解三角形与边角互化问题、解三角形的实际应用问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形与边角互化问题、解三角形的实际应用问题专项训练 解三角形与边角互化问题、解三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 解三角形与边角互化问题 解三角形的实际应用问题 考点一 解三角形与边角互化问题 例1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 例2．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河南·月考·多选）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ） A． B．角B为钝角 C． D． 例4．（25-26高三上·湖北·期中·多选）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 例5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 例6．（24-25高一下·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 例7．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求A； (2)若，，求c. 例8．（2025·广东·模拟预测）在中，设内角的对边分别为，满足的面积为. (1)求； (2)若，求的外接圆的面积. 例9．（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角的对边分别为， (1)证明：； (2)若，求. 变式1．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 变式3．（2025·四川资阳·一模·多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 变式4．（24-25高一下·江西·期末·多选）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高一下·湖南常德·月考）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积__________. 变式6．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是______． 变式7．（25-26高二上·重庆·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 变式8．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 变式9．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 考点二 解三角形的实际应用问题 例1．（25-26高三上·云南昆明·月考）一艘轮船在大海航行到达处时，望见北偏东方向有一座灯塔，此时船和灯塔相距海里，然后船沿北偏东的方向航行到达处，望见灯塔在船的正东方向，如图所示，求处到灯塔的距离.    例2．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 例3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 例4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 变式1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 变式2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 变式3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如下图，两点都在河的对岸（不可到达），设计者设计了一种测量两点间距离的方法：测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），但在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段，以及，，，，请根据测量的数据求出间的距离. 变式4．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. (1)试用表示，并写出的范围； (2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形与边角互化问题、解三角形的实际应用问题专项训练 解三角形与边角互化问题、解三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 解三角形与边角互化问题 解三角形的实际应用问题 考点一 解三角形与边角互化问题 例1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，由正弦定理得，， 又，则，即， 所以， 则时，取得最小值20，即的最小值为. 例2．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 例3．（25-26高三上·河南·月考·多选）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ） A． B．角B为钝角 C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，得， 对于A，B，由，可得，因为， 且均不为，则，且不为，则或， 即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角， 故A，B均正确； 对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误； 对于D，由正弦定理，，又，将代入得，故D正确. 故选ABD. 例4．（25-26高三上·湖北·期中·多选）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 例5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 【答案】 【详解】由正弦定理得，因此可知， 代入余弦定理，得， 同除以得，即，其中， 当且仅当，即时，等号成立； 故，即，因此. 例6．（24-25高一下·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 【答案】 利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】由，根据正弦定理得：， 因为， 所以， 即， 因为，所以，所以，即， 又，所以， 由，结合余弦定理， 可得， 又，所以， 因为，’所以， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以三角形的面积为. 故答案为：． 例7．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求A； (2)若，，求c. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，依据正弦定理， 可得，即. 由余弦定理得，， 因为， 所以. （2）法1：因为，在三角形中，， 所以，即， 所以，所以. 因为，所以，即， 所以，即， 所以，所以. 由正弦定理得， 即. 法2：由正弦定理， 所以，即①； 由（1），即. 所以②； 联立①②，， 解得. 因为，所以取两根中的较小者，即. 例8．（2025·广东·模拟预测）在中，设内角的对边分别为，满足的面积为. (1)求； (2)若，求的外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 由面积公式得， 两式作比，得， 即，由得. （2）代入，有， 而，得到， 记的外接圆半径为， 由正弦定理得， 故的外接圆的面积为. 例9．（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角的对边分别为， (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）根据余弦定理，有 ，根据正弦定理，该式可化为， 又因为在中，，故可化为，得证. （2）由，可知与同号. 若均小于0，则两个角均为钝角，在三角形中不可能，因此均为锐角，故有. 由（1）中的，可得，即，两边同除， 得，代入，得： ，解得或（舍去）， 故. 因此. 变式1．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 变式2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 变式3．（2025·四川资阳·一模·多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD 变式4．（24-25高一下·江西·期末·多选）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A：由，结合余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以，则，故A项正确； B：，由正弦定理得， 即 ， 再结合，可得，即，从而得，故B项错误； C：由，，可得，故C项错误； D：由三角形面积公式可得，故D项正确. 故选：AD. 变式5．（24-25高一下·湖南常德·月考）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积__________. 【答案】 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 变式6．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是______． 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 且，则， 可得，即， 又因为，由余弦定理可得，则， 所以的面积为. 故答案为：. 变式7．（25-26高二上·重庆·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1），即，得，即. 又，，由正弦定理可知，即， 由余弦定理可知， 故可化为，即，得证. （2）由（1）可知，，故，由“大边对大角”可知. 又由题可知，与异号，故，因此. ，. 将代入（1）中所得，可得， 再将与代入（1）的结论，得，解得， 则. 则. 变式8．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【详解】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 变式9．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因，则，      由余弦定理得，，         因，则. 又因为，由正弦定理 得，又 ，∴.           所以的周长为. （2）由得，， 由（1），所以，得， 故. 考点二 解三角形的实际应用问题 例1．（25-26高三上·云南昆明·月考）一艘轮船在大海航行到达处时，望见北偏东方向有一座灯塔，此时船和灯塔相距海里，然后船沿北偏东的方向航行到达处，望见灯塔在船的正东方向，如图所示，求处到灯塔的距离.    【答案】海里 【详解】由题意可得，海里， 因为在点的正东方向，故，    在中，，，，海里， 由正弦定理可得，故海里. 因此处到灯塔的距离为海里. 例2．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 例3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 【答案】(1) (2)无触礁危险，理由见解析 【详解】（1） （2）在中， （海里）， ． 由正弦定理得， 又， 所以（海里）． 故A到航线的距离为（海里）． 由， 则，所以货轮无触礁危险． 例4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意可知，，，故 在中，由正弦定理，得 ， ∴点C到塔底B的距离CB为米； （2） 由题意易知， 因为，，所以， 因为，所以， 所以. 变式1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 变式2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【答案】(1)干米； (2)千米. 【详解】（1）依题意，在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理得， 则，从而， 则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得， 在中，由余弦定理得， 而，则，解得， 所以高铁站D到C地的距离千米. 变式3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如下图，两点都在河的对岸（不可到达），设计者设计了一种测量两点间距离的方法：测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），但在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段，以及，，，，请根据测量的数据求出间的距离. 【答案】 【详解】由题意得，. 在和中，由正弦定理得，，， 即，， ∴，， 在中，由余弦定理可得两点间的距离为 . 变式4．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. (1)试用表示，并写出的范围； (2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 【答案】(1) (2)当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小 【详解】（1）如图，， 在中，由正弦定理得：， ； （2）在中，， ， 当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6. 当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $