再根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示：___________，___________，___________． (2)写出S关于的函数解析式及的取值范围； (3)当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)，， (2) (3)当时，的面积有最大值，最大值为36 【分析】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，列代数式，正确列出S关于t的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答； （3）将（2）的结果配成顶点式，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴关于的函数解析式为 （3）解：∵，， ∴当时，的面积有最大值36． 【题型16.二次函数应用:增长率问题】 【典例】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 【跟踪专练2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【跟踪专练3】某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元；（3）万元． 【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可. 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解． 【模块八 二次函数综合】 【题型17.二次函数中的线段与周长问题】 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是___________． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）把点代入抛物线，解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为， 把和代入，得： 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的位置是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 【答案】 / 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解． 【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时，的周长为最小， 令，解得或3， 令，则， ∴点A、B、C的坐标分别为、、， ∴， ∴此时的周长， ∴周长的最小值是． 由，得函数的对称轴为直线， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 当时，， 故点M的坐标为． 故答案为：；． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)最大值为 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （）由（）得抛物线的解析式为，所以，然后通过二次函数的平移即可求解； （）作直线轴于点，交抛物线于点，由（）得抛物线的解析式为，令，则，则，求出直线解析式为，设，则，则，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴， ∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的解析式恰好经过点， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：； （3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点， 由（）得抛物线的解析式为， 令，则； ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． 【题型18.二次函数中的面积计算】 【典例】二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________． 【答案】3 【详解】∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3）， ∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3）， ∴该三角形的面积为． 故答案是3. 【跟踪专练1】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 【跟踪专练2】抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 【答案】6 【分析】先代入点的坐标，求出抛物线的解析式，再令，求出抛物线与轴的交点坐标，通过计算得到的长度，结合点的坐标得到边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：把代入，得， 因此抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， 所以，两点间的距离． 又点的坐标为， 边上的高为点到轴的距离，即， ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，． . (1)直接写出抛物线的解析式______； (2)在（1）的条件下，点D是第四象限内抛物线上一点，连接交y轴于点E，过C作轴交抛物线于点F，连接，设四边形的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象与坐标轴的交点，求点E的坐标是关键． （1）设，得抛物线的解析式为，再比较系数求解即可； （2）过点D作轴于点T，先求出直线的解析式，得到，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 抛物线的解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的解析式为． 故答案为：． （2）解：过点D作轴于点T， 由（1）得，，，， 抛物线的对称轴为， ， 点D的横坐标为t， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ． 【题型19 二次函数中的角度问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【题型20 二次函数与特殊三角形的综合】 【典例】如图，二次函数图像的顶点为， 其图像与轴的交点的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，当时，是_______三角形；要使为等腰三角形，则值为______ 【答案】 等腰直角 或 【分析】二次函数图像与轴的交点的横坐标分别为，，根据二次函数的交点式，可求出二次函数的解析式，如图1所示（见详解），作于，可证是等腰直角三角形；要使为等腰三角形，分类讨论，当时，的长即为，；当，；当时，，由此即可求解． 【详解】解：，∵二次函数图像与轴的交点的横坐标分别为，， ∴二次函数为，整理得， ∴， ∴顶点，如图1所示，作于， ∴，垂直平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角 要使为等腰三角形，则必须保证或或， ①当时， ∵，为直角三角形，的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴，与、联立组成解方程组，解得； ②同理当时， ∵，为直角三角形，的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴与、联立组成解方程组，解得； ③同理当时， 在中，，在中， ∵， ∴，此方程无解． 综上，要使为等腰三角形，则值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线和轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， , 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型21.二次函数与特殊四边形综合】 【典例】如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________    【答案】12 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值12． 故答案为：12． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 【答案】或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 【跟踪专练3】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【题型22.二次函数与相似三角形问题】 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可． 【详解】 如图所示：抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可． 【跟踪专练2】如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二次函数及其应用突破讲义 【模块一 基础概念类】.............................................7 【题型01 二次函数的定义辨析】.....................................7 【题型02 二次函数的图象识别】.....................................7 【模块二 图象图性质类】..........................................8 【题型03 二次函数的图象性质】....................................8 【题型04 二次函数图象与系数关系】...............................8 【题型05 二次函数的对称性】......................................9 【模块三 解析求解类】............................................9 【题型06 待定系数法求解析式】....................................10 【题型07 二次函数图象的平移】....................................11 【模块四 函数与方程.不等式】.....................................11 【题型08 二次函数与一元二次方程】................................11 【题型09 二次函数与不等式】......................................12 【模块五 最高频应用题型(中考必考)】...............................13 【题型10 二次函数应用:销售问题】.................................13 【题型11 二次函数应用:图形问题 】.................................14 【模块六 高频应用题型(地区中考常考.出现率高)】....................15 【题型12 二次函数应用:投球问题】..................................15 【题型13 二次函数应用:拱桥问题】..................................16 【题型14 二次函数应用:喷水问题】..................................17 【模块七 中频应用题型(偶尔)】.....................................19 【题型15 二次函数应用:图形运动问题】..............................19 【题型16 二次函数应用:增长率问题】................................20 【模块八 二次函数综合】...........................................21 【题型17 二次函数中的线段与周长问题】.............................21 【题型18 二次函数中的面积计算问题】...............................22 【题型19 二次函数中的角度问题】...................................23 【题型20 二次函数与特殊三角形综合】...............................24 【题型21 二次函数与特殊四边形综合】...............................25 【题型22 二次函数与相似三角形问题】...............................26 · 分值占比：二次函数是中考数学核心必考板块，总分值约 10–18 分，覆盖选择、填空、解答三种题型，常作为压轴题出现，是区分度较高的关键内容。 · 常考考点：聚焦二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、与一元二次方程的综合应用、实际应用问题（利润最大化、几何图形面积最值、运动轨迹等）、与几何图形的综合探究（相似、全等、面积、存在性问题）五大方向。 · 命题趋势：基础题侧重图像性质辨析与解析式求解，中档题侧重函数与方程、不等式的综合运算，难题多以动态几何、存在性探究、实际情境建模为主，且结合坐标系、几何变换、新定义的题型占比逐年提升，对数形结合能力要求较高。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念与表达式 1. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a0，a,b,c 为常数）的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：2 次 关键条件：a0（若 a=0，则退化为一次函数或常数函数） 2. 三种表达式 形式 表达式 适用场景 优点 一般式 y=ax2+bx+c 已知任意三点坐标 直接反映 a,b,c 的几何意义 顶点式 y=a(x−h)2+k 已知顶点 (h,k) 或对称轴 直接看出顶点坐标和对称轴 交点式 y=a(x−x1)(x−x2) 已知与 x 轴两交(x1,0),(x2,0) 直接看出与与 x 轴交点坐标 知识点02:图像与性质 1. 图像形状 二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 2. 开口方向 a>0：开口向上，函数有最小值 a<0：开口向下，函数有最大值 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 3. 对称轴与顶点坐标 对称轴：直线 x=−（由一般式推导） · 顶点是抛物线的最高点（a<0）或最低点（a>0） · 顶点式中：顶点为 (h,k)，对称轴为 x=h 4. 增减性 开口向上（a>0）： 对称轴左侧（x<−）：y 随 x 增大而减小 对称轴右侧（x>−）：y 随 x 增大而增大 开口向下（a<0）： 对称轴左侧（x<−）：y 随 x 增大而增大 对称轴右侧（x>−）：y 随 x 增大而减小 5. 最值 知识点03:a,b,c 的几何意义 系数 几何意义 a 决定开口方向和开口大小 b 与 a 共同决定对称轴位置：x=−（“左同右异”：a,b 同号，对称轴在y 轴左侧；异号则在右侧） c 决定抛物线与 y 轴交点坐标：(0,c) 知识点04:与一元二次方程的关系 1. 交点个数与判别式 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点个数，由方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2−4ac 决定： Δ>0：抛物线与 x 轴有 2 个 不同交点 Δ=0：抛物线与 x 轴有 1 个 交点（顶点在 x 轴上） Δ<0：抛物线与 x 轴 无交点 2. 交点坐标与韦达定理 若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2，则抛物线与 x 轴交点为 (x1,0)、(x2.,0) 知识点05:图像平移规律 1. 平移原则（顶点式） “左加右减，上加下减”（针对 y=a(x−h)2+k）： 向左平移 m 个单位：y=a(x−h+m)2+k 向右平移 m 个单位：y=a(x−h−m)2+k 向上平移 n 个单位：y=a(x−h)2+k+n 向下平移 n 个单位：y=a(x−h)2+k−n 2. 一般式平移步骤 1.将一般式配方为顶点式 2.按平移规律修改顶点坐标 3.展开还原为一般式（若需要） 知识点06:实际应用与综合题型 实际应用 1. 利润问题 核心等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售量 总利润=(售价−成本)×销售量 常见建模：设涨价 / 降价为 x，建立 y=ax2+bx+c 形式，求顶点处的最大利润。 2. 面积问题 核心等量关系： 矩形面积：S=长×宽 三角形面积：S=×底×高 常见建模：用含 x 的式子表示边长，代入面积公式得二次函数，求面积最大值。 3. 运动 / 抛射问题 核心等量关系： 竖直上抛高度：h=−gt2+v0t+h0（g 为重力加速度，v0初速度，h0初始高度） 水平抛射：水平位移 x=vxt，竖直位移 y=−gt2 建模：求最大高度（顶点纵坐标）或落地时间（h=0 时的正根） 综合题型 1. 与一次函数综合 交点坐标：联立方程 2. 与几何图形综合 3. 与一元二次方程 / 不等式综合 4.存在性问题核心等量关系 易错点提醒 1.忽略 a0 的条件，误将一次函数或常数函数判断为二次函数 2.配方时漏乘系数，导致顶点坐标计算错误 3.平移规律混淆 “左右” 与 “上下”，符号出错 4.实际问题中忽略自变量取值范围，导致最值不符合实际意义 5.判别式 Δ 与交点个数的对应关系记忆混淆 【模块一 基础概念类】 【题型1.二次函数的定义辨析】 【典例】若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【跟踪专练1】下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则_______． 【跟踪专练3】若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【题型2.二次函数的图象识别】 【典例】二次函数图象的顶点坐标是___________． 【跟踪专练1】下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”、“”或“”） 【跟踪专练3】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【模块二 图象与性质类】 【题型3.二次函数的图象性质】 【典例】已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【跟踪专练1】下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 【跟踪专练3】如图，在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型4.二次函数图象与系数关系】 【典例】.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【跟踪专练1】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【跟踪专练2】二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象的对称轴在轴左边，且过点．当为整数时，（   ） A．1 B． C． D． 【题型5.二次函数的对称性】 【典例】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【跟踪专练1】如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【跟踪专练3】抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【模块三 解析求解类】 【题型6.待定系数法求解析式】 【典例】.已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【跟踪专练1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 【跟踪专练3】如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【题型7.二次函数图象的平移】 【典例】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的表达式为____________． 【跟踪专练1】将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【跟踪专练3】已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【模块四 函数与方程.不等式】 【题型8.二次函数与一元二次方程】 【典例】二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 【跟踪专练1】若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间．给出以下结论： ①；②；③当时，；④对于任意实数m，不等式恒成立；⑤一元二次方程的两根为，，则．则正确的结论是________．（填序号） 【跟踪专练3】已知二次函数，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型9.二次函数与不等式】 【典例】如图，一次函数的图像与二次函数（）的图像交于点A、B，且点A 在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式的解集为___． 【跟踪专练1】抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【跟踪专练3】设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【模块五 最高频应用题(中考必考)】 【题型10.二次函数应用:销售问题】 【典例】某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【跟踪专练1】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【跟踪专练2】某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 【跟踪专练3】．某商贸公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天内的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y与t之间的变化符合一次函数关系，直接写出y与t的函数解析式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数t的取值范围． 【题型11.二次函数应用:图形问题】 【典例】用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______． 【跟踪专练1】如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 【跟踪专练2】如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【跟踪专练3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【模块六 高频应用题】 【题型12.二次函数应用:投球问题】 【典例】运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 【跟踪专练1】如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数表达式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为（   ）米． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 【跟踪专练3】乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【题型13.二次函数应用:拱桥问题】 【典例】如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【跟踪专练1】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【跟踪专练2】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【跟踪专练3】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【题型14.二次函数应用:喷水问题】 【典例】要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【跟踪专练1】如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【跟踪专练3】消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． . (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 【模块七 中频应用题】 【题型15.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【跟踪专练1】如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示：___________，___________，___________． (2)写出S关于的函数解析式及的取值范围； (3)当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【题型16.二次函数应用:增长率问题】 【典例】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【跟踪专练1】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【跟踪专练3】某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【模块八 二次函数综合】 【题型17.二次函数中的线段与周长问题】 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是___________． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________． 【跟踪专练1】如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【题型18.二次函数中的面积计算】 【典例】二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________． 【跟踪专练1】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【跟踪专练2】抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，． . (1)直接写出抛物线的解析式______； (2)在（1）的条件下，点D是第四象限内抛物线上一点，连接交y轴于点E，过C作轴交抛物线于点F，连接，设四边形的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数解析式； 【题型19 二次函数中的角度问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【题型20 二次函数与特殊三角形的综合】 【典例】如图，二次函数图像的顶点为， 其图像与轴的交点的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，当时，是_______三角形；要使为等腰三角形，则值为______ 【跟踪专练1】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【跟踪专练2】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型21.二次函数与特殊四边形综合】 【典例】如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________    【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 【跟踪专练3】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型22.二次函数与相似三角形问题】 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【跟踪专练1】抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $