精品解析：江苏南京市中华中学2026届高三模拟预测数学试题

中华中学2026届高三年级适应性练习 数 学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：朱成学 顾鹏飞 审题人：张海林 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】由或，又 ， 故选：C 2. 已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算，以及复数加法法则计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，， 所以，. 又， 所以. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，将原式化简为，等式两边平方，由同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式可得. 【详解】由，得， 两边平方，得，即. 所以. 故选：D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，计算即可. 【详解】的通项公式为， 且， 当时，； 当时，， 故的系数为． 故选：D 6. 已知正数，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据离心率得出及，从而得到渐近线方程；再设过右焦点且与渐近线平行的直线，并与双曲线方程联立解得交点的坐标；接着利用两点距离公式求出，结合双曲线定义得到，最终计算出两线段长度的比值. 【详解】已知双曲线离心率，所以：， 又，代入得：， 故渐近线方程为， 取右焦点，并作平行于渐近线的直线：， 联立直线与双曲线方程得：， 化简：，， 分子：， 所以， ， 代入直线方程求：， 因此，点位于双曲线右支， 故， 由双曲线定义，得：， 故 故选：C 8. 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性和对称性求解. 【详解】由，，知函数关于，点对称， 结合当时，，作出函数图象如图， 为向上攀爬的类周期函数，由图象可得， 由可得， ， 由可得， ， 所以，则有， 因为，所以， 所以， 故选:A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 C. 从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6 D. 数据的平均数为，数据的平均数为，则有 【答案】ABD 【解析】 【分析】由中位数的概念可判断A，由相关系数的意义可判断B，由极差、平均数、方差的计算公式可判断CD. 【详解】对于A，从小到大排序如下：13，15，16，18，20，24，28，31， 故中位数为，正确， 对于B，，所以组数据比组数据的线性相关性更强，正确， 对于C，由题意可知：极差为，平均数为， 则，解得，所以平均数为， 方差为，错误； 对于D，因为，所以， 则，正确； 故选：ABD 10. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. “等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】如图，将“等腰四面体”补成一个长方体. 设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，，， 与之对应的长方体的长宽高分别为，，， 则，得，，. 结合图形，容易判断出AB都是正确的； 对于C，由，，，得，，， 因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积， 所以“等腰四面体”的体积为，故C正确； 对于D，三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 ，故D不正确. 故选：ABC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有两个解 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求导得到函数单调区间，得到，计算得到A正确；计算得到B正确；设，计算函数的单调区间，得到得到C正确；，求导确定函数在上得到答案. 【详解】设，则， 设，恒成立，故函数单调递增，， 当时，，当时，， 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即，即，选项A正确； ，故，选项B错误； 设，则， 设， 则当时，； 当时，，且，故； 当时，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，使得， 即当时，，当时，； 综上： 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， ，当时，，当时，，， 且当趋于正无穷时，趋于0，又， 方程有两个解，即方程有两个解，选项C正确； 由可得，， 令，则 ， 由以上分析可知，当时，，即，单调递增， ，，故在区间上单调递增，选项D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性，函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，构造新函数确定新函数的单调性是解题的关键. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 14. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； （2） 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. 17. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 均值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率求解即可； （2）先分析小芳投掷的次数的所有可能的取值，然后求出分布列与数学期望即可； （3）若第1次从小芳开始，则第次对小芳投掷骰子分两种情况讨论，然后结合互斥事件性质，以及数列的递推关系式分析求解即可. 【小问1详解】 设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”， 则基本事件为： ， ， ， 总数为36， 事件包含的基本事件有：， 共9个基本事件，所以. 【小问2详解】 由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为， 由题意知可取值为，则： ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为：. 【小问3详解】 若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为， 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为， 由于这两种情况彼此互斥，所以， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 18. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合的关系，可确定的值，得椭圆标准方程. （2）（i）结合，探索直线,倾斜角之间的关系，进而得到， 设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，用表示，求出的值，可得直线的方程. （ii）因为，所以两直线斜率之积为，利用直线的斜率表示出，，再表示出四边形面积，借助基本不等式求面积的最小值. 【小问1详解】 由题意得，， 故，. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图： （i）设的倾斜角为的倾斜角为，则，所以， 又， 所以. 由题意的斜率不为零，设 联立得， 恒成立. 设，则 ， 又，所以， 即，所以， 因为，所以，所以的方程为 （ii）设， 联立，化简得，故恒成立. 由韦达定理得：， ， 因为，所以 同理 所以 ，当且仅当，即 时，取等号. 所以，当时，四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：在圆锥曲线部分，求最值问题的常用方法有： （1）把问题转化成二次函数的最值问题球解； （2）利用基本不等式求最值； （3）利用三角换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数分析函数的单调性，求函数的最值. 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得 ； 则在上递减，在递增， 故，即，当且仅当 时等号成立， 令，可得， 故； （ii）证明：∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当 时，；当 时，； 且，故对恒成立， 故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则， 可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【解析】 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【小问1详解】 ∵，则， 若 是增函数，则， 且 ，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得 ； 则在上递增，在递减，故， ∴的取值范围为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2026届高三年级适应性练习 数 学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：朱成学 顾鹏飞 审题人：张海林 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 6. 已知正数，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 4 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 C. 从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6 D. 数据的平均数为，数据的平均数为，则有 10. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. “等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有两个解 D. 在区间上单调递增 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 14. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 18. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $