6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理在几何中的应用 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理在几何中的应用 1. 已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2. （多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 3. 在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 4. 已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 5. （多选）在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 6. 的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为__________；实数的取值范围是__________． 7. 在中，，则的取值范围为________． 8. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 9. 记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 10. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求证：； (2)若，求边的取值范围； (3)若角的平分线交边于，且，求边的取值范围. 11. 已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 12. 如图，在平面四边形ABCD中，. (1)若，求线段AC的长： (2)求线段AC长的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理在几何中的应用 1. 已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，结合三角形的性质和余弦定理，求得和，即可得到答案. 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 2. （多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 3. 在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 4. 已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】先根据余弦定理求出，进而得到的表达式，然后根据基本不等式的性质求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当时等号成立，此时取最大值为25， 所以面积的最大值为. 故选：C. 5. （多选）在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 6. 的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为__________；实数的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据余弦定理，结合基本不等式求得；结合中线的向量表示，向量运算得，再结合求解即可. 【详解】因为， 所以，根据余弦定理得 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立 所以的最大值为； 取中点，则， 所以，即， 又因为，所以 因为，所以，即 所以边上的中线长为的取值范围为. 故答案为：； 7. 在中，，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先由两角差的正弦公式化简等式，再分和两种情况结合余弦函数的单调性得到，进而有，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的取值可得. 【详解】因为，所以， 则有，即． 因为在中，，则． 当时，，所以， 因为在上单调递减，所以，则，所以不成立； 当时，，所以， 而，即，所以不成立； 因此，则， 令，则，则， 因为在中，，则，则， 所以， 令，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以． 故答案为：. 8. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】 （1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1） 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2） 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，  故边上的高为． 9. 记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 10. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求证：； (2)若，求边的取值范围； (3)若角的平分线交边于，且，求边的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理及辨析 【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解； （2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解； （3）在中，利用正弦定理及三角恒等变换得，由（2）知，令，，利用函数单调性即可求解范围. 【详解】（1）因为， 所以，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以. （2）因为为锐角三角形，，所以， 由，解得，所以， 又，故． （3）在中，，，， 由正弦定理得即，所以 ，由（2）知， 令，则，因为在上单调递增， 所以，所以，即边的取值范围为. 11. 已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【难度】0.5 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 12. 如图，在平面四边形ABCD中，. (1)若，求线段AC的长： (2)求线段AC长的最大值． 【答案】(1)； (2)6. 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答. （2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答. 【详解】（1）在中，，，由余弦定理得： ，即，解得， 在中，，由余弦定理得：， 所以. （2）设， 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当，即时取“=”，此时， 所以当时，线段AC长取最大值6. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $