广东江门市江海区外海中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

外海中学2025-2026学年度高二第二学期开学考 数学试题 一、单选题 1．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C．(1,2,0) D． 2．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 3．直线，无论取何值，该直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 4．已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 10．已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若，为互斥事件，则 B．若，为互斥事件，则 C．若，相互独立，则 D．若，相互独立，则 11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则的最大值为 D．满足的点的轨迹长度为 三、填空题 12．若P，Q分别为两平行直线，直线上任意一点，则m的值为________；|PQ|的最小值为________. 13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 14．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________ 四、解答题 15．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 16．已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 17．甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立. (1)若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率； (2)若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率. 18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 19．如图，四棱锥中，，． (1)证明：平面； (2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； (3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《外海中学2025-2026学年度高二第二学期开学考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C C B A CD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断出正确选项. 【详解】A，，错误. B，，错误. C，，正确. D，，错误. 故选：C 2．D 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 3．B 【分析】将方程变形，解方程组即可得定点. 【详解】，即， 当时，解得， 故该直线过定点， 故选：B. 4．B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．C 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 6．C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 7．B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 8．A 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 9．CD 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 10．ACD 【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断AB，利用独立事件的概率公式即可判断C，利用独立事件先计算，由即可判断D. 【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确; 对于B：若，为互斥事件，则， 所以，故B错误； 对于C：若，相互独立，所以与相互独立， 所以，故C正确； 对于D：若，相互独立，， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 12． 8 2 【分析】由两直线平行列式求得参数，再由两线距离公式求得最小值. 【详解】由两直线平行得， 则有. |PQ|的最小值为两直线间的距离，即. 故答案为：8；2. 13． 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解. 【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 故答案为：． 15．(1); (2). 【分析】（1）利用空间向量法来求点到面的距离即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可. 【详解】（1） 如图建系，根据已知条件可得：， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 则点到平面的距离； （2）由平面的法向量为，平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为： . 16．(1) (2) 【分析】（1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. 【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 17．(1) (2) 【分析】（1）“甲击中目标次”，“乙击中目标次”. 根据，计算可求解； （2）法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，求解即可.法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，则，计算可求解. 【详解】（1）设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”. 设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥， 所以. （2）设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”. 法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件， ， 所以. 法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”， 则两两互斥， 所以 . 18．(1) ； (2)或； (3). 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； （2）设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； （3）由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 19．(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解. 【详解】（1）在平面ABCD中，因为，，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为平面ABC，平面， 所以，，又因为， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 因为中，，所以外心为AC中点， 故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设， 又因为，所以，故，所以， 所以，又因为，， 设平面PBC的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PBC的一个法向量为， 设直线AO与平面PBC所成角为， 则. （3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PAD的一个法向量为， 同理平面PBC的一个法向量为， 又因为平面PAD平面PBC， 所以，所以，所以 又因为，，且， 所以，所以或 当时，， 当时，， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $