6.4 平面向量的应用（教材课后题 全解与加练）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4 平面向量的应用（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ----------------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 几何类：向量在平面几何中的应用 （平行、垂直、夹角、模长） 三角类：向量与三角恒等变换、解三角形结合（综合应用，核心题型） 建模类：向量在实际问题中的建模与求解 （应用建模，拓展题型） 综合类：向量与解析几何、函数的综合问题 （综合拓展，提升考查） 📝【解题通法】 转几何：用向量刻画几何关系，将几何问题代数化 联三角：结合三角公式，处理向量夹角、模长问题 建模型：从实际情境中抽象出向量关系，建立数学模型 📝【提分易错】 易错点：几何关系转化失误、三角公式误用、实际问题建模偏差 巧解法：先画示意图，再用向量语言表达，最后代数求解 📝【思维创新】 拓视角：从 “孤立知识点” 向 “综合应用体系” 转化，构建向量作为数学工具的应用框架 典示例：完成作业时可重点关注第 8 题、第 12 题，尝试从实际问题中提炼向量模型，体会向量在解决复杂问题中的价值 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.若非零向量与满足，且，则为( ). A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 【题型】平面向量在三角形中的应用 【审题关键】 先根据向量垂直的条件，判断出三角形为等腰三角形，再由向量夹角的余弦值求出顶角为 60°，进而确定该三角形为等边三角形. 【答案】D 【解析】由，知， 中，的平分线与边BC垂直，. 又，. ，，为等边三角形，故选D. 2.已知O，N，P在所在平面内，满足，，且，则点O，N，P依次是的( ) A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 【题型】平面向量与三角形特殊心的判定 【审题关键】先根据 “到三个顶点距离相等” 的向量条件，识别出外心；再根据 “三个顶点向量和为零向量” 的向量条件，识别出重心；最后根据 “两两向量点积相等” 的向量条件，识别出垂心，从而确定三点的顺序. 【答案】C 【解析】由知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为的外心.由，知.设AB的中点为D，则， 所以点N在的中线AD上且，所以N为的重心.由，得，即，所以， 同理可得，，所以P为的垂心.故选C. 3.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角. 【题型】平面向量在几何证明中的应用 【审题关键】先将圆的直径和圆周角转化为向量形式，再通过向量的数量积运算，证明代表圆周角两边的向量互相垂直，从而得出该角为直角. 【答案】见解析 【解析】证明：如图， 设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则. ，， ， ，，即为直角. 4.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，. （1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s； （2）计算s在上的投影向量. 【题型】平面向量的坐标运算与投影向量 【审题关键】 相对位移：粒子 B 相对粒子 A 的位移，等于粒子 B 的位移减去粒子 A 的位移. 投影向量：需先计算位移向量的数量积、模长，再结合投影向量公式求解. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）. （2）设s与的夹角为， 则，所以s在上的投影向量为 . 5.一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时. （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）?实际前进速度的大小为多少? 【题型】平面向量在运动合成中的应用 【审题关键】 结合水流速度与游泳速度的向量关系，分析两种不同游泳方向下的合运动特征，确定合速度的大小与方向. 【答案】（1）沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为4km/h （2）沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为 【解析】（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作，则此人的实际速度为. 在中，，所以.实际前进的速度，故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为4km/h. （2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为. 在中，，， 所以， 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为. 6.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）： （1），，； （2），，. 【题型】解三角形（余弦定理与正弦定理的综合应用） 【审题关键】 第一小问已知两边及夹角，先由余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余两角；第二小问已知三边，直接用余弦定理依次求出三个内角. 【答案】（1），，； （2），，. 【解析】（略） 7.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）： （1），，； （2），，. 【题型】解三角形（正弦定理的应用） 【审题关键】 第一小问已知两角及一边，先由三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求出另外两边；第二小问已知两边及其中一边的对角，用正弦定理先求另一角，再结合内角和定理与正弦定理求出剩余角和边. 【答案】（1），，. （2），，，或，，. 【解析】（略） 8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 【题型】解三角形的实际应用（测量高度问题） 【审题关键】 先在水平面上的△BCD中，利用三角形内角和与正弦定理求出BC的长度，再在 Rt△ABC 中，结合仰角θ，通过正切函数建立BC与塔高AB的关系，最终求出AB. 【答案】 【解析】在中，. 由正弦定理得，. 在中，， 塔高AB为. 9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到1min）？ 【题型】解三角形的实际应用（台风影响问题） 【审题关键】 建立平面直角坐标系，将气象台与台风中心的位置、运动轨迹转化为坐标与直线方程，通过计算点到直线的距离判断是否受影响；再通过圆与直线的交点，求解台风开始影响的时间与持续时长. 【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟 【解析】如图. 设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则.过A作于C，则. ，气象台所在地会受到台风的影响. 设以A为圆心，以250km为半径的圆与直线BD交于E，F两点. 设，. 由余弦定理得，是方程的根. 方程整理得，解得，， ，， 大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟. 10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 【题型】三角形面积公式的推导与应用 【审题关键】 将三角形面积转化为以一边为底、对应高的面积公式，再将高用该边的邻边长度与夹角的正弦值表示，最终得到两边及其夹角形式的面积公式. 【答案】见解析 【解析】在中，边BC，CA，AB上的高分别记为，，，那么容易证明： ，，， 根据三角形的面积公式，应用以上高的公式，可以推导出下面的三角形的面积公式： .同理，，. ♻【综合运用】 11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标. 【题型】平面向量的旋转变换（坐标运算） 【审题关键】 先求出向量的坐标，将顺时针旋转4π​等价为逆时针旋转−4π​，再代入题目给出的旋转公式计算旋转后的向量，最后由点A的坐标求出点P的坐标. 【答案】 【解析】，， ， ，， 点P的坐标为. 12.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求的余弦值. 【题型】平面向量在三角形中的应用（余弦定理、数量积） 【审题关键】 利用中线性质与向量中点公式，将∠MPN转化为向量与的夹角；分别求出、及；最后代入数量积公式计算夹角的余弦值. 【答案】 【解析】M，N分别是BC，AC的中点， ，. 与的夹角等于，. ， ， ， . 13.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A处出发到河对 岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为 如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论： （1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时； （3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短. 【题型】平面向量在运动合成中的应用（渡河问题） 【审题关键】 将船的运动分解为垂直河岸和沿河岸两个方向，渡河时间仅由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关.分别计算三种情况下垂直河岸的分速度，进而求出渡河时间，比较得出最短时间的情况. 【答案】当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短 【解析】没与的夹角为，船行驶的时间为t，. （1）当为钝角时，； （2）当为锐角时，； （3）当为直角时，； 当为钝角时，，， 当为锐角时，. 所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短. 14.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小. 【题型】平面向量在实际航行中的应用（最短航程问题） 【审题关键】 先由几何关系确定最短航程对应合速度沿直线AC，通过直角三角形边角关系求出合速度的方向角；再利用向量加法的三角形法则，结合已知的合速度大小、水流速度大小及它们的夹角，通过余弦定理求出小货船航行速度的大小. 【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角，小船航行速度 【解析】如图. ，，， ，，合速度的方向与水流的方向成150°的角. 设少货船的速度为，水流速度为，合速度为v，则， ， 小船航行速度. 15.的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，，，利用余弦定理证明 ， ， . 【题型】解三角形（中线长公式的证明） 【审题关键】 选取含中线的小三角形，利用余弦定理分别写出角的余弦表达式；结合互补角的余弦值互为相反数的性质，联立消去角的余弦，整理得到中线长与三角形三边的关系，进而推导出中线长公式. 【答案】见解析 【解析】证明：根据余弦定理的推论得， 所以， 所以. 同理可以证明其余两式. 16.在中，求证：. 【题型】解三角形（边角关系证明） 【审题关键】 可通过余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，代入等式左边化简；或利用正弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换推导出等式右边，实现左右两边的转化与证明. 【答案】见解析 【解析】证明：左边右边，所以等式成立. 17.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则，，. 【题型】解三角形（正弦定理的证明） 【审题关键】 通过构造三角形的外接圆，利用圆周角定理将内角转化为直角三角形的锐角，再结合直角三角形的边角关系，推导出边与对应角正弦值及外接圆半径的关系. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）若A为锐角（如图（1）所示），作直径，连接，则，在中，，即. （2）若A是直角（如图（2）所示），在中，可直接得； （3）若A为钝角（如图（3）所示），作直径，连接，则，在中，，即. 由（1）（2）（3）得. 同理可证，，. 18.利用三角形的面积公式，，，证明. 【题型】解三角形（面积公式的推导） 【审题关键】 以第 10 题的面积公式 为基础，结合正弦定理将边b,c 用边a与对应角的正弦值表示，代入后整理得到目标公式. 【答案】见解析 【解析】证明：，. 又，. 🔍【拓广探索】 19.如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?用向量方法证明你的结论. 【题型】平面向量在平行四边形中的应用（线段比例问题） 【审题关键】 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，通过向量共线定理设比例系数，联立方程求出 AR、RT、TC 与对角线 AC 的比例关系，进而得到三者间的等量关系. 【答案】见解析 【解析】，证明如下： 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 设，，，则. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： 因为与共线，所以我们设，. 又因为，与共线， 所以我们设. 因此，，即.由于向量a，b不共线，要使上式为0，则解得，所以. 同理.所以. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. 20.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若r为三角形的内切圆半径，则 （3）BC，AC，AB上的高分别记为，，，则 ， ， . 【题型】解三角形（海伦公式及相关推论的证明） 【审题关键】 (1) 以余弦定理为桥梁，将三角形面积公式 中的 sinA 转化为半周长 p与三边的表达式，通过代数变形推导出海伦公式； (2) 利用三角形面积 S=pr（r 为内切圆半径）的关系，结合 (1) 的结论直接变形得 r的表达式； (3) 由三角形面积公式 ​，结合 (1) 的结论分别解出​. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】证明：（1）根据余弦定理的推论得，则 ，代入， 得 . 又，所以，，， 代入可得. （2）因为，所以三角形的周长. 又三角形的面积，其中r为内切圆半径，所以. （3）根据三角形的面积公式，得. 同理可证其余两式. 21.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括： （1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）； （2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 【题型】解三角形实际应用（高度与距离测量） 【审题关键】 根据测量数据，在多个三角形中依次使用正弦定理、余弦定理求出相关边长与夹角，最终计算两山顶间距离. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）如图，测出AB的距离a，，，，. （2）在中，由正弦定理求得. 在中，由正弦定理求得. 在中，由余弦定理求得 . 22.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，则的面积为，求b，c. 【题型】解三角形（正弦定理、余弦定理与面积公式综合） 【审题关键】 (1) 利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求出角 A； (2) 利用三角形面积公式求出 bc 的值，再结合余弦定理求出 b+c 的值，联立解得 b,c. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， ， ， ， . ，，，. ，，. （2），，. 又，， 由①②解得. ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.已知中，，，，则( ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】由余弦定理，得，所以，即，解得或.故选D. 2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则( ) A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知.在中， 由得. 3.在平静的湖面上，小船甲从A处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在A的正东方向，且相距千米的B处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在C处相遇，则小船甲的速度的大小是 A.千米／时 B.千米／时 C.10千米／时 D.20千米／时 【答案】C 【解析】由题意可得千米，，，则.在中，由正弦定理可得，则千米，故小船甲的速度的大小是（千米／时）.故选C. 4.在中，点D是边BC的中点，，，，则AC的值为( ) A.5 B.6 C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，由题意可得，即，解得.故选A. 5.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，，，，满足，，则四边形ABCD一定为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】由，可得，即， 所以四边形ABCD为平行四边形. 由，得， 即， 则. 因为，所以， 则，所以. 又四边形ABCD为平行四边形，所以，所以， 所以四边形ABCD一定为矩形.故选B. 6.已知，，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为( ) A.-5 B.5 C.-13 D.13 【答案】A 【解析】因为，，，， 所以，，，所以， 故选：A. 7.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，则， 因为，，即，所以.故A，C，D错误. 故选：B. 8.如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB的高度（大树AB垂直于地面），在与树底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大树顶部A的仰角是，在D点测得大树顶部A的仰角是，测得水平面上的，，则大树的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意在中，，所以.在中，，所以，所以.令.在中，，，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以大树的高度为.故选A. 二、多选题 9.在中，，，，则角A的可能取值为( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由余弦定理，得，即，则，解得或.当时，，为等腰三角形，所以；当时，，为直角三角形，所以.故选AC. 10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】ABD 【解析】对于A，由，，，知角C为最大角，由余弦定理可得，则C为锐角，则三角形仅有一解，故A符合题意； 对于B，由，得，则三角形仅有一解，故B符合题意； 对于C，由，，，可得，则三角形有两解，故C不符合题意； 对于D，由，，，已知两边和夹角，由三角形全等可知三角形的形状唯一确定，则三角形仅有一解，故D符合题意. 故选ABD. 11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ) A.若，，则的外接圆的面积为 B.已知，则 C.若，则为钝角三角形 D.若为锐角三角形，则 【答案】CD 【解析】对于A，若，，则的外接圆的半径，则的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则，即，所以，则，故B错误； 对于C，若，则，所以，则A为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则，，，所以，则，故D正确. 故选CD. 三、填空题 12.一个物体在大小为的力F的作用下产生大小为的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功_________J. 【答案】300 【解析】. 13.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为，，，此时整个系统处于平衡状态，则_______________. 【答案】 【解析】依题意，可设，则， 则，即，解得， 所以. 14.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力.绳BO与墙壁垂直，所受拉力，则与的合力大小为_____________，方向为______________. 【答案】；竖直向上 【解析】以，为邻边作平行四边形BOAC，则，即， ，，， ，.与的合力大小为，方向为竖直向上. 四、解答题 15.在中，. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以，所以，. （2）因为的面积，所以. 由余弦定理可得，所以， 所以的周长为. 16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）22 【解析】（1）由正弦定理，得.因为，所以， 又，所以. （2）由（1）知， 因为，所以，所以， 所以. 因为，即，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 平面向量的应用（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ----------------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 几何类：向量在平面几何中的应用 （平行、垂直、夹角、模长） 三角类：向量与三角恒等变换、解三角形结合（综合应用，核心题型） 建模类：向量在实际问题中的建模与求解 （应用建模，拓展题型） 综合类：向量与解析几何、函数的综合问题 （综合拓展，提升考查） 📝【解题通法】 转几何：用向量刻画几何关系，将几何问题代数化 联三角：结合三角公式，处理向量夹角、模长问题 建模型：从实际情境中抽象出向量关系，建立数学模型 📝【提分易错】 易错点：几何关系转化失误、三角公式误用、实际问题建模偏差 巧解法：先画示意图，再用向量语言表达，最后代数求解 📝【思维创新】 拓视角：从 “孤立知识点” 向 “综合应用体系” 转化，构建向量作为数学工具的应用框架 典示例：完成作业时可重点关注第 8 题、第 12 题，尝试从实际问题中提炼向量模型，体会向量在解决复杂问题中的价值 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.若非零向量与满足，且，则为( ). A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 【题型】平面向量在三角形中的应用 【审题关键】 先根据向量垂直的条件，判断出三角形为等腰三角形，再由向量夹角的余弦值求出顶角为 60°，进而确定该三角形为等边三角形. 2.已知O，N，P在所在平面内，满足，，且，则点O，N，P依次是的( ) A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 【题型】平面向量与三角形特殊心的判定 【审题关键】先根据 “到三个顶点距离相等” 的向量条件，识别出外心；再根据 “三个顶点向量和为零向量” 的向量条件，识别出重心；最后根据 “两两向量点积相等” 的向量条件，识别出垂心，从而确定三点的顺序. 3.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角. 【题型】平面向量在几何证明中的应用 【审题关键】先将圆的直径和圆周角转化为向量形式，再通过向量的数量积运算，证明代表圆周角两边的向量互相垂直，从而得出该角为直角. 4.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，. （1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s； （2）计算s在上的投影向量. 【题型】平面向量的坐标运算与投影向量 【审题关键】 相对位移：粒子 B 相对粒子 A 的位移，等于粒子 B 的位移减去粒子 A 的位移. 投影向量：需先计算位移向量的数量积、模长，再结合投影向量公式求解. 5.一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时. （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）?实际前进速度的大小为多少? 【题型】平面向量在运动合成中的应用 【审题关键】 结合水流速度与游泳速度的向量关系，分析两种不同游泳方向下的合运动特征，确定合速度的大小与方向. 6.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）： （1），，； （2），，. 【题型】解三角形（余弦定理与正弦定理的综合应用） 【审题关键】 第一小问已知两边及夹角，先由余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余两角；第二小问已知三边，直接用余弦定理依次求出三个内角. 7.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）： （1），，； （2），，. 【题型】解三角形（正弦定理的应用） 【审题关键】 第一小问已知两角及一边，先由三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求出另外两边；第二小问已知两边及其中一边的对角，用正弦定理先求另一角，再结合内角和定理与正弦定理求出剩余角和边. 8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 【题型】解三角形的实际应用（测量高度问题） 【审题关键】 先在水平面上的△BCD中，利用三角形内角和与正弦定理求出BC的长度，再在 Rt△ABC 中，结合仰角θ，通过正切函数建立BC与塔高AB的关系，最终求出AB. 9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到1min）？ 【题型】解三角形的实际应用（台风影响问题） 【审题关键】 建立平面直角坐标系，将气象台与台风中心的位置、运动轨迹转化为坐标与直线方程，通过计算点到直线的距离判断是否受影响；再通过圆与直线的交点，求解台风开始影响的时间与持续时长. 10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 【题型】三角形面积公式的推导与应用 【审题关键】 将三角形面积转化为以一边为底、对应高的面积公式，再将高用该边的邻边长度与夹角的正弦值表示，最终得到两边及其夹角形式的面积公式. ♻【综合运用】 11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标. 【题型】平面向量的旋转变换（坐标运算） 【审题关键】 先求出向量的坐标，将顺时针旋转4π​等价为逆时针旋转−4π​，再代入题目给出的旋转公式计算旋转后的向量，最后由点A的坐标求出点P的坐标. 12.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求的余弦值. 【题型】平面向量在三角形中的应用（余弦定理、数量积） 【审题关键】 利用中线性质与向量中点公式，将∠MPN转化为向量与的夹角；分别求出、及；最后代入数量积公式计算夹角的余弦值. 13.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A处出发到河对 岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为 如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论： （1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时； （3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短. 【题型】平面向量在运动合成中的应用（渡河问题） 【审题关键】 将船的运动分解为垂直河岸和沿河岸两个方向，渡河时间仅由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关.分别计算三种情况下垂直河岸的分速度，进而求出渡河时间，比较得出最短时间的情况. 14.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小. 【题型】平面向量在实际航行中的应用（最短航程问题） 【审题关键】 先由几何关系确定最短航程对应合速度沿直线AC，通过直角三角形边角关系求出合速度的方向角；再利用向量加法的三角形法则，结合已知的合速度大小、水流速度大小及它们的夹角，通过余弦定理求出小货船航行速度的大小. 15.的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，，，利用余弦定理证明 ， ， . 【题型】解三角形（中线长公式的证明） 【审题关键】 选取含中线的小三角形，利用余弦定理分别写出角的余弦表达式；结合互补角的余弦值互为相反数的性质，联立消去角的余弦，整理得到中线长与三角形三边的关系，进而推导出中线长公式. 16.在中，求证：. 【题型】解三角形（边角关系证明） 【审题关键】 可通过余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，代入等式左边化简；或利用正弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换推导出等式右边，实现左右两边的转化与证明. 17.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则，，. 【题型】解三角形（正弦定理的证明） 【审题关键】 通过构造三角形的外接圆，利用圆周角定理将内角转化为直角三角形的锐角，再结合直角三角形的边角关系，推导出边与对应角正弦值及外接圆半径的关系. 18.利用三角形的面积公式，，，证明. 【题型】解三角形（面积公式的推导） 【审题关键】 以第 10 题的面积公式 为基础，结合正弦定理将边b,c 用边a与对应角的正弦值表示，代入后整理得到目标公式. 🔍【拓广探索】 19.如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?用向量方法证明你的结论. 【题型】平面向量在平行四边形中的应用（线段比例问题） 【审题关键】 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，通过向量共线定理设比例系数，联立方程求出 AR、RT、TC 与对角线 AC 的比例关系，进而得到三者间的等量关系. 20.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若r为三角形的内切圆半径，则 （3）BC，AC，AB上的高分别记为，，，则 ， ， . 【题型】解三角形（海伦公式及相关推论的证明） 【审题关键】 (1) 以余弦定理为桥梁，将三角形面积公式 中的 sinA 转化为半周长 p与三边的表达式，通过代数变形推导出海伦公式； (2) 利用三角形面积 S=pr（r 为内切圆半径）的关系，结合 (1) 的结论直接变形得 r的表达式； (3) 由三角形面积公式 ​，结合 (1) 的结论分别解出​. 21.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括： （1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）； （2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 【题型】解三角形实际应用（高度与距离测量） 【审题关键】 根据测量数据，在多个三角形中依次使用正弦定理、余弦定理求出相关边长与夹角，最终计算两山顶间距离. 22.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，则的面积为，求b，c. 【题型】解三角形（正弦定理、余弦定理与面积公式综合） 【审题关键】 (1) 利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求出角 A； (2) 利用三角形面积公式求出 bc 的值，再结合余弦定理求出 b+c 的值，联立解得 b,c. ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.已知中，，，，则( ) A. B. C.或 D.或 2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则( ) A.2 B. C. D. 3.在平静的湖面上，小船甲从A处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在A的正东方向，且相距千米的B处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在C处相遇，则小船甲的速度的大小是 A.千米／时 B.千米／时 C.10千米／时 D.20千米／时 4.在中，点D是边BC的中点，，，，则AC的值为( ) A.5 B.6 C. D. 5.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，，，，满足，，则四边形ABCD一定为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 6.已知，，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为( ) A.-5 B.5 C.-13 D.13 7.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则( ) A. B. C. D. 8.如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB的高度（大树AB垂直于地面），在与树底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大树顶部A的仰角是，在D点测得大树顶部A的仰角是，测得水平面上的，，则大树的高度为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.在中，，，，则角A的可能取值为( ) A. B. C. D. 10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ) A.若，，则的外接圆的面积为 B.已知，则 C.若，则为钝角三角形 D.若为锐角三角形，则 三、填空题 12.一个物体在大小为的力F的作用下产生大小为的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功_________J. 13.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为，，，此时整个系统处于平衡状态，则_______________. 14.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力.绳BO与墙壁垂直，所受拉力，则与的合力大小为_____________，方向为______________. 四、解答题 15.在中，. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $