精品解析：河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷

河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘除法和积的乘方和幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项结果后再判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； D、，原选项计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 【答案】B 【解析】 分析】先对分式进行化简，然后问题可求解． 【详解】解： = = = =1； 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键． 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：， ， 过点作于点，如图所示： 在中，的平分线交于点， 由角平分线的性质可知， 则点到的距离为， 故选：A． 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 7. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 故选：B． 8. 若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ） A. 6.5 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 9. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 根据因式分解的方法，进行因式分解，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、无法分解因式，选项错误，不符合题意； 故选C． 10. 如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及对称性、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题-两点之间线段最短的解法是解决问题的关键． 作点关于的对称点，连接，如图所示，由对称性得到，，再由等边三角形性质求出，然后连接，如图所示，由等边三角形的判定得到是等边三角形，进而由等边三角形性质得到，再由，利用两点之间线段最短求解即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，， 在等边中，是边上的中线，则， ， ， ， ， 在等边中，，则，， ，， 即， 连接，如图所示： 是等边三角形， 则， ， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长， 则的最小值为, 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和等于度，那么它的边数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形内角和公式建立方程求解即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数为， 则由题意可得， 解得， 故答案为：． 12. 若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 13. 若为实数，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 14. 如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为______ 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，解分式方程；关键在于首先推出，的横坐标，然后总结出的横坐标为，然后求出a的值代入分式方程即可． 【详解】作于D，如图所示：    ∵点A的坐标为， ∴是边长为1的正三角形， ∴， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴方程为， 解方程的， 经检验是方程的解， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，根据已知求得，截取，证明，有和，过点A作于点K，作交的延长线于点H，即可证明，有，在的延长线上截取，连接，则，有和，进一步证明，则，那么即可． 【详解】解：∵， ∴， 截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点K，作交延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：10． 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘法，算术平方根，化简绝对值进行化简，然后合并即可； （）先通过完全平方公式，平方差公式进行化简，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在长方形中，是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为点，在垂线上截取即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，由对称性得到，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而得到，设，则，在中，列方程求解得到，则，再由三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 由（1）中的作图过程可知，， ， 在长方形中，，则， ， 在和中， ， ， ， 长方形中，，则， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及基本尺规作图-作中垂线、作相等线段、对称性、等腰三角形的性质、长方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程及三角形面积公式等知识，熟记相关几何性质，掌握基本尺规作图是解决问题的关键． 19. 阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出__________； （2）观察上面的解答过程，请写出__________； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，正确根据规律化简各式是解题关键． （1）直接根据题意将式子分母有理化，即可解题； （2）直接根据题意将式子分母有理化，即可解题； （3）先根据题意将式子分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算，即可解题； 【小问1详解】 解：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：； 故答案：． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 20. 如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，． （1）请在坐标系中作出关于轴对称的，并写出点的坐标为 ； （2）若点P是图中所在区域轴上一动点，当是等腰三角形时．则点P的坐标为 ； （3）直线是平行于轴的一条直线，若点C关于直线的对称点为点，当点落在的内部时，则m的取值范围是 ． 【答案】（1）见详解， （2）点P为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查网格的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据轴对称作图即可，结合对称的性质即可求得对应点的坐标； （2）分为腰和为腰，结合等腰三角形的性质、勾股定理和坐标点即可求得答案； （3）根据题意得轴，即可知点C到线段的距离为3，进一步得到点C到线段的中点距离为1.5，再结合直线过点C时和直线时，满足题意即可求得． 【小问1详解】 解：如图， 则点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 当为腰时，点； 当为腰时， 由网格知， 则， ∵点， ∴点； 则点P为或； 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴轴， ∴点C到线段的距离为3， ∴点C到线段垂直距离的中点距离为1.5， 当直线过点C时，点C和点重合， 当直线时，点位于线段上， 则． 21. 2025年春晚吉祥物“巳升升”一亮相就收获许多观众的喜爱，他憨态可掬的外表既蕴含满满的中式美好寓意，又暗藏很多创新巧思．蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，巳字又有子嗣绵延，接续继承之意．网友们太喜欢了！某网店用1000元购进吉祥物“巳升升”销售，过了一周时间，又用2400元购进吉祥物“巳升升”，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个的价格比第一次购进的价格贵了2元． （1）该网店第一次购进吉祥物“巳升升”多少个？ （2）若该网店两次购进的吉祥物“巳升升”按相同的标价进行销售，最后剩下的20个按标价的五折优惠销售．若两次购进的吉祥物“巳升升”全部售完，利润不低于950元，则每个吉祥物“巳升升”的标价至少是多少元？ 【答案】（1）个 （2）元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题、一元一次不等式解应用题，读懂题意，由题中等量关系列方程、不等关系列不等式求解是解决问题的关键． （1）设第一次购进的价格为元，则第二次购进的价格为元，由第二次所购数量是第一次购进数量的2倍，列分式方程求解即可得到答案； （2）设每个吉祥物“巳升升”的标价是元，由（1）知第一次进价为元、第二次进价为元，进而得到两次购进吉祥物数量、总成本及总销售额，计算销售利润，从而得到不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设第一次购进的价格为元，则第二次购进的价格为元， ， 解得， 经检验，是原分式方程解，且符合题意， 该网店第一次购进吉祥物“巳升升”个数为（个）； 【小问2详解】 解：设每个吉祥物“巳升升”的标价是元， 第一次购买吉祥物“巳升升”个，第二次购买吉祥物“巳升升”（个），则购进吉祥物总量为（个）， 第一次购买吉祥物花费元，第二次购买吉祥物花费元，则购进吉祥物总成本为（元）， 总销售额为元, 则， 解得， 答：每个吉祥物“巳升升”的标价至少是元． 22. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立，例如，我们运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到等式． 理解： （1）如图，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为和，运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到的等式是______．（用、表示） 应用： （2）利用（1）中的结论解决问题：若，，则______； 拓展： （3）如图，已知中，，，，，点是上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中的等式可得，进一步计算即可； （3）根据垂线段最短可知时，取得最小值，根据等积法求解的最小值即可． 【小问1详解】 解：图2中正方形的面积， 图2中正方形的面积， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ， 故答案为：48； 【小问3详解】 当时，取得最小值， 设的最小值为， ，，，， 的面积， 的面积， ， 解得， 的最小值为． 【点睛】本题考查了完全平方式，数学常识，垂线段最短，熟练掌握这些知识是解题的关键． 23. 如图，在中，．点D是边上一点，点E是直线上一动点（不与重合）连接，以为一边在的左侧作，，连接． 观察猜想：（1）如图1，当点D与点C重合，则与之间的位置关系是 ； 类比探究：（2）如图2，当点D不与点C重合，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 拓展迁移：（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）垂直；（2）成立，理由见详解；（3）30或6 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可证明，有，则有，那么，； （2）过点D作交于点N，则和，同理可证明，有，则有即可； （3）由（1）知，，，则，得到，由面积公式得到的面积为，分情况：当点E在延长线上，则；当点E在延长线上，则，分别计算即可； 【详解】证明：（1）垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故与之间的位置关系是垂直； （2）成立，理由如下： 如图，过点D作交于点N， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，，则， ∴， 则的面积为， 当点E在延长线上，如图， 则， ∵， ∴， 则的面积为； 当点E在延长线上，如图， 则， ∵， ∴， 则的面积为； 综上，的面积为30或6． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定等知识点，解题的关键是熟悉全等三角形的性质和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A ① B. ② C. ③ D. ①或② 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ） A. 6.5 B. 3 C. 2 D. 4 9. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和等于度，那么它的边数是________． 12. 若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 13. 若为实数，且，则的值为________． 14. 如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为______ 15. 如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则_______． 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值： ，其中． 18. 如图，在长方形中，对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 19. 阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出__________； （2）观察上面的解答过程，请写出__________； （3）利用上面的解法，请化简： 20. 如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，． （1）请在坐标系中作出关于轴对称的，并写出点的坐标为 ； （2）若点P是图中所在区域轴上一动点，当是等腰三角形时．则点P的坐标为 ； （3）直线是平行于轴的一条直线，若点C关于直线的对称点为点，当点落在的内部时，则m的取值范围是 ． 21. 2025年春晚吉祥物“巳升升”一亮相就收获许多观众的喜爱，他憨态可掬的外表既蕴含满满的中式美好寓意，又暗藏很多创新巧思．蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，巳字又有子嗣绵延，接续继承之意．网友们太喜欢了！某网店用1000元购进吉祥物“巳升升”销售，过了一周时间，又用2400元购进吉祥物“巳升升”，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个的价格比第一次购进的价格贵了2元． （1）该网店第一次购进吉祥物“巳升升”多少个？ （2）若该网店两次购进的吉祥物“巳升升”按相同的标价进行销售，最后剩下的20个按标价的五折优惠销售．若两次购进的吉祥物“巳升升”全部售完，利润不低于950元，则每个吉祥物“巳升升”的标价至少是多少元？ 22. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立，例如，我们运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到等式． 理解： （1）如图，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为和，运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到的等式是______．（用、表示） 应用： （2）利用（1）中的结论解决问题：若，，则______； 拓展： （3）如图，已知中，，，，，点是上一动点，求的最小值． 23. 如图，在中，．点D是边上一点，点E是直线上一动点（不与重合）连接，以为一边在的左侧作，，连接． 观察猜想：（1）如图1，当点D与点C重合，则与之间的位置关系是 ； 类比探究：（2）如图2，当点D不与点C重合，（1）中结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 拓展迁移：（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $