2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习——4：《数的开方与二次根式》

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 4. 数的开方及二次根式 本课题聚焦中考数的开方与二次根式板块填空题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “精准破题、规避易错” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块填空题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点聚焦，基础为主：核心覆盖数的开方（平方根、算术平方根、立方根）、二次根式的概念（有意义条件、最简二次根式）、性质（非负性、化简）及运算（加减乘除、混合运算），基础题占比超 70%，是必拿分题型； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念填空、数值计算、性质应用、规律探索、几何背景题，部分题目结合非负数和为 0、无理数估算、代数式求值，跨知识点综合但难度适中，侧重考查知识迁移能力； 3. 细节关键，答案规范：无选项提示，需精准运算或推理，答案多为具体数值、最简二次根式、取值范围，对运算准确性、根式化简规范性要求极高，易因概念混淆、符号失误丢分。 二、答题要点 1. 吃透概念，精准判定：牢记平方根（±，a≥0）、算术平方根（，a≥0 且结果非负）、立方根（，a 为任意实数）的定义与区别；二次根式有意义的条件为被开方数非负，分式与根式结合时需兼顾分母不为 0。 2. 规范化简，熟练运算：二次根式运算先化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式），再合并同类二次根式；乘除运算遵循 “被开方数相乘除，根指数不变”，巧用平方差、完全平方公式简化计算。 3. 巧用性质，快速破题：利用 “非负数（平方、绝对值、二次根式）的和为 0，则各部分均为 0” 求解参数；无理数估算采用 “夹逼法” 确定取值范围；规律探索题先分析前几项特征，归纳通用公式再验证。 4. 数形结合，转化求解：几何背景题（如正方形面积、三角形边长）先通过勾股定理、面积公式列出根式表达式，再化简计算，将几何问题转化为代数运算。 三、避坑指南 1. 规避概念混淆：勿将算术平方根等同于平方根（如=4，而非 ±4）；注意立方根的符号与被开方数一致，平方根仅非负数有且互为相反数；最简二次根式判定需先化简，勿直接看表面被开方数。 2. 警惕条件漏判：判断二次根式取值范围时，切勿忽略被开方数非负；分式与根式结合时，需同时满足 “被开方数≥0 + 分母≠0”；涉及立方根的运算，勿误将负数的立方根判定为无意义。 3. 防止化简与运算错误：化简时避免 “被开方数含分母”“含能开尽方的因数”（如 需化为 2）；同类二次根式合并仅能合并系数，根指数与被开方数不变；运算中注意符号传递，避免乘除运算符号出错。 4. 注意答案规范：结果需为最简形式，无理数保留最简根式，不随意近似；取值范围用准确的数学表达式（如 x>−3 且 x≠−2）；规律探索题答案需代入验证，确保符合所有已知项特征。 本课时填空题核心是 “抓概念、重化简、细运算”，复习中需强化概念辨析与基础运算，通过针对性练习规避易错点，熟练掌握解题技巧，确保基础题型不失分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·河北模拟）的平方根是  ． 2.（24-25·广西模拟）若，则_____________． 3.（22-23·青海中考）写出一个比大且比小的整数_________． 4.（23-24·四川中考）若，为实数，且，则的值为____________． 5.（22-23·湖南中考）的立方根是  ． 6.（24-25·江苏模拟）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，则的值为___________． 7.（24-25·浙江中考）____________． 8.（24-25·黑龙江模拟）已知，则_______． 9.（22-23·内蒙古模拟）代数式有意义的条件是_______． 10.（24-25·甘肃模拟）若有意义，则能取的最小整数值是____________． 11.（24-25·河南模拟）二次根式，给赋予一个实际意义为___________． 12.（24-25·吉林中考）计算：_______． 13.（24-25·宁夏模拟）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是__________________. 14.（23-24·山西模拟）计算：的结果为      ． 15.（24-25·四川模拟）若最简二次根式与可以合并，则______________． 16.（22-23·广西模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为_____________． 17.（23-24·天津中考）计算的结果为________． 18.（23-24·甘肃模拟）计算：__________． 19.（24-25·四川模拟）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为________． 20.（24-25·山东模拟）当，时，的值为___________． 21.（23-24·湖南模拟）斐波那契数列中的第个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第个数为____________． 22.（24-25·江西模拟）已知，那么的值等于____________ 23.（22-23·黑龙江中考）计算的结果是        ． 24.（24-25·黑龙江中考）若式子有意义，则的取值范围是______________． 25.（24-25·山东模拟）在函数中，自变量的取值范围是___________． 26.（22-23·四川中考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为，则空白部分的面积为___________． 27.（24-25·江苏模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为__________． 28.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现已知的三边长分别为，，，则的面积为______________. 29.（23-24·新疆模拟）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为__________（结果保留根号）． 30.（24-25·山东模拟）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是_____________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 4. 数的开方及二次根式 本课题聚焦中考数的开方与二次根式板块填空题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “精准破题、规避易错” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块填空题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点聚焦，基础为主：核心覆盖数的开方（平方根、算术平方根、立方根）、二次根式的概念（有意义条件、最简二次根式）、性质（非负性、化简）及运算（加减乘除、混合运算），基础题占比超 70%，是必拿分题型； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念填空、数值计算、性质应用、规律探索、几何背景题，部分题目结合非负数和为 0、无理数估算、代数式求值，跨知识点综合但难度适中，侧重考查知识迁移能力； 3. 细节关键，答案规范：无选项提示，需精准运算或推理，答案多为具体数值、最简二次根式、取值范围，对运算准确性、根式化简规范性要求极高，易因概念混淆、符号失误丢分。 二、答题要点 1. 吃透概念，精准判定：牢记平方根（±，a≥0）、算术平方根（，a≥0 且结果非负）、立方根（，a 为任意实数）的定义与区别；二次根式有意义的条件为被开方数非负，分式与根式结合时需兼顾分母不为 0。 2. 规范化简，熟练运算：二次根式运算先化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式），再合并同类二次根式；乘除运算遵循 “被开方数相乘除，根指数不变”，巧用平方差、完全平方公式简化计算。 3. 巧用性质，快速破题：利用 “非负数（平方、绝对值、二次根式）的和为 0，则各部分均为 0” 求解参数；无理数估算采用 “夹逼法” 确定取值范围；规律探索题先分析前几项特征，归纳通用公式再验证。 4. 数形结合，转化求解：几何背景题（如正方形面积、三角形边长）先通过勾股定理、面积公式列出根式表达式，再化简计算，将几何问题转化为代数运算。 三、避坑指南 1. 规避概念混淆：勿将算术平方根等同于平方根（如=4，而非 ±4）；注意立方根的符号与被开方数一致，平方根仅非负数有且互为相反数；最简二次根式判定需先化简，勿直接看表面被开方数。 2. 警惕条件漏判：判断二次根式取值范围时，切勿忽略被开方数非负；分式与根式结合时，需同时满足 “被开方数≥0 + 分母≠0”；涉及立方根的运算，勿误将负数的立方根判定为无意义。 3. 防止化简与运算错误：化简时避免 “被开方数含分母”“含能开尽方的因数”（如 需化为 2）；同类二次根式合并仅能合并系数，根指数与被开方数不变；运算中注意符号传递，避免乘除运算符号出错。 4. 注意答案规范：结果需为最简形式，无理数保留最简根式，不随意近似；取值范围用准确的数学表达式（如 x>−3 且 x≠−2）；规律探索题答案需代入验证，确保符合所有已知项特征。 本课时填空题核心是 “抓概念、重化简、细运算”，复习中需强化概念辨析与基础运算，通过针对性练习规避易错点，熟练掌握解题技巧，确保基础题型不失分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·河北模拟）的平方根是  ． 【答案】 【解析】利用算术平方根与平方根的意义解答即可． 【解答】解：，的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 2.（24-25·广西模拟）若，则_____2____________． 【答案】 【解析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【解答】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 3.（22-23·青海中考）写出一个比大且比小的整数____(答案不唯一)______． 【答案】答案不唯一，如： 【解析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 【解答】解：<<2 <<2,(为整数) 故答案为：（答案不唯一） 4.（23-24·四川中考）若，为实数，且，则的值为______1______． 【答案】 【解析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得、值，进而代值求解即可． 【解答】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 5.（22-23·湖南中考）的立方根是  2 ． 【答案】 【解析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 6.（24-25·江苏模拟）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，代数式求值，先利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出的值，再把它们的值代入代数式计算即可求解，利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出的值是解题的关键． 【解答】解：的平方根是，的立方根是， ，， ，， ，是的整数部分， ， ， 故答案为：． 7.（24-25·浙江中考）______2________． 【答案】 【解析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【解答】 解：， 故答案为：2 8.（24-25·黑龙江模拟）已知，则________． 【答案】 【解析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动位，其立方根的小数点向右（或左）移动位”进行判断即可． 【解答】解：， 故答案为：39 9.（22-23·内蒙古模拟）代数式有意义的条件是________． 【答案】 【解析】本题考查的是代数式有意义的条件，分母不为零，被开方数大于等于零. 【解答】根据题意得， 故答案为 10.（24-25·甘肃模拟）若有意义，则能取的最小整数值是_______1_______． 【答案】 【解析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【解答】 解：有意义， ， ， 能取得最小整数为 故答案为： 11.（24-25·河南模拟）二次根式，给赋予一个实际意义为_____面积是的正方形的边长（答案不唯一）______． 【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一） 【解析】本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解． 【解答】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长． 故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）． 12.（24-25·吉林中考）计算：________． 【答案】 【解析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 13.（24-25·宁夏模拟）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是__________________. 【答案】 【解析】根据数轴得到的取值范围，然后化简二次根式和绝对值，即可得到答案. 【解答】解：由数轴可知：， ， ； 故答案为 14.（23-24·山西模拟）计算：的结果为      ． 【答案】 【解析】先根据二次根式的性质化简根号，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：， 故此题答案为：． 15.（24-25·四川模拟）若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】 【解析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【解答】解：最简二次根式与可以合并 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， ． 故答案为：． 16.（22-23·广西模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________2________． 【答案】 【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， 二次根式是最简二次根式，最小的正整数为， 故答案为：2 17.（23-24·天津中考）计算的结果为____10_____． 【答案】 【解析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 18.（23-24·甘肃模拟）计算：____________． 【答案】 【解析】先将除法转化为乘法，然后根据二次根式的乘法法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为： ． 19.（24-25·四川模拟）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为___________． 【答案】 【解析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算求出，再代入求值即可． 【解答】解： ， ，为的小数部分， ， ， 故答案为：． 20.（24-25·山东模拟）当，时，的值为____________． 【答案】 【解析】首先将所给的式子分母有理化，然后再代值求解． 【解答】解：由题意，知：，，； 原式＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为： 21.（23-24·湖南模拟）斐波那契数列中的第个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第个数为________1_______． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【解答】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 22.（24-25·江西模拟）已知，那么的值等于______________ 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【解答】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 23.（22-23·黑龙江中考）计算的结果是        ． 【答案】 【解析】利用二次根式的混合运算法则即可求解． 【解答】 ， 故答案为． 24.（24-25·黑龙江中考）若式子有意义，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于的不等式，解出即可得出的取值范围． 【解答】解：要使式子有意义， 即， ． 故答案为：． 25.（24-25·山东模拟）在函数中，自变量的取值范围是____且________． 【答案】且 【解析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【解答】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 26.（22-23·四川中考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为，则空白部分的面积为____________． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解答】解：三个小正方形的面积分别为、、， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 27.（24-25·江苏模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 28.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现已知的三边长分别为，，，则的面积为________________. 【答案】 【解析】根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的的面积，从而可以解答本题． 【解答】如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为 的三边长分别为，，， 的面积为： 故答案为 29.（23-24·新疆模拟）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为___________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】连接、，首先证明，设，则，，，得出，利用配方法即可解决问题． 【解答】 解：连接、， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，，， ， 设，则， ， ，， ， 当时，点，之间的距离最短，最短距离是， 故答案为：． 30.（24-25·山东模拟）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是______________． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的规律计算，理解规律，掌握二次根式的计算是关键． 根据材料提示，找出规律即可求解． 【解答】解：①； ②； ③； ， ， ， ， 故答案为： ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $