精品解析：天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

滨海经开一中26春初三开学考试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 计算的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 8. 如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 60° 9. 某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 11. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得，点C的对应点E恰好落在BA延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：___________． 14. 计算的结果为____________． 15. 在一个不透明的盒子中有两个白球、两个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是________． 16. 已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 17. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 20. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： （1）___________， ___________（用含的式子表示）； （2）___________（用含的式子表示），的最大值是___________； （3）当的面积是9时，的值是___________． 21. 已知内接于，直线与相切于点D，且，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，的直径为4，若，求和的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 23. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 25. 已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． （1）求a，c的值及抛物线顶点坐标； （2）点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海经开一中26春初三开学考试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数． 【详解】解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（的n次幂的形式），其中，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 【详解】 故选D． 【点睛】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解：A、选项“量”字，沿中间竖直方向的直线对折，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形． B、选项“子”字，无论沿水平、竖直还是其他方向的直线对折，左右或上下部分都无法完全重合，不是轴对称图形． C、选项“计”字，左边的“讠”和右边的“十”形状不同，对折后不能重合，不是轴对称图形． D、选项“术”字，中间的竖钩和右边的点不对称，对折后无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：A 5. 估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算判断即可； 【详解】解：∵，，， ∴， 故选： D． 【点睛】本题考查了无理数的估算： 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间． 6. 计算的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接进行同分母的加减运算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了同分母的分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 7. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断． 【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴， ∵-2<3<6， ∴y3< y2< y1． 故选D． 8. 如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∵BE⊥AC， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE=∠ABE=45°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-45°）=67.5°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF， ∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴BF=EF=CF， ∴∠BEF=∠CBE=22.5°， ∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°． 故选C． 【点睛】此题考查等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键． 9. 某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案． 【详解】解：设买了x张甲种票，y张乙种票， 根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据全等证明出BC=BH,设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线， 过D点作DH⊥AB于H点， ∵∠C=∠DHB=90°， ∴DC=DH， ， ∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD ∴△BHD≌△BCD（AAS） ∴ BC=BH 设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 在Rt△ADH中，由勾股定理：， 代入数据：，解得，故， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得，点C的对应点E恰好落在BA延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，判断即可； 【详解】解：由旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°=∠EAC， ∵E、A、B共线，∴AC∥BD， A．无法确定，不一定正确，不符合题意； B．无法确定，不一定正确，不符合题意； C．一定正确，符合题意； D．无法确定，不一定正确，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等；等边三角形的判定和性质；平行线的判定；掌握相关性质是解题关键． 12. 如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 计算的结果为____________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 15. 在一个不透明的盒子中有两个白球、两个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3＝12（种），且两次都摸到红球的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3＝12（种），且两次都摸到红球的有2种情况， ∴两次都摸到红球的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 16. 已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数的一般式，利用二次函数对称轴公式得到，结合已知两点的坐标列方程组，求解方程组得到各项系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， 由二次函数对称轴公式，得对称轴， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 17. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 如图：点即为所作： 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据不等式在数轴上的表示方法即可求解； （4）根据数轴上的公共解集即可求解． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 故答案为： 【小问2详解】 解：解不等式②，得； 故答案为： 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 故答案为： 20. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： （1）___________， ___________（用含的式子表示）； （2）___________（用含的式子表示），的最大值是___________； （3）当的面积是9时，的值是___________． 【答案】（1）， （2），25． （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意得， ，； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． （3）根据的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ，． 【小问2详解】 解： ， ∴， 当时． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， 由题意知P点从A点运动到B点需秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴. 21. 已知内接于，直线与相切于点D，且，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，的直径为4，若，求和的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点H．根据圆内接四边形对角互补可得，再根据切线的性质和可得，，即可求解； （2）过点B作，根据圆周角定理可得，，从而根据三角函数和勾股定理可求得，，即可求解 【小问1详解】 解：连接与相交于点H． ∵四边形是圆内接四边形，． ∴． ∵为的切线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：过点B作． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， 在中，， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】（1）两座山之间水平距离约为 （2）这座山的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 23. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①，，；②120；③；④当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、矩形的性质，结合平移的性质即可求解； （2）分时，当时，当时，当时，当时，五种情况分类讨论求解得与的关系式． ①根据分类讨论即可求解； ②根据，代入与的关系式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， 矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，，即：， ∵将沿轴向右平移，得到，当经过点时， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴沿轴向右平移了1个单位， ∴； 【小问2详解】 当时，此时重叠部分为为矩形， 此时； 当时，此时重叠部分为为五边形， ∵将沿轴向右平移，得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， 同理为等腰直角三角形，， ，则， 此时； 当时，此时重叠部分为， 同理为等腰直角三角形，， 此时； 综上：； ①由上可知，当与矩形重叠部分为五边形时， ； ②当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：或，不符合题意； 综上：时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与平移，一元二次方程与二次函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． （1）求a，c的值及抛物线顶点坐标； （2）点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得a、c的值，再将解析式化成顶点式，即可求解； （2）①由垂线段最短得，当时，最短，连接，过点P作于E，先根据，求得，再证明，得，即，代入即可求解； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G，则点P在移动，点Q在上移，根据，所以作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值，连接，可求得，再证明，得，即可求出的长． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵当最短时，∴，连接，过点P作于E，如图， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得， ∴； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点P在移动， ∴点Q在上移， ∵ ∴作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值， 连接， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点A关于的对称点， ∴，， ∴ ∴ ∵点C关于x轴对称点为D， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当的值最小时， 的长为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，利用轴对称求最短距离问题．本题属二次函数综合题目，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $