专题04 导数与函数的最值（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题04 导数与函数的最值 目录 典例详解 类型一、函数的最值及其求法 类型二、已知函数的最值求参数值或取值范围 类型三、函数最值的应用 类型四、实际问题中的最值问题 压轴专练 类型一、函数的最值及其求法 1.函数最值的再认识 (1)最大值与最大值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最大值，称是最大值点. (2)最小值与最小值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最小值，称是最小值点. (3)函数的最大值与最小值统称为最值． (4)函数的极值与最值的区别与联系： ①函数的极值与最值的区别 Ⅰ.“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性.用表示最大值，用表示最小值；而“极值”是局部概念，是比较极值点附近的函数值得出来的，具有相对性，极值用，表示. Ⅱ.从个数上看，一个函数在其定义域上的最值若有，就一定是唯一的，而极值可能多于一个，也可能没有. Ⅲ.极值只能在区间内取得，最值则可以在导数等于零的点、区间端点处取得；有极值的函数未必有最值，有最值的函数未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值. ②函数的极值与最值的联系 Ⅰ.极值与最值的关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值点和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得.函数在区间上的最大值为极大值和，中最大的一个，最小值为极小值和，中最小的一个. Ⅱ.若函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值，极小值对应最小值）. Ⅲ.极大值不一定比极小值大，如 的极大值为，极小值为2. Ⅳ.函数在区间上连续是函数在区间上有最大值与最小值的充分不必要条件. 2.利用导数求函数在上的最值的步骤 (1)求在内的极值（极大值或极小值）； (2)将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意：由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论. 例1．（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 变式1-1．已知函数，若则的最大值为__________. 变式1-2．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 变式1-3．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 类型二、已知函数的最值求参数值或取值范围 1.由函数的最值求参数值 已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程解决问题.其中注意分类讨论思想的应用. 2.由函数的最值求参数的取值范围 已知函数最值求参数的取值范围，通常是求出函数最值（含参数），然后根据最值列方程或根据最值的情况列关于参数的不等式（组)求解. 例2．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 变式2-1．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 类型三、函数最值的应用 1.利用函数最值解不等式恒成立问题 （1）已知不等式（为实参数）对任意的恒成立，求参数的取值范围，利用导数解决此类问题时可以运用分离参数法，其常见结论如下： ①不等式对任意的恒成立； ②不等式对任意的恒成立； ③不等式，恒成立. （2）如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.如果是一元二次不等式恒成立的问题，可以考虑利用二次项系数与判别式的方法求解. 2.双变量恒成立与能成立问题的四种类型 （1）； （2）； （3）； （4）； 例3．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是________. 变式3-1．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，使得成立，则 C．若有两个零点，则 D．若存在极小值和极大值，则 变式3-3．已知函数，其中， (1)求的最小值； (2)若，求的取值集合； (3)若，其中，求的最大值． 类型四、实际问题中的最值问题 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. (1)解决优化问题需要一定的分析问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型，其中主要的数学模型是函数模型，即将实际问题中要求的未知量列成关于其中一个变量的函数，再根据所列函数的性质求解. (2)解决优化问题的途径之一是通过搜集大量的统计数据，并对数据进行整理和分析，建立与其相应的函数模型；再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有力的工具. 易错警示：解应用题最关键的就是要找出函数关系式，这其中包括函数的定义域，定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义，如线段长大于零，人数必须为整数等. 例4．已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    变式4-2．（多选）已知正方体棱长为1，设，则下列命题为真命题的是（   ） A．存在， B．任意， C．任意，三棱锥的外接球表面积小于3π D．存在，的面积等于的面积 变式4-3．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 一、单选题 1．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 3．已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 三、填空题 9．某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 10．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 四、解答题 11．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 12．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数与函数的最值 目录 典例详解 类型一、函数的最值及其求法 类型二、已知函数的最值求参数值或取值范围 类型三、函数最值的应用 类型四、实际问题中的最值问题 压轴专练 类型一、函数的最值及其求法 1.函数最值的再认识 (1)最大值与最大值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最大值，称是最大值点. (2)最小值与最小值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最小值，称是最小值点. (3)函数的最大值与最小值统称为最值． (4)函数的极值与最值的区别与联系： ①函数的极值与最值的区别 Ⅰ.“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性.用表示最大值，用表示最小值；而“极值”是局部概念，是比较极值点附近的函数值得出来的，具有相对性，极值用，表示. Ⅱ.从个数上看，一个函数在其定义域上的最值若有，就一定是唯一的，而极值可能多于一个，也可能没有. Ⅲ.极值只能在区间内取得，最值则可以在导数等于零的点、区间端点处取得；有极值的函数未必有最值，有最值的函数未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值. ②函数的极值与最值的联系 Ⅰ.极值与最值的关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值点和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得.函数在区间上的最大值为极大值和，中最大的一个，最小值为极小值和，中最小的一个. Ⅱ.若函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值，极小值对应最小值）. Ⅲ.极大值不一定比极小值大，如 的极大值为，极小值为2. Ⅳ.函数在区间上连续是函数在区间上有最大值与最小值的充分不必要条件. 2.利用导数求函数在上的最值的步骤 (1)求在内的极值（极大值或极小值）； (2)将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意：由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论. 例1．（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即，故函数在上单调递增， 当时，，即，故函数在上单调递减， 当时，，即，故函数在上单调递增， 当时，，即，故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 变式1-1．已知函数，若则的最大值为__________. 【答案】2 【分析】根据函数图象，设出，再根据分段函数解析式，用表示出，继而表示出关于的函数，求导后根据单调性求出最大值即可. 【详解】令，由图象知，不妨设， 则，所以. 又因为，所以， 所以. 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故当时，有最大值2，所以的最大值为2. 故答案为：. 变式1-2．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 变式1-3．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求的导数，直接根据的范围，讨论导函数的正负，即可求解函数单调性； （2）讨论的范围，利用函数的单调性进行最大值和最小值的判断，进而求解的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. （2）当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以. 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 类型二、已知函数的最值求参数值或取值范围 1.由函数的最值求参数值 已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程解决问题.其中注意分类讨论思想的应用. 2.由函数的最值求参数的取值范围 已知函数最值求参数的取值范围，通常是求出函数最值（含参数），然后根据最值列方程或根据最值的情况列关于参数的不等式（组)求解. 例2．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 变式2-1．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：，令解得和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 变式2-2．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知， 所以，即有，得到， 所以， 函数定义域为，得到，所以， 故， 此时有， 即，满足题意，所以，定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，，， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：A. 变式2-3．已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或． 【分析】（1）求导后对的取值范围分类讨论即可； （2）法一：，根据（1）中结果可求得的最小值，构造函数，问题可转化为函数的零点个数问题；法二：同法一求出的最小值，转化为存在唯一实数使，再设新函数，求导后对分类讨论即可. 【详解】（1）由得. ①当时，，单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增； ③当时，，所以，单调递减. 综上，当时，单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，单调递减. （2）解法一：由 得，由（1）可知， 即关于的方程只有1个根， 当时，方程（）恒成立，即当且时，方程（）无解 所以， 由，所以，即，即且， 对（）式同时取对数， 即，令，则， 即关于的方程在无解. 又令，则， 令，则， 由，则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 当时，，当时，， 要使式成立，只需或，即或 综述，实数的取值范围或． 解法二：令， 由（1）可知，时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 依题，存在唯一实数使函数的最小值为0， 所以存在唯一实数使，即存在唯一实数使， 令，则， （i）当时，恒成立，故函数在单调递增， 又因为，所以存在唯一实数使得，符合题意； （ii）当时，令，得，令，得， 故函数在单调递增，在单调递减，所以，解得， 综上，实数的取值范围是或． 类型三、函数最值的应用 1.利用函数最值解不等式恒成立问题 （1）已知不等式（为实参数）对任意的恒成立，求参数的取值范围，利用导数解决此类问题时可以运用分离参数法，其常见结论如下： ①不等式对任意的恒成立； ②不等式对任意的恒成立； ③不等式，恒成立. （2）如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.如果是一元二次不等式恒成立的问题，可以考虑利用二次项系数与判别式的方法求解. 2.双变量恒成立与能成立问题的四种类型 （1）； （2）； （3）； （4）； 例3．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由题意知利用导数分别求的最大值即可得解. 【详解】由题可知，，， 令，则，，则， 则在上单调递增，. ，则， 因为，所以在上恒成立， 则在上单调递减，. 由题意对任意的，总存在，使得， 则，则. 故答案为：. 变式3-1．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果. 【详解】令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足）， 从而在上单调递增， 所以当时，， 从而当时，； 当时，（当时取等号）， 又当时，，即， 所以在上单调递增， 由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增； 不等式. 令，则原问题等价于有解，从而， ∵， ∴在上单减，在上单增， ∴， 所以的最小值为， 故选A. 变式3-2．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，使得成立，则 C．若有两个零点，则 D．若存在极小值和极大值，则 【答案】ACD 【分析】理解函数的定义域与值域特点，利用对数的基本运算规则计算，判断选项A；先分析命题含义，再求导，判断函数单调性求函数最大值，进而得出答案判断选项B；把函数有零点转化为方程有解，利用导数进行单调性和极值分析，进而判断选项C；先通过对数运算化简函数，求导并分析函数单调性和极值，进而判断选项D． 【详解】选项A：，，故A正确； 选项B：，要使“，使得成立”，即有解， 令，求导得，令，解得， 当时，函数单调递增；当时，则，函数单调递减， 在处取得极大值（即最大值），， 当时，有解，此时，故B错误； 选项C：有两个零点，方程有两个根， ，，对方程两边取对数可得， 令，对求导得， 令，即，解得； 令，即，解得． 在单调递减，在单调递增， 的最小值为． 当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 要使有两根，只需，解得，故C正确； 选项D：， 求导得， 令，则有两个变号零点，即有两个根， 对求导得， 令，即，解得； 令，即，解得． 在单调递减，在单调递增，的最小值为， 当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 要使有两个根，只需，解得， 若存在极大值和极小值，则有两个变号零点，，故D正确． 故选：ACD． 变式3-3．已知函数，其中， (1)求的最小值； (2)若，求的取值集合； (3)若，其中，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】(1)求导，判断单调性，求得最小值. (2) 恒成立，即令的最小值即可，再进行求解的最小值即可. (3)根据题意分离参数，求解最小值，通过换元，求导，求单调性来求解函数的最小值. 【详解】（1）， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， （2）恒成立，则恒成立即可 设 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，要使恒成立，即，则， 综上所述：的取值范围是． （3）已知， 则恒成立， 即恒成立，等价于恒成立，也就是恒成立． 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 在上单调递减，所以 即，所以，所以， 又因为，所以的最大值为2． 类型四、实际问题中的最值问题 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. (1)解决优化问题需要一定的分析问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型，其中主要的数学模型是函数模型，即将实际问题中要求的未知量列成关于其中一个变量的函数，再根据所列函数的性质求解. (2)解决优化问题的途径之一是通过搜集大量的统计数据，并对数据进行整理和分析，建立与其相应的函数模型；再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有力的工具. 易错警示：解应用题最关键的就是要找出函数关系式，这其中包括函数的定义域，定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义，如线段长大于零，人数必须为整数等. 例4．已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球，再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得. 【详解】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球， 再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得， 设该圆锥的内切球半径为， 如图，设圆锥轴截面为，则，，则， 则有，解得， 设该内切球中内接长方体的底边为，高为， 则，即有， ，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 即该长方体体积最大值为. 故选：C. 变式4-1．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为，当时，， 当，设，则， 所以，则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大. 故答案为：. 变式4-2．（多选）已知正方体棱长为1，设，则下列命题为真命题的是（   ） A．存在， B．任意， C．任意，三棱锥的外接球表面积小于3π D．存在，的面积等于的面积 【答案】ABC 【分析】由题设得到为矩形，取，利用三角形相似得到，即可判断A；利用对称性得，根据线面垂直的性质有，再由直角三角形斜边大于直角边，即可判断B；构建空间直角坐标系，若的外接球的球心，半径为，应用空间两点距离公式列方程得到，应用导数求其范围，即可判断C；根据已知得，，即可判断D. 【详解】如图1，且，即是平行四边形， 由平面，平面，则，同理有， 所以为矩形，若时，，又， 所以，易得，此时，有，A对； 如图2，在平面内，关于对称，又在（不含端点）上运动， 所以，又平面，平面，则， 所以，即，B对； 构建如图3示的空间直角坐标系，则，，，，， 若的外接球的球心，半径为，则， 由，则，则， 所以，则， 令，且，则， 令，则， 所以或时，即在，上单调递增， 时，即在上单调递减， 又，，， 所以，，使， 所以或时，即在、上单调递减， 或时，即在、上单调递增， 由，，故恒成立， 故，外接球的表面积，C对； 由平面，平面，则， 所以，由B分析知， 在中上的高， 则， 由，故，则， 所以，D错. 图1 图2 图3 图4 故选：ABC. 变式4-3．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【答案】（1）， ； （2）． 【分析】（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法. 【详解】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）． 当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以sinθ的取值范围是[，1）． 综上，矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）． 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，）， 则． 令，得θ=， 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数； 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数， 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值． 综上，当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 一、单选题 1．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）． 【详解】，令，得， 时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得，所以. 故选：D. 2．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】C 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 3．已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增和上的最大值，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】当时，， ， 由得（舍）或，此时为增函数， 由得，此时为减函数， 则当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵在上的最大值为3， ∴当时，函数的最大值不能超过3即可， 当时，为增函数，则当时，函数的最大值为，即，得， 当时，为减函数，则，此时满足条件． 综上实数的取值范围是或， 故选A． 4．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，， 所以函数的值域为， 又，且，在上单调递减， 要使方程有唯一解，则的取值集合为， 所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 5．已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最值的步骤，但要注意对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得， 所以函数在上没有最小值， ， 当时，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为， 值域为，在内无最小值，因此. 当时，令，， ，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，显然， 即， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示 当时，有两个根，不妨设， 当或时，； 当或时，； 所以在和上单调递减，在和上单调递增. 所以在与处都取得极小值， 所以，不符合题意， 当时，，当且仅当，时取到等号， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得最小值为，不符合题意， 综上所述，实数a的取值范围为 故选：D. 6．定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，根据对称中心在函数的图象上，可得出的值，利用导数可求出函数在上的最大值和最小值，再结合函数的对称性和周期性可求得函数的最小值和最大值，即可得解. 【详解】对任意的，，， 所以的图象关于直线对称，又关于点对称， 所以，， 所以，所以，即， 所以，故是周期为的周期函数． 因为的定义域为，所以对称中心在的图象上，可得，则． 当时，，有， 当或时，；当时，. 可知在上递增，在区间上递减，在上递增． 当时，，， 又因为，，所以，， 由于的图象关于点对称，故当时，，． 故当时，，． 由于的图象关于直线对称，故当时，，． 因为是周期为的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为. 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，借助导数，求出的最小值为，即可判断；对于B，借助导数，求出的最小值为，再分和两种情况比较和的大小关系，即可判断；对于C， 构造函数，借助导数，求出最小值为，即可判断；对于D，构造函数，借助导数，求出最小值为即可判断. 【详解】函数的定义域为. 对于A，当时，，，令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，取到最小值，即，故A正确； 对于B，当时，，令，解得, 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，取到最小值， 所以当，；当时，，即不一定成立，故B错误； 对于C，当时，，设，则，令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即，故C正确； 对于D，当时，设，则，令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即，即，故D正确. 故选：ACD 8．已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 【答案】ACD 【分析】分别求导后由函数的单调性得到最值相等，可得A正确；结合A由最小值不能同时取得可得B错误；求导后分和讨论导数值可得C正确；当直线与和交点的上方时，不妨设，数形结合由指数函数对数函数的运算性质可得，同理在下方也可得，进而得到D正确. 【详解】对于A，，所以易得在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ，当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即，解得，故A正确； 对于B，因为当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，所以，故B错误； 对于C，， 当时，，； 当时，，， 总之，当时，， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，如图所示，当直线与和交点的上方时，不妨设， 则， ，， ，即，， 同理，，， 所以，即. 同理，当直线与和交点的下方时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 【答案】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据抛物线过点可得抛物线的方程，根据导数的几何意义可得，，故，利用导数求最大值即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为，由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 10．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用参数来表示，从而把构造成一个关于的函数，再利用导数来研究单调性求最值即可. 【详解】设斜率为的直线方程为，与交于， 则有，化简得，即 因为，所以，又与交于， ，化简得，即. 则， 构造函数，求导得： ，可知， 又由， 构造函数，求导得， 由， 在上单调递增， 由，可得在上单调递减， 又因为，， 所以结合单调性可知： 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取最小值，即 ， 所以的最小值为. 四、解答题 11．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 【答案】(1) (2) (3)； . 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求出直线斜率，即可求出切线方程； （2）分三种情况研究函数的单调性即可； （3）结合（2）的单调性，分类求出，再根据的单调性求值域. 【详解】（1）， 当时，，， 则， 则曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）知，， 令得或， ①若，则， 当时，；当时，；， 则在上恒成立，故在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； ②若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极小值点，不符合题意； ③若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在，上单调递减，则是的极大值点，符合题意； 综上，的取值范围为； （3）在上存在最大值， 由（2）知，若，则在上单调递减，不存在最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 若，即，则在上单调递增，则最大值为， 因为在上单调递减，， 所以； 若，即，则在上单调递增，在上单调递减，则最大值为， 因为在上单调递减， 当时，；当时，， 所以； 综上，的取值范围为，的值域为. 12．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【详解】（1）函数的定义域为，又， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可得，当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减. （2）因为有极值，由（1）知，，且在处取得极大值，即最大值， 故，即为， 令，则，所以在上单调递增， 且，所以当时，即，故的取值范围为； （3）由恒成立，，得恒成立， 令，，所以， 令，，则，所以在上单调递增， 又在上单调递增，所以函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在上单调递增，，即，所以，， 故， 所以，即，所以的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $