精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年暑期高三第一次返校考数学试卷

泉州七中2024-2025学年度暑假返校考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔正确填涂智学网号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，则的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数．对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得.0分. 9. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 10. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 11. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点个数为________. 13. 已知，且，则的值为________． 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：. （1）求证：数列为等差数列； （2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由. 16. 已知函数. （1）若在上的值域为，求的取值范围； （2）若在上单调，且，求的值. 17. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 18. 已知函数. （1）当时，求的零点； （2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围； （3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2024-2025学年度暑假返校考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔正确填涂智学网号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分是奇数、偶数两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数定义域求解得，再解不等式即可. 【详解】因为的定义域为， 所以，解得， 故选：A. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行转化，然后再利用两角和的正弦公式进行化简求值. 【详解】根据诱导公式， 原式， 可化为， 进一步得， 则. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 7. 已知函数的图象如图所示，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像的平移变换得，由对称变换得，再由平移变换得，最后由翻折变换即可求解. 【详解】将的图像向左平移1个单位得，将的图像关于轴对称得， 再将的图像向左平移2个单位得，最后将的图像在轴下方的图像关于轴对称上去得， 故选：A. 8. 已知是定义在上的函数．对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，判断函数在定义域上为单调增函数，然后在判断，即可得出答案. 【详解】设，则，则由得，化简得，令函数，即得，则得函数在定义域上为单调增函数；当时，同理可得函数在定义域上为单调增函数，则因为，，，即得，所以，即. 故选：B. 【点睛】本题考查了构造函数思想的应用，考查了函数单调性的判断与应用，考查了幂指数和对数的大小比较，属于一般难度的题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得.0分. 9. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 10. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，再结合正弦函数的性质代值检验判断即可. 【详解】由题意，则，则， 由于， 则函数不关于点对称，故A错误； 由于， 则函数关于点对称，不关于直线对称，故B正确，D错误； 由于， 则函数关于直线对称，故C正确； 故选：BC. 11. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点个数为________. 【答案】2 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为两个函数图象交点的问题，数形结合即可得出答案. 【详解】令，可得， 设，， 在同一坐标系下分别画出函数，的图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点. 故答案为：2. 13. 已知，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式和两角差的正弦公式化简原式得，再根据可求得，从而求得结果. 【详解】 ， 由，平方得， 得，， 由于，， 代入得. 故答案为： 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：. （1）求证：数列为等差数列； （2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）借助等差数列的性质及其前项和公式计算可得，即可得，即可得证； （2）借助反证法，假设存在后借助等比数列的性质可得其与题设矛盾，即可得解. 【小问1详解】 由数列为等差数列，则其公差， 故， 故， 则，可得相邻两项差为常数，故数列为等差数列； 【小问2详解】 假设存在，且为三项构成等比数列，则有， 即有， 即有， 由、、均为整数，则有， 即有，化简得， 即，其与矛盾，故数列中不存在三项构成等比数列. 16. 已知函数. （1）若在上的值域为，求的取值范围； （2）若在上单调，且，求的值. 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦公式、辅助角公式先化简，再根据已知条件、正弦曲线、“整体代换”进行求解. （2）根据已知，利用正弦曲线、“整体代换”的技巧进行求解，最后再检验即可. 【详解】由题可知： . （1）由有：，又在上的值域为． 即在上的最小值为，最大值为，则，得． 综上：的取值范围是． （2），，由题意在上单调， 所以，解得． 由，得，即或，， 解得或，，又，所以； 当时，，在上单调递增，符合题意， 综上：． 17. 记 的内角的对边分别为，已知 的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在 中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在 中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在 中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求的零点； （2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围； （3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据零点的定义直接运算求解； （2）根据题意可得，结合图象以及二次方程分析运算； （3）根据题意分类讨论判断的单调性，结合单调性以及绝对值不等式分析求解. 【小问1详解】 当时，令， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 所以的零点是. 【小问2详解】 令， 且，可得， 记， 作出的图像，如图所示， 由的图像得，且， 注意到是方程的两根，即方程的两根，可得， 所以. 【小问3详解】 因为， ①当，即时，在上单调递减， 则， 可得 ， 所以，得； ②当，即时，则在单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，其中， 则， 可得 ， 因为，所以，不满足条件； 所以实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：1.根据绝对值的性质分类讨论去绝对值； 2.根据二次函数的性质分类讨论判断单调性； 3.利用绝对值不等式，分析运算. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明：令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $