精品解析：江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试数学试题

赣州市2026年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年3月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若过点的直线与圆相切于点与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 圆上的点到直线的最大距离为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 的最小值为8 D. 当点坐标为时，直线的方程为 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上. 12. 若，则__________. 13. 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 14. 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）若，求的值. （2）若的内切圆的面积为，求的面积. 16. 已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. （1）证明：； （2）若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 19. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2026年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年3月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，，再根据集合的交集运算可得解. 【详解】由，可得，， 又，可得，， 所以. 故选：C. 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 3. 若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 4. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得.  ，， 则 . 5. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象得出的值，分析可知，由、结合正弦型函数的周期公式可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】由图可得，， 所以，故①， 又因为，可得， 又因为函数在附近单调递增，所以②， ①②得， 令，则，则，可得， 由图可知，函数的最小正周期满足，可得， 即，所以，即， 又因为，则，所以，则， 所以，可得， 因为，所以，则，故， 故. 6. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系得到另一个式子，作差可求出，根据可推出，累乘法可求出数列的通项公式，再通过数列的递推关系得到另一个式子，作商可得到的通项公式，进而求解，要注意所求式子对的限制. 【详解】因为，① 所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，② ①②得，移项得，所以. 由得，解得，所以， 所以， 而也满足上式，所以数列的通项公式为. 因为，③ 所以当时，，④ 由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数， 所以③④得，即. 当时，由得，又所以， 所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若过点的直线与圆相切于点与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件先求得，根据双曲线的定义求得，分别在与，利用三角函数定义和余弦定理列式推得，即可求得其离心率. 【详解】如图，因过点的直线与圆相切于点，则， 又，则，因，则， 点是双曲线的右支上的一点，则， 在中，， 在中，由余弦定理，， 则有，化简得，即， 故双曲线的离心率为. 8. 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由得到，设，利用数量积得到，通过整理得到点的轨迹方程，求出直线的方程，利用点到直线的距离求出到直线的距离，利用二次函数的图像和性质得到的最小值，即为点到直线距离的最小值. 【详解】长方体中，， 四边形是正方形， ， 平面，平面，， ，平面， 以为原点，为轴，过作的平行线作为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ，， 在四边形内（含边界）移动，设， ， ，，， ， ，， ，， ，， ，为点的轨迹方程， ， 在平面内直线的方程为，即， 到直线的距离为 ， 当时，取最小值为， 则点到直线距离的最小值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 圆上的点到直线的最大距离为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 的最小值为8 D. 当点坐标为时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A计算圆心到直线的距离即可判断；B根据计算面积即可；C利用数量积的定义以及对勾函数的单调性判断；D求出以为直径的圆的方程，再求两圆的交线即可. 【详解】由题意得，，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确； 因为， 所以四边形面积为， 当时，四边形面积的最小值，故B正确； 因为， 所以 因为在上单调递增，且， 所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误； 因为，所以以为直径的圆的方程为， 即， 则直线的方程为，故D正确. 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B：对，取对数整理即可；对于C：假设成立，再两边取对数，结合选项B分析判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立，结合的零点分析判断. 【详解】对于选项A：构建，则为的零点， 因为， 若，则，可知在内单调递减，且， 所以在内无零点； 若，则，可知在内单调递增， 且， 所以在内存在唯一零点，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 两边取对数可得：， 得, 则，故B正确； 对于选项C：假设成立，则， 得，得，得， 则， 得，得， 则，得，得，故假设成立，故C正确； 对于选项D：构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 可知在内存在唯一零点，即， 所以的最小值为，不为，故D错误； 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由， 因此等于中的系数与中的系数和. 根据二项式定理，的通项公式为：  令，得，则的系数为； 令，得，则的系数为， 所以. 13. 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意方程有三个根，即方程有三个根，转化为与函数有三个交点，利用导数研究的单调性，画出示意图，数形结合可得或，解对数不等式即可得解. 【详解】函数且有三个零点，则方程有三个根， 即方程有三个根，即方程有三个根，易知， 所以方程有三个根，所以与函数有三个交点， 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为， 令得， 又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大， 无限趋向于正无穷大时，趋向于0； 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，令得， 又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大， 无限趋向于负无穷大时，趋向于0； 作出与函数的示意图： 由图可知，或，所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，再推导出为定值即可求解． 【详解】根据题意，小车向前或向后运动的概率为， 未连续出现2次向后运动的概率为， 则第次可能向前或向后运动， 当第次是向前运动时，只要前次未连续出现2次向后运动，其概率为； 当第次是向后运动时，则第次只能向前运动，且前次未连续出现2次向后运动，其概率为； ，，， 即， 由②得代入①， ，即， ． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）若，求的值. （2）若的内切圆的面积为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得，求得，再根据两角和的正切公式进行求解； （2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得，进而求得的值，从而求出的面积. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以 在中，因为，所以有，即得，即， 因为，所以，即得，， 所以. 【小问2详解】 内切圆的面积为，所以内切圆半径， 又，则有， 由余弦定理得 ， 所以，解得或（舍）， 所以， 则. 16. 已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. （1）证明：； （2）若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 【答案】（1） 设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. （2） 8 【解析】 【分析】（1）设出直线方程与抛物线联立，结合向量运算可证结论； （2）根据条件得出为的角平分线，结合斜率和为0，可求，求出弦长和高，利用三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 17. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （2）根据求出的长，求解两个平面的法向量，利用法向量垂直可求答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以，所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，因为为的中点，所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易知平面的一个法向量为， 二面角的大小为，易知为锐角， ，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 由，则， ，解得，即. 因为，所以,且， , , 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，即. , 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，即， 因为平面平面，所以，解得 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由得. ①当时，，单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增； ③当时，，所以，单调递减. 综上，当时，单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，单调递减. （2）或． 【解析】 【分析】（1）求导后对的取值范围分类讨论即可； （2）法一：，根据（1）中结果可求得的最小值，构造函数，问题可转化为函数的零点个数问题；法二：同法一求出的最小值，转化为存在唯一实数使，再设新函数，求导后对分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由 得，由（1）可知 ， 即关于的方程只有1个根， 当时，方程（）恒成立，即当且时，方程（）无解 所以， 由，所以，即，即且， 对（）式同时取对数， 即，令，则， 即关于的方程在无解. 又令，则， 令，则， 由，则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 当时，，当时，， 要使式成立，只需或，即或 综述，实数的取值范围或． 解法二：令， 由（1）可知，时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 依题，存在唯一实数使函数的最小值为0， 所以存在唯一实数使，即存在唯一实数使， 令，则， （i）当时，恒成立，故函数在单调递增， 又因为，所以存在唯一实数使得，符合题意； （ii）当时，令，得， 令，得， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是或． 19. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 【答案】（1）分布列为 ； （2） （3） 由全概率公式知， 化简得 代入 即 即 即 由，所以 所以，即证． 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）根据全概率公式和等比数列求和公式即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可知，的可能取值为， 其中，， ，， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $