数列的通项公式专项训练-2026届高三数学二轮复习

数列专题3 数列通项公式 题型一 累加法 形如型的递推数列（其中是可求和的函数(如多项式、指数函数、分式等) 可构造： 将上述n-1个式子两边分别相加(消去中间项)，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 4．在数列中，，，求数列的通项公式. 5．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 6．已知，，则通项公式 . 7．已知数列满足，且对任意，有，则 . 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型二 累乘法 形如型的递推数列，其中 是关于可求积的函数(如分式、阶乘相关式等)可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 9．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 11．数列中，若,，则 . 12．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 13．已知，，求数列的通项． 构造法求通项公式 （1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列． （4）取倒数法 题型三 加减常数构造 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式；第四步：写出数列{an}的通项公式． 14．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 15．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 16．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 题型四 加减构造 形如型的递推式： 注意：形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列求解． 17．已知在数列中，，，则通项 ． 18．已知数列满足，则其前项和 ． 19．在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 20．已知数列满足，则 ． 题型五 倒数构造 适用题型：递推式为 ( , ),分母含的一次式. 关键步骤： 1、两边取倒数: 2、令 ,转化为一阶线性递推: 用待定系数法求后,回代得 特殊情况：若 ,则,直接为等比数列,无需取倒数 21．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 24．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 25．已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 26．已知数列满足，若，则数列的通项 ． 题型六：同除法构造 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或qn＋1，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式． 注意：形如an＋1＝pan＋qan＋1an的模型，可以利用同除法构造等比数列求解． 27.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为________． 28. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为________． 题型七 递推法Ⅰ：an与Sn的关系 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 29．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 30．已知数列的前n项和，则通项公式= ． 31．已知数列的前n项和，则 . 32．设为数列的前项和，若，则 33．已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 34．已知数列的前项和为，且满足，则 35．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ． 题型八 递推法Ⅱ：其他形式 36．已知数列满足，则 ． 37．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 38．已知数列满足，．若，则 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $数列专题3数列通项公式 ◆题型一累加法◆ 形如a1=a:+f()型的递推数列（其中f)是可求和的函数（如多项式、指数函数、分式等） a-4-1=f0n-1) 可构造： 0-1-4-2=f(0n-2) 4-4=f0) 将上述n-1个式子两边分别相加（消去中间项），可得：a.=f(n-1)+f(n-2)+…f(2)+f1)+a1,(n≥2) 大题注意检验n=1时满足条件」 1.已知数列{a}满足a=1,a1=a.+2”(n∈N),则4。=() A.220-1 B.2u+1 C.20+1 D.21-1 2.己知数列{a}满足a=1，a1=a,+n+2(neN),则an等于() A.n0-山+2-1 B.m-+2-1 2 2 c.nn+l+21-1 D.nn-1+2x1-1 2 2 3.数列a,}满是：4=l,a=a+1og,+ ,则a=() n A.2W2 B.3 C.4 D.42 1 4.在数列{an}中，4=2，a=an+ nm+)’求数列{a}的通项公式 5.设数列{an}满足a=1,且a+1-a。=n+1,则数列 的前10项和为 a. 6.己知a=0,a1=a,+21-1(neN),则通项公式a.=一 7.已知数列{a,}满足a=1,且对任意neN,有a1=a.+(1)°·n,则4.=一 116 8.已知数列{a}满足3-3.=2”，且4=1，则数列{a}的通项公式为(） A.a=2-1 B.d =l0g,2"-1+1 C.a =log;(2"+1) D.a,=log3(（2m1-1 ◆题型二累乘法◆ 形如an1=af(n) a1=f() 型的递推数列，其中)是关于n可求积的函数（如分式、阶乘相关式等） a a.=fn-1) an 可构造： 2二=fa-2)将上述m,个式子两边分别相乘，可得：a=f0-)f0-2小…f2/0四4.a之2） an-2 … ュ=f0) a 9.已知数列a,}的项满足an+24,，而4=l,则a,=（） 2 2 B.(n+) C. D. 1 A.0+1 2m-1 10.已知数列红}的前心项和为8,4=2且满足5=”专2。，则数列a}的遥项公式为 1数列a}中，若4=2,0a=本70，则2021a侧- 2已知首项为1的数到a}满足会42则4=《】 B. D. 13.日知a1,a,=n+2)0m≥列，求数列{a}的通项. 216 构造法求通项公式 「(1)形如a4=pa+q,引入参数c,构造新的等比数列{a.-c: I(2)形如an+1=pa。+qn+c,引入参数x,y,构造新的等比数列{a.+n+y}: |(3)形如an+1=pa,+q，两边同除以q1，构造新的数列 (4)取倒数法 题型三 加减常数构造 第一步：假设递推公式可改写为41十1=pa十：第二步：由待定系数法，解得t仁9 p-1 第三步：写出数列p一l的通项公式：第四步：写出数列{a}的通项公式 14.己知数列{a}满足a=4,且a+1=2a。-3,则a21=（) A.2210-3 B.2211+3 C.2210+3 D.2211+1 15.若数列{a}的首项4=1，且满足a1=2an+1,则数列{a}的通项公式为() A.4=2"-1 B.a=2-1-1 C.an=21-1 D.an=2-2 16.设Sn为数列{a}的前n项和，若Sn+3=2a.+n,则S。=() A.520 B.521 C.1033 D.1034 题型四 加减f)构造◆ 形如a1=pa,+f0m)(D≠1)型的递雅式： 注意：形如a+1=pa,十q1十r(p≠1)的模型，可以利用待定系数法构造等比数列{a,十a1十b}求解. 17.已知在数列{a}中，4=1,4n=2a-1+n-2(n之2)，则通项a.= 316 18.已知数列{a}满足4=3，am1=2a+n-3,则其前n项和S= 19.在数列{a}中，已知a=2,且a1=4-3+1(∈N),则该数列的通项公式为 20.己知数列{a}满足4=3,4+1=3a.-4n,则4.= ◆ 题型五 倒数构造◆ 适用题型：避雅武为a(g,0,分母含a的次式关健步： 1、两边取倒数：1=tr=2+2.1 antl pan pp an 2、令b,=之，转化为一阶线性递推：b+1=bn+ an D 用待定系数法求b,后，回代得a 特殊情况：若0，则a+14,直接为等比数列，无需取倒数 21. 已知数列{a}满足a=1,a=4a+,(neN),则a.=() A.a=1 B.d= 1 2n-1 1 n 2n-1 C.a.= 4n-3 D.a.=4n-3 2a. 2.己知数列a}满足a2,且4=2，则a=() A 512 13 C. 256 511 B.1 D. 255 12 257 256 3已知数列a的首项a三1，且各项满足公式4H一。十2”GN小，则数列a的通项公式为 1 A.a=n B.d= n+1 C.d=n2 D.4= 24.己知数列{a}满足4=1，a-a1=a,a+1(neT)则a24=() 1 1 A.2024 B.2025 C.2024 D. 2025 416 25.已知数列{a}满足a=1,an-1-an=2an-a.(n≥2)，则数列{a}的通项公式an= 26、已知数列a}满足4-=l4=3若aa1+2aa=3aa0m≥2，neV),则数列a的通项 d,= ◆ 题型六：同除法构造 4 第一步：等式两边同除以，不管这一项是1或41，都同除以”，为的是数列的下标和q的指数对应 起来； 第二步：写出数列4与构造的式子： 第三步：写出数列{an}的通项公式 注意：形如an+1=pa,十qa+14的模型，可以利用同除法构造等比数列求解. 27.己知数列{a}满足a=1,a+1=3a.十4.则数列{a,}的通项公式为 28.已知数列{a}满足a=1,4+1=34,十4.则数列{an}的通项公式为 ◆ 题型七递推法I:m与Sm的关系 S1,n=1 1、关系：4n= Sn-Sn-1,n≥2' 要注意验证n=1与n≥2两种情况能否统一. 12、 己知Sn与an的关系式，记为f(Sm,an)=0,求它的通项公式an,一般有两种思路： (1)消Sn：容易直接求an的情况，可利用阶差公式：Sn-Sm-1=an(n≥2)，消去Sn,转化等差或等 比数列直接求出an; (2)消4n:难以直接求4n的情况，可利用阶差公式：an=Sn-Sn-1(n≥2)，消去an,得出Sn与Sn-1的1 递推关系式，先求出Sn,后，即可转化为“第1种情形，从而间接求出4· !在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向通常情况下，先求S。,要比！ 直接求a麻烦；但也有时先直接求口，会比先求Sn麻烦得多， 516 29.设数列{a}的前n项和为S.若a=1,a+1=2Sn+1,则S%=（) A.61 B.121 C.125 D.364 30.已知数列{a,}的前n项和Sn=-n2+21+3,则通项公式an= 31.已知数列{a}的前n项和n=3n2-2n+1,则a.= 32.设S为数列{a,}的前n项和，若S。+3=2a.+n,则4。= 33.己知数列{a}的前n项和为S,a1=Sn+21,4=2,则Sn=() A.(n+1)2”B.(n+1)21 C.n.2- D.n.29 34.已知数列{a,}的前n项和为S，且满足a=1,√S1-√S,=1(neN),则a,=」 35.已知正项数列{a,}中，a=4且VS,+√S,1=号0m≥2)，其中S,为数列{a,}的前n项和，则数列{a,}的 2 通项公式为 ◆题型八 递推法Ⅱ：其他形式◆ 36.己知数列{a}满足4+3%+.+3an=13”，则425= 37.己知数列{a,}满足a+2a2+…+2-an=n.2”,且数列 1 的前n项和为S4,则S2o= aa+1 3强已如数列a满是4=l,a=a+写+ 11 +n4(≥2neN).若a,=1005,则n= 676数列专题3数列通项公式解析版 ◆题型一累加法◆ 形如a1=a:+f()型的递推数列（其中f)是可求和的函数（如多项式、指数函数、分式等） a-4-1=f0n-1) 可构造： 0-1-4-2=f(0n-2) 4-4=f0) 将上述n-1个式子两边分别相加（消去中间项），可得：a.=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f仙)+a,(n≥2) 大题注意检验n=1时满足条件 1.已知数列{a}满足a=1,a1=a.+2”(n∈N),则4。=() A.210-1 B.2u+1 C.210+1 D.2-1 【详解】数列满足4=1，a+1=a.+2”,则a+1-4.=2, .a2-4+0-4+…+an-an1=0n-4=2+22+23++21, 则a=1+2+2++2=1-22-14。=20-1,故选：A 1-2 2.己知数列{a}满足4=1，a=a.+n+2(n∈N),则an等于() A.0m-1+21-1 B.n0m-1+2-1 c.nn++2-1 D.n0-+21-1 2 2 【详解】由题设a1-an=n+2，即a,=a,-a-++a-a2+a-4+马 =(0n-1)+2-+…+2+22+1+2+1,且n≥2， 所以a=0m-1++2+）+(2++2+2+=00--1+D+12=-D+2-1, 2 1-22 由a=1满足上式，故a,=心0，》+2-1.故选：B 2 3.数列{a}满足：4=1，aH=4+log2 n+1) 则a=() n A.2W2 B.3 C.4 D.4W2 n+1 【详解】由a+1=a.+log2 n+1 可得4+1-4.=l0g2 =log2(n+1)-log2n,利用累加法可得 n 、n a。-a-+a-1-a-2+…+a2-a=log2n-log2(n-1)+log2(n-1)-log2(n-2)+…+log22-log21,n≥2， 1/12 化简得a=4+log2n,则a4=1+log28=4.故选：C 1 4.在数列{an}中，a=2,a1=an+ ++)求数列{a,}的通项公式 1 【详解】a+1=an+- 111 720tDa=a.三n0n+D,, .当n≥2时， a=(a,-a-)+(a1-a-)++(a-4)+a= g--s 当m=1时，4=3-2，与4=2相符，数列a,}的通项公式为a,=3- 1 n 1 5.设数列{an}满足4=1，且at1-a,=n+1,则数列 的前10项和为 【详解】因为数列{a}满足4=1，且a1-a.=n+1(n∈N), 所以当1≥2时，a=(a-a)+…+(a-4)+4=1++2+1-心，当-1时，上式也成立 所uaa".所日 1 则 a 的前项和82〔及)…日》平)知 所以数列 1 的前10项和为碧 故答案为： 6.己知a=0,a1=a,+2-1(neN),则通项公式a.= 【详解】因为a+1=a,+2n-1,即a+1-an=21-1, 故4-4=1,43-42=3，a4-4=5,,an-a-1=2n-3(n≥2)， 以上各式相加得a-4=1+3+5+7+-+2m-3+2m-30-少-1≥2) 2 又a=0,所以a.=(n-1),(n≥2)，而4=0也适合上式，故a.=(n-1)故答案为：（n-1)2 7.己知数列an}满足a=1,且对任意neN,有a1=a+(-1)·n,则4.= 【详解】依题意， 42=4-1, a3=42+2, 44=4-3, a=44+4, … 2/12 a21=a20+20, a22=41-21, 上述21个式子相加得a422=a+10×1-21=1-11=-10.故答案为：-10 8.已知数列{a}满足3H-3.=2”,且4=1，则数列{a}的通项公式为() A.4=2-1 B.a=log:2"1+1 C.a.=log3(2”+) D.a =l0g3 (2-1) 【详解】由3n-34=2”,知(3-3)+(39-3）++-342+224+21， 所以3-320-2），即3=x+1, 1-2 故a=l0g(2+1),又a4=1适合上式，故a=log(2+.故选：C ◆题型二 累乘法 形如a1=a'f(n) ai=f(n) 型的递推数列，其中f)是关于n可求积的函数（如分式、阶乘相关式等） a. a.=f0n-10 an 可构造： =fa-2》将上述m,个式子两边分别相乘，可得：，=a-)-2小010a≥2) an-2 ,=f0) a 9. 己知数列{a}的项满足a1= n+22,而4=-l,则a,=() 2 A. (（m+12 B. n(n+1) c是 D. 2n-1 【详解】由己知a1=” +2,即1=n a n+2 则n≥2时， a=n-L,4=1-242=n-3 an+1”a,n,a-1,A,5=.-1 a4’a3 等式左右分别相乘可得及-”1-23212 fan+1nn-143n2+1)' 义凸1，适合上式，所以4，三m十0故选：B 3/12 10已知数列a}的前”项和为S.a=2且满足S-”牛a,则数列a}的通项公式为 n+2,n-1+2 【详解】当≥2时，a-3-8-”兮2a”号2a,化简得u-a=0+a1, a=n+1 a-1n-1 利用累乘法得a,=8×8山x2xx马xx×a,=+1××-xx2×4x3× -X- X- x.-x二×4×2×2=(n+1)n, 4-10-24-3 444 n-1n-2n-3321 2,n=1, 显然a=2满足上式，所以a.=(n+1) ,n≥2.故答案为：a,=0+1n 2 11.数列a,}中，若a=2,a1= 4,则2024a25= n+1 【详解1若a2,84&则Q≠0月红” a.n+1' 所以a=ag1a上4=”-l×-2×3x2=2 4-14-24-34 nn-1n-22 n 所以20240,2=2024×，2=4048 20252025 故答案为： 4048 2025 12已知首项为1份数列a}满足2-m本2则a=() B. c. 1 D. 4 【解1统超意，4是子4=为 a24 6故选：A 13.已知4分4aa≥，求致列a}的随项 1 nn+1) 【详解】已知a.= n-100+2)0,10n≥2)，则a=,nn+1) a.101-00+2)0m≥2)， a=2x33x4 n0m+1)3 X-.-X a1×42x5 (-1)(n+2)n+2' 1 =3→a=4× 3n 3n 3n 已知a-2,由。 a n+2 +22+2),故数列a,}的通项为：a20n+2 构造法求通项公式 厂D形ap+4,入参数c,构适新的等比数列ac i（2)形如an+1=pan+qn+c,引入参数x,y,构造新的等比数列{an+xn+y: (3)形如an+1=pan+q,两边同除以q”，构造新的数列 q 4/12 厂(4)取倒数法 题型三 加减常数构造 ◆ 第一步：假设递推公式可改写为a41十it=pa十0：第二步：由待定系数法，解得t=9 D-1 第三步：写出数列十p1的通项公式：第四步：写出数列a}的通项公式 14.己知数列{a}满足a4,=4,且a+1=2an-3,则421=（) A.2210-3 B.2211+3 C.2210+3 D.2211+1 【详解】因为a1=2a,-3,所以a1-3=2(a-3). 因为4-3=1，所以数列{a,-3}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a-3=21,所以a=21+3,故a1=20+3.故选：C 15.若数列{a}的首项4=1，且满足a1=2a+1,则数列{a}的通项公式为（) A.4=2”-1 B.an=2-1-1 C.a=2"+1-1 D.an=2”-2 【详解】：a1=2a,+1,÷a1+1=2(a,+),即t1-2, a+1 ∴.数列{a+1}是以4+1=2为首项，以2为公比的等比数列，.a+1=2×2-1=2,.4=2”-1.故选：A 16.设Sn为数列{a}的前n项和，若Sn+3=2an+n,则So=() A.520 B.521 C.1033 D.1034 【详解】数列{a}中，Sn+3=2an+n,当n≥2时，Sn-1+3=2a-1+n-1, 两式相减得a,=2a-2a1+1,即a=2a-1-1，则a.-1=2(a-1-1), 而S+3=2a+1,解得4=2，因此数列4，-1}是以4-1=1为首项，2为公比的等比数列， 则a-1=1×2-1=2”-1,即a=2-1+1,于是Sn=2”+n-1,所以S。=2°+10-1=1033.故选：C ◆ 题型四 加减f)构造◆ 形如a1=pa.+f)心≠型的递雅式： 注意：形如ar+1=pa,十1十r(p≠1)的模型，可以利用待定系数法构造等比数列{a十1十b}求解. 17.己知在数列{a}中，4=1，a.=2a-1+n-2(n≥2)，则通项an= 5/12 【详解】利用待定系数法构造新数列， a.+k+b=2an1+k(n-1)+b→a.=2a1+a-2k+b, k=1[k=1 又a=2a1+n-2≥2)，则-2k+b=-2→{b=0 所以a.+n=2[an-1+(-1)]. 令b.=a.+n,b是以a+1=2为首项，公比q=2的等比数列. b.=b,g-1=2”.即a+n=2",a=2”-n(n≥2)」 当n=1时成立，所以a.=2-n(neN).故答案为：2”-n 18.己知数列{a}满足4=3，an1=2an+n-3,则其前n项和S。= 【详解】因为aa1=2a.+n-3, 假设存在实数p,9,使得am+p(n+1)+q=2(a.+pn+q), (9-p=-3'解得p=1 即a1=2a,+pm+g-p,则P=1, 9=-21 即a1+(n+1)-2=2(a.+n-2),且4+1-2=2， 可知数列{a+n-2}是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得a+n-2=2×2-1=2”，即a=2”-n+2, 所以g=22》n0+山+20=2m+-2放答案为：2…-r+-2 2-12 2 2 2 19.在数列{a}中，已知4=2，且a4+1=4,-3+1(n∈N),则该数列的通项公式为」 【详解】令41-A0+1)-B=4a。-An-B), 则4+1=4a,-3A1+A-3B, 「-3A=-3 「A=1 由条件得4-3B=1解得8=0 即a-(n+1)=4(a-n), 故数列{a-心是首项为a-1=1,公比为4的等比数列，从而a-n=4-1,故a,=4+n 故答案为：a=4-1+n 20.己知数列{a}满足4=3,4+1=3a.-4n,，则a.=_ 【详解】解法一由a1=3a.-4n,可设a1+x(n+1)+y=3(an+xn+y), 其中x,y为常数，整理得a1=30.+2.xn+2y-x,故2x=-4,2y-x=0,得x=-2,y=-1, 所以a1-2(n+1)-1=3(an-21-1)=…=3"6-2×1-13”6-3). 6/12 又a-3=0,所以{a.-2n-1}是各项均为0的常数列，故a.-2n-1=0,即an=2n+1: 解法二由a1=3a,-4n,得a.=3a-1-4(-1)≥2)，两式相减得a+1-a.=3(a.-a-14≥2). 令b=41-a，则b=42-4=3a-4-4=2,b.=3b-1-4(n≥2)， 则b-2=3(bn-1-2)1≥2)，又b-2=0,所以b-2=0,即a1-an=2,又42-4=2,4=3， 所以{a}是首项为3，公差为2的等差数列，所以4，=2n+1; 解法三由au=3a,-4n得出-0=-4 313=3’ 即导骨4分·导导=8 33. 学=-4u-0×加≥2)， 所以号号+3+2g+*a-号m2习。 1 所以g=(2n+1(n≥2，所以a=2n+1(n≥2). 当n=1时也符合上式.综上所述，an=2n+1.故答案为：2n+1。 ◆ 题型五 倒数构造◆ 适用厦型：速雅式为a(0,0,分每含a的一次式关罐步滨 1、两边取倒数：1=+=9+：.1 antl pan pp an 2、令b,=转化为一阶线性递推：b1b,+号 an 用待定系数法求b,后，回代得a去 特殊情况：若0，则4，+1一a,直接为等比数列，无需取倒数 21. 已知数列满足&=1，aH三4a+neN),则a=（)》 A.a= B.a,=2n-1 1 C.q-=2-1 1 n 4n-3 D.a.=4n-3 【详解】aH= 4,+1,即 1=40,+1=4+1 ，可得 a 1-1=4,又a=1, 4+1 an 即有数列{ 1 是首项为1，公差为4的等差数列， a 可约后1)n3.印a3 1 故选：D 7/12 24 2.已知数列a}满足a3双，且a=2,则a=（） 512 513 C. 256 255 A. B. 511 512 257 D. 256 【详解】易知a,≠0，从而由题意 1-311 a+ 也就是数列 皮-小是以1=一为。号为公比的等比数到列， 从1（所以1（解a 51故选：A 512 23.已知数列a}的首项4=l,且各项满足公式41=。 。,neN),则数列a}的通项公式为() 1 A.a,=n B.d= 2 C.a=n2 D.4= n+1 n 详解)因为数列@的首项a-L,且各项满足公式aH=a子) 2a（neN),则4≠0,4≠0，^， 以此类推，对任意的neN，a.≠0， 由a1= 2,可得1-2=+ a,+2 an2a,a+2,所以， 111 do d 2 所以，数列 a 是等差数列，且首项为1，公范为；， a =1+n-ln+1 1 2 ”2,因此，an+ 故选：B 2 24.已知数列{a,}满足a4=1,a,-a1=a,a(neN)则a4=（) 1 1 A.2024 B.2025 C.2024 D.2025 【详解】因为a=1,a。-a1=a,a1,则有 11=1, dn d 1 故数列 是以1为首项，公差d=1的等差数列，故=1+0m-1Dd=n, a 1 所以a-元，则aa42024故选：C 25.己知数列{a}满足4=1，an-1-a.=2a-4n(n≥2)，则数列{a}的通项公式an= 【详解】因为a-1-a.=2an-14.(n≥2)， 所以a22习，可得日-2+2m》.从商 1-1=2n22), dn an-1 d1 d a 8/12 所以 an】 是首项为。=山，公差为2的等差数列 所以名+20-)-21-山，即a=23n故答案为：2n 1 1 aa 26、己知数列a}满足a=14-背若aa+2aa=3aa-0m≥2.eW).则数列a}的通项 a= 【详解】a,a1+2a.a1=3a1n(n≥2，n∈N) 1+23 11=22-1) ，即 dna1 an a+1a`aaa-11 2数列11 是以2为首项，公比为2的等比数列 a24 +1 11=21=2-1)+61-1)++马）+1=24+2-++2+1=21-2-1 an+Ha。 aan an an1 an-2 `4244 2-1 1 a.=2-1 故答案为2一了 ◆ 题型六：同除法构造◆ 第一步：等式两边同除以，不管这一项是q1或1，都同除以，为的是数列的下标和q的指数对应 起来； 第二步：写出数列与构造的式子； 第三步：写出数列{a}的通项公式. 注意：形如a+1=pa十q+1的模型，可以利用同除法构造等比数列求解. 27.已知数列{a}满足a=1,a+1=3a.+4.则数列{a}的通项公式为 假新：因为3除以，得A,即色一》，所以数列国 4+14 40+1 44 首项为是公比为的等比数列，即经1=(-2·爱=一度，所以=一 4 4 44 4 28.已知数列{an}满足a4=1,a+1=3a,十4.则数列{a}的通项公式为 一1 解析：国为a=3a十，多式两边同时除以4，得=3+，即1)，所以数列4 4+1 48 4+1 是首项为一子公此为的等比数列，即-1=（一子个=一拿，所以a=华-3 9/12 ◆ 题型七递推法：与Sm的关系◆ S1,n=1 1、关系：4n= S。-S,n≥2'要注意验证n=1与1≥2两种情况能否统一. 2、已知Sn与an的关系式，记为f(Sn,an)=0,求它的通项公式an,一般有两种思路： (1)消Sn：容易直接求an的情况，可利用阶差公式：Sn一Sm-1=a(n≥2)，消去Sn,转化等差或等 比数列直接求出an; (2)消an:难以直接求an的情况，可利用阶差公式：an=Sm-Sm-1(n≥2)，消去an,得出Sn与Sn-1的1 ·递推关系式，先求出Sn,后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出4· !在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向通常情况下，先求S,要比！ 直接求n麻烦：但也有时先直接求a。,会比先求S,麻烦得多。 29.设数列{a}的前n项和为S.若a=1,a1=2S,+1,则S。=（) A.61 B.121 C.125 D.364 【详解】因为a=1,a1=2Sn+1①， 所以当n=1时，42=2S+1=2a+1=3, 当n≥2时，a,=2Sn-1+1(n≥2)②， ①-②得，ah-a=2(Sn-Sn-)=2a,所以a+1=3a(n≥2)， 又4=3，所以数列{a}是以4=1为首项，3为公比的等比数列， 所以3-1-3.子1728-364，故选：D 1-3 22 30.已知数列{a}的前n项和Sn=-n2+2n+3,则通项公式a.= 【详解】因为数列{a}的前n项和Sn=-n2+21+3, 故当n=1时，4=S=-12+2×1+3=4, 当n≥2时，4=S。-Sn-1=-n2+21+3+-1)-22-13=-2n+3, [4,n=1 4,1=1 由于a,=4不适合该式，故4= -2+3,n≥2，放答案为 -21+3,n≥2 31.己知数列{a}的前n项和Sn=3m2-2n+1,则a,= 【详解】Sn=3n2-2n+1, .当n=1时，4=S1=2: 10/12 数列专题3 数列通项公式解析版 题型一 累加法 形如型的递推数列（其中是可求和的函数(如多项式、指数函数、分式等) 可构造： 将上述n-1个式子两边分别相加(消去中间项)，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】数列满足，则， ， 则，故选：A. 2．已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故.故选：B 3．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，利用累加法可得, 化简得，则.故选：C. 4．在数列中，，，求数列的通项公式. 【详解】，， 当时，， 当时，，与相符，数列的通项公式为. 5．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 【详解】因为数列满足，且， 所以当时，，当时，上式也成立， 所以，所以， 则的前项和， 所以数列的前10项和为．故答案为：. 6．已知，，则通项公式 . 【详解】因为，即， 故，，，，， 以上各式相加得. 又，所以，而也适合上式，故.故答案为：. 7．已知数列满足，且对任意，有，则 . 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得.故答案为： 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故．故选：C. 题型二 累乘法 形如型的递推数列，其中 是关于可求积的函数(如分式、阶乘相关式等)可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 9．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式，所以，故选：B. 10．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【详解】当时，，化简得，， 利用累乘法得， 显然满足上式，所以故答案为： 11．数列中，若,，则 . 【详解】若，，则且， 所以， 所以.故答案为：. 12．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，.故选：A. 13．已知，，求数列的通项． 【详解】已知，则， ， 已知，由，故数列的通项为：. 构造法求通项公式 （1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列． （4）取倒数法 题型三 加减常数构造 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式；第四步：写出数列{an}的通项公式． 14．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以，故．故选：C 15．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵，∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴.故选：A. 16．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以．故选：C 题型四 加减构造 形如型的递推式： 注意：形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列求解． 17．已知在数列中，，，则通项 ． 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以．故答案为： 18．已知数列满足，则其前项和 ． 【详解】因为， 假设存在实数，使得， 即，则，解得， 即，且， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得，即， 所以．故答案为：. 19．在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列，从而，故. 故答案为：. 20．已知数列满足，则 ． 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得，故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列，故，即； 解法二  由，得，两式相减得． 令，则， 则，又，所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式．综上所述，．故答案为：. 题型五 倒数构造 适用题型：递推式为 ( , ),分母含的一次式. 关键步骤： 1、两边取倒数: 2、令 ,转化为一阶线性递推: 用待定系数法求后,回代得 特殊情况：若 ,则,直接为等比数列,无需取倒数 21．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，即，可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得，即.故选：D. 22．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得.故选：A. 23．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，， 以此类推，对任意的，， 由可得，所以，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为， ，因此，.故选：B. 24．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则.故选：C. 25．已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 【详解】因为， 所以，可得，从而， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 所以，即．故答案为： 26．已知数列满足，若，则数列的通项 ． 【详解】∵ ∴，即 ∵∴数列是以为首项，公比为的等比数列 ∴∴ ∴故答案为. 题型六：同除法构造 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或qn＋1，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式． 注意：形如an＋1＝pan＋qan＋1an的模型，可以利用同除法构造等比数列求解． 27.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为an＋1＝3an＋4n，等式两边同时除以4n，得＝3＋1，即－1＝(－1)，所以数列是首项为－，公比为的等比数列，即－1＝(－)·()n－1＝－()n，所以an＝4n－3n. 28. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为an＋1＝3an＋4n，等式两边同时除以4n，得＝3＋1，即－1＝(－1)，所以数列是首项为－，公比为的等比数列，即－1＝(－)·()n－1＝－()n，所以an＝4n－3n. 题型七 递推法Ⅰ：an与Sn的关系 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 29．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，，所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以.故选：D. 30．已知数列的前n项和，则通项公式= ． 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时，， 由于不适合该式，故，故答案为： 31．已知数列的前n项和，则 . 【详解】， ∴当时，； 当时，， 由时，，∴.故答案为：. 32．设为数列的前项和，若，则 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以.故答案为：513 33．已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则，于是得， 因此数列是首项，公差为1的等差数列，则，所以.故选：D 34．已知数列的前项和为，且满足，则 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式，所以.故答案为： 35．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ． 【详解】在数列中，①，又②，， 所以①除以②得． 又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 则，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为．故答案为：． 题型八 递推法Ⅱ：其他形式 36．已知数列满足，则 ． 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即．故答案为：. 37．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以.故答案为：. 38．已知数列满足，．若，则 ． 【详解】由已知得，，所以有， 因为①， 所以②， 用②-①可得：，移项得到：， 于是有：， 上述个式子相乘得到，，所以， 由，可得. 故答案为：2010. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $