精品解析：河南信阳市浉河中学2025-2026学年下学期3月学情自测八年级数学

八年级数学 一、选择题． 1. 第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左向右的变形正确的是　　 A. B. C. D. 5. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题． 11. 把多项式分解因式结果是__________． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 13. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 14. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 15. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 三、解答题． 16. 计算及解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，平分，于，于，且． （1）证明：； （2）若，，，求的面积． 19. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 20. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22. 如图1是长为m,宽为n长方形,将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形. 【观察发现】 （1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积： 方法1：； 方法2： ； ②根据①中的结论,直接写出,,之间的等量关系式为： ； 【结论应用】 （2）已知,,求的值； 【变式拓展】 （3）将正方形,正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合,点T在上）,若两个正方形的面积之和为850,边长之差为10,求图中阴影部分的面积. 23. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题． 1. 第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是． 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 4. 下列等式中，从左向右的变形正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质和分式变号法则，依次分析各个选项，即可选出正确选项． 【详解】解：A，，选项不正确，不符合题意； B，，，选项不正确，不符合题意； C，，选项正确，符合题意； D，，选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 5. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据勾股定理计算得花圃内一条“路”的长度，从而完成求解． 【详解】根据题意，得：长方形花圃的四个角为 ∴花圃内的一条“路”长 ∴仅仅少走了 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 6. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 7. 春游有着悠久历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 9. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元，根据“用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题． 11. 把多项式分解因式的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因数4，然后再运用平方差公式即可． 【详解】解： = = =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，正确应用公式是解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ，， ． 13. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 14. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：△ABC的面积=×BC×AE=2， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 15. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】设，根据折叠性质得到角之间的关系，分情况讨论是等腰三角形的条件，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将向下折叠，使与重合， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：； 综上所述，的度数为或或． 三、解答题． 16. 计算及解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法，绝对值，零次幂，再计算加减即可； （2）方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值、二次根式的混合运算，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中求值． 【详解】解： ， 当时， 原式 18. 如图，平分，于，于，且． （1）证明：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据角平分线的性质得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义推出，根据等角对等边可得，进而勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：平分，于，于， ，， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 平分， ， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ． 19. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 20. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化． （1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值； （2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为； ②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：①解： ； ②解：． . 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 22. 如图1是长为m,宽为n的长方形,将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形. 【观察发现】 （1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积： 方法1：； 方法2： ； ②根据①中的结论,直接写出,,之间的等量关系式为： ； 【结论应用】 （2）已知,,求的值； 【变式拓展】 （3）将正方形,正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合,点T在上）,若两个正方形的面积之和为850,边长之差为10,求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题考查图形面积表示及代数式关系，完全平方公式； （1）①正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，据此即可表示出正方形的面积； ②通过用不同方法表示的正方形的面积是相等，即可得出,,之间的等量关系式； （2）由（1）可得，代入,,即可求出的值； （3）设正方形边长为a，正方形边长为b，由题意得：，，进而求出，再利用（1）的结论得可求出 可得，最后由即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）由（1）可得：，即， ∵,, ∴， ∴， ∴或． （3）设正方形边长为a，正方形边长为b， 由题意得：，， ∴ ∴ 由（1）得 ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 【答案】（1）， （2）成立，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出； （2）方法同（1）； （3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定理可得结论． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为； 【小问2详解】 解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下： ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在上时，如图， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴， ∵在中，， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $