甘肃省部分学校2026-2027学年高三上学期10月诊断考试数学试题

高三数学参考答案 1.C因为B=x2x+3>0)={x>-},所以AnB={-1,2. 2.A由a2+3a-4>0,得a<-4或a>1,则“a>1”是“a2十3a-4>0”的充分不必要条件， sin a sin a tan a 4 3.Dsin(x十a)开Ccos(r-a-sin a cosa-1an2-4,解得tana=一行 4.B由fx)=(x+1De产，得fx)=(2x+3)e.当x(-0,）时，f()<0,fx)单 调避减：当z∈(-号，十o)时，f()>0,fx)单调递增放fx)的极值点为- 5.C由41-a十4=22+b-a,可得(21-a)2+(2)2=2X21-a+b,则(21-a-2)2=0,得1-a=b,故 。+6=a+1-a)=2a-2a+1=2(a-2)+号≥2 6.B因为g(f(-x)=g(-f(x)=g(f(x),所以g(f(x)是偶函数，排除C,D. 又f(x),g(x)均在[0，+∞)上单调递增，所以g(f(x)在[0，十∞)上单调递增，排除A.故 选B. AB PA 7.B在△PAB中，∠APB=180°-15°-135°=30°，由正弦定理 sin∠APB-sin∠PBA,则 PA-ABsinPBA_140V5×s血135°-2803m因为在点A测得塔顶P的仰角为a,且 sin∠APB sin30° ，所以0P=PA·sima=280w3×8-210m sin a=3 &.B由题意可知g-n2-,则sing=nasn2=2 co因为0<g<a<,所 sin B sin 0 sin a 以cosa<cosB,则sin0<2cos3sin3-sin2,3,则0<2,3. 又cosa2号，所以sin0=2cos&sing>2sinB>sing,则0>P,则g<9<29 9.ACD之2=iz1=i(3+2i)=-2十3i,则x2的虚部为3，x1十z2=1十5i,|x1|=|z2|=√13，之2 =-2-3i. 10.BCDg(x)=f(x+）=sin(x+),A错误。 6r一 由x∈[0,1]，得x+音∈[吾，]，则gx)在[0,1上的最小值为g1)= 一sin牙，B正确， 因为g(一》=sin(一2m)=0,所以s(x)的图象关于点（一吕，o)对称，C正确 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 因为g(x)的最小正周期T=2红=2，且g①)十g(2)=0,所以g(1)十g(2)十g(3)十…十 g2028)-2g25Lg①+g(2]=0,D正确 11.BD设直线y=ax十b与曲线y=x2+1、y=x2分别相切于点A(x1,x+1),B(x2,x?), 则切线方程可写成y-(x+1)=2x(x-x)和y-V=,(x一x),则a=2z1= 2vx2 b=1-圆2在·Yg2=用6=2x4=动=2x计2xb 2x2 吉，得8x8虹=0.因为2>0，所以由2z2得x1>0.令fx)=8x8z (>0》,则fx)=24x-8,当xE(o,号)时f'(x)<0,f)单调递减，当x∈(， +o∞)时，'(x)>0,/)单调递增.因为f0)=1>0,f1)-1>0,f)=1-1650, 9 所以x1∈(0,1)，则a十b=-x+2x1+1∈(1,2). 12.0由f(x)=f'(1)x2+x,得f'(x)=2f'(1)x+1,则f'(1)=2f'(1)+1,得f'(1)=-1, 则f(x)=-x2十x,f(1)=0. 13.吾因为花=号A心，C=2币，所以萨-动+D亦-}A店+号A茄.又A心-A店+ 1 x一y=3 AD,BD=AD-AB,所以 解得x=1m 2 y=后则e+2y=号 x十y=3 14一23+23因为5=absin C,所以a+6-9-2 Sabsin C..又=3，所以9=a+b -2 2abooC,侧号snC=-cwsC,则amC=-5.因为C∈0，R,j所以C-答，则cosC 号则g=a2+6-2a6cosC=a2+6+a6=a+6r-ab≥是a+6),当且仅当a=6 时，等号成立，则a+b≤2√3，则△ABC周长的最大值为3+2W3. 5.(1)解：设f(z)=2,则=(W3)户，…2》 2分 解得a=-1,则f(x)=x1=1 ,…4分 则g(x)=ln(x-1)- x十2 …6分 (2)证明：易得函数y=ln(x一1)在(1，十o∞)上单调递增，…7分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 函数y一十3在1，十∞)止单调递减… 8分 故g(x)在(1，十∞)上单调递增. 9分 因为g2)=lh1-名<0g(3)=1h2-号>1h6-号-名号>0，…1分 525 所以g(x)存在唯一的零点x0,且2<x0<3.…13分 16.(1)解：因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC,…1分 所以一一(m十2)=0，解得m=一1.… …3分 (2)证明：BC=AC-AB=(1-m,-3-m).…5分 假设ABLBC,则AB.BC=0,…6分 所以m(1一m)-(m+2)(3十m)=0,整理得m2十2m十3=0.…8分 因为△=22一3×4<0，所以该方程无解，所以假设不成立，则对任意的m∈R,AB与BC均 不垂直 9分 (3)解：cos〈A店，AC)= AB·AC m-(m+2) -√2 |AB1川AC1√m2+(m+2)2.2 W2m2+4m+4 1 …11分 √m2+2m+2 因为m2+2m十2=(m+1)2+1≥1，…12分 所以√m2+2m十2≥1，则0< ≤1，所以-1≤cos(AB,AC)<0.…13分 √m2+2m+2 又(A,AC)∈[0，π]，所以(A,AC)∈(5，π]，即A店与AC的夹角的取值范围是(， n. …15分 17.(1)解：因为A+B+C=π，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)= tan A+tan B 1-tan Atan B' …2分 又tanC=tanA十tanB,且△ABC是锐角三角形，所以tanA十tanB>0,…3分 则1一tan Atan B=一l,即tan Atan B=2.…4分 因为tanA∈Z,tanB∈Z,且A<B,所以tanA=1,tanB=2,…5分 则A=灭. 4 …6分 (2)证明：设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由(1)可得tanB=2,tanC=3, 则cosB=5 5,sin C=310 10 8分 因为D是AC的中点，所以BD=号B+BC, 10分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 则Bd2=(BA2+2BA.BC+BC)=2(a2+c2+2 accos B).…1分 4 由iAic得g-曲A-5, sin C=3,则c=35 5g“13分 则Bj2=(a2+c2+2acc0sB)=a2,…14分 则IBD1=a,即BC=BD. 15分 18.解：1)f(x)=3cos(2x-）-cos2x=5(cos2xcos+sin2 xsin）-os2x… …1分 = 3 当2r≤2x+百≤+2x,∈么，即一是十kx≤x≤+m,k∈Z时，fx)≥0，则gx) |f(x)川-f(x)=0.… …3分 当+2x<2x+晋<2x+2kx,k∈Z.即登+kx<<+kr,k∈z时，-1Efx)0, 则g(x)=|f(x)1-f(x)=-2f(x)=-2sin(2x+S)∈(0,2]. …4分 0,色十k<沿+k,b∈Z, 故g(x)= -2sin(2x+晋)，8+kx<<+kr.kCZ 可得g(x)的最小正周期为π，值域为[0,2]. …5分 (2)(方法一)由g(x)的图象可知，若+kπ∈[，+]∈2D,则g(x)在[，+]上 的最大值为2，不符合题意.… …6分 若+kx年[c,叶]∈ZD,则gx)在[，d十]上的最大值为g6e)或g+）, …7分 若gx在[1+]上的最大值为ga,则一2sn(2+若)-5，得sm(2十君)=-， 2 则由gx)的图象可得，2+吾-交+2x,k∈乙，且2(+)+否<19+2xk∈Z,得： =8T+k元，k∈乙 8分 若gx)在[，t+]上的最大值为g(+),则-2sin(2+）=5,得sin(2z+） 则由g)的图象可得，21+行-+2，k∈Z.且2+看≥-晋+2x,k∈Z,得1 √3 Γ3 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 =x十kπ，k∈Z. 3 9分 因为>0，所以t的最小值为5， 10分 (方法=)由z∈[，+]，得2x+5∈[2+答，2+] 6分 因为>0，所以2z+晋>否24+>答 2π、2π …7分 又8)在4，+]上的最大值为5，所以：的最小值满足2x+- 3, …9分 解得t的最小值为苓。 …10分 (3)由gx)-1,可得-2sin(2x+若)-1，得sin(2z+)=-, …11分 则2x十吾-7+2kx或2zx十晋-1+2k,k∈Z… …12分 解得x=受十k元或x=酒十kπ，k∈乙 …13分 结合g(x)的图象可知，当及m<m<十π，k∈N时，g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1 的交点个数为0，不符合条件； …14分 当受十≤m<g+k,k∈N时，g()在[0，m]上的图象与直线y=1的交点个数为奇数， 符合条件；… 15分 当警+kx≤m<经+kk∈N时，g()在[0，m]上的图象与直线y-1的交点个数为偶 数，不符合条件.…16分 综上所述，m的取值范围为[受+x,+k)(∈). …17分 19.(1)解：因为f(x)=x-x2+lnx,x>0,所以f'(x)=1-2x十1=-(2x+1)(x-1D … …1分 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， …2分 故f(x)的最大值为f(1)=0.… …3分 (2解：由v∈0，lfx)≥az--士+1，得Vxe0,a≤1++-2 x x …4分 令r)=1+是+血，x-0<x≤10，则'(x)=-名+1-血+马-2-h)-2 x2 2 …5分 令p(x)=x(2-lnx)一2(0<x≤1)，则o'(x)=1-lnx>0在(0,1]上恒成立，则p(x)在 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 (0,1]上单调递增，则(x)≤p(1)=0,…6分 从而h'(x)≤0在(0,1]上恒成立，则h(x)在(0,1]上单调递减，则h(x)≥h(1)=1,… …7分 故a的取值范围为（一0∞，].…8分 (3)证明：不妨令an<bn,则由(1)可知0<am<1<bn.…9分 令H(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<1),则H'(x)=g'(x)+g'(2-x)= 2z1)(xD_5-2)1--2>0在(0，D上恒成立，则H(x)在(0， 2-x 上单调递增，则H(x)<H(1)=0,则g(x)<g(2-x)在(0,1)上恒成立.…10分 由0<am<1<bn,得g(an)<g(2-am).因为g(bm)=g(am),所以g(bn)<g(2-am).… …11分 又bn∈(1，十∞)，2-an∈(1，+∞)，且g(x)在(1，十∞)上单调递减，所以bn>2-am,即 an十bn>2.… …12分 由bn-b+lnbn十n=0,得lnbn=b员-bn-n. 因为bn>1,所以易得lnbn<bn一1，…13分 则由lnbn=b-b.-n,得b员-bn-n<bn-1,则b员-2bn-n十1<0， 即[bn-(n+1)][bn+(n-1)]<0,得1-√n<bn<√n+1, 从而1<bn<√n十1.…14分 同理，由0<an<l,g(an)=an-a员十lnan十n=0,得an-a十lnan=-n. 由g(am+1)=am+1-a+1十lnam+1十n+1=0,得an+1-a+1十lnan+1=-n-l, 则an+1-a+1十In an+1<an-a十lnan,即f(a+1)<f(an). 因为f(x)在(0，l)上单调递增，所以an+1<an,故an≤a1. …15分 由(2)可知，当a=1时，由fx)≥x-x2-是十1，得1n≥1-子 因为a1-a+lna1+1=00<a1<),所以1na>12, 则ai-a1-1>1-,即a-a-2a+1>0, 设k(x)=x3-x2-2x十1(0<x<1), 则k'(x)=3x2-2x-2,当0<x<1时，k(x)<0, 则k(x)在0,1D上单调递减因为k(O)=1>0,k(2)=一日<0， 所以0a1<号，则e,a1<,则a,十b,<m+多 …16分 故2<a,+6.<n+ 17分 可只 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A={一2，一1,2}，B={x|2x十3>0}，则A∩B= A{2} B.{-2} C{-1,2} D.（-1,2) 吹 2.“a>1”是“a2+3a-4>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 sin a 3.已知 in(r十a)+cos(π-a) =4,则tana= A号 B号 c- n- 如 4.函数f(x)=(x+1)e2的极值点为 A.-2 B-是 C.-e-4 5.若实数a,b满足41-a十4=22+6-a,则a2十b2的最小值为 封 A.2 B.1 c D 6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x),g(x)均在[0，十∞)上单调 递增，则g(f(x)的图象可能为 线 7.如图，某测绘小组为了测量一座电视塔的实际高度OP,选取了与塔底O 在同一水平面内的两个测量基点A,B,现测得∠PAB=15°，∠PBA= 靠 135°，A,B两点相距140√6m,在点A测得塔顶P的仰角为a（sina= ,则塔高OP= A.200m B.210m C.220m D.230m 【高三数学第1页（共4页）】 8.如图，当光线从介质8射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线 八人射光线： 法线L 与法线1的夹角为人射角，折射光线与法线1的夹角为折射角.物 理学家斯涅耳发现，介质8和介质€固定不变的情况下，人射角的 介质8 正弦值与折射角的正弦值始终成正比.当人射角为α时，折射角为 介质e 日，其中0<B<a<牙，若将入射角变为2a,设此时的折射角为0，则 折射光线 A8<0<R B.B<0<23 C.0=23 D.0>23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数之1=3+2i,之2=iz1,则 A.之2的虚部为3 B.之1十之2=5+5i C.1z1I=|z2 D.z2=-2-31 10.若将函数f(x)=sin的图象向左平移号个单位长度，得到函数gx)的图象，则 Agx)=sim(x+号) Bg(x)在[0,1]上的最小值为一sin写 C,g(红)的图象关于点(-号，)对称 D.g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2026)=0 11.若直线y=ax十b与曲线y=x2+1、y=x均相切，则 A.ab=1 Bab=号 ca+i∈(2） D.a+b∈(1,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=f'(1)x2+x,则f(1)=▲ 13.在平行四边形ABCD中，A应=}Aò，C市=2F防，若=xAC+yB前，则x十2 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知c=3,a2+b2=9- 3,则osC=△一，△ABC周长的最大值为▲ 4 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知幂函数f(r)的图象经过点(5，)，函数g(x)=ln(z-1)-于(z十2). (1)求g(x)的解析式： (2)证明：g(x)存在唯一的零点xo,且2<xo<3. 16.(15分) 已知向量AB=(m,m十2)，AC=(1,-1). (1)若A,B,C三点共线，求m的值， (2)证明：对任意的m∈R,AB与BC均不垂直， (3)求AB与AC的夹角的取值范围. 17.(15分) 在锐角△ABC中，A<B<C,且tanC=tanA十tanB,tanA∈Z,tanB∈Z. (1)求A; (2)若D是AC的中点，证明：BC=BD, 18.(17分) 已知函数f(x)=3cos(2z-)-cos2x,g(x)=|f(x-f(x). (1)求g(x)的最小正周期和值域， (2)若g(x)在[t,t+不](>0)上的最大值为3，求t的最小值； (3)若g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1的交点个数为奇数，求m的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=x-x2十lnx. (1)求f(x)的最大值； (2)若Vx∈(0,1]，f(x)≥ax一x2-是+1，求a的取值范围； (3)记函数g)=f(x)十n(n∈N)的零点分别为a.和b,证明：2<an十b.<n+ 2 【高三数学第4页（共4页）】