精品解析：甘肃兰州市第八十一中学等校2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试卷

2025-2026学年度第二学期毕业班月考（3月） 九年级数学 本卷满分：120分，考试时间：120分钟 一、选择题（共11小题，每题3分）． 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，， ∴ ， ∴ 四个数中最小的有理数是． 2. 计算所得结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法，根据二次根式的乘法法则，先将根号内的数相乘，再化简为最简二次根式． 【详解】解：． 故选C． 3. 如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果． 【详解】解：由图形可知，∠AOB=60°-45°=15°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角板的角度运算，每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角． 4. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，，点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：B 5. 如图，一个正方形的四周恰好被四个正边形（阴影部分为正边形的一部分）无缝铺满，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值． 【详解】解：正n边形的一个内角， 则， 解得， 故选：C． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系． 先求出该一元二次方程根的判别式，再由时，一元二次方程有两个不等实数根；时，一元二次方程有两个相等实数根；时，一元二次方程无实数根即可得解． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ， 该方程有两个实数根． 故选：． 7. 已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，直接代入计算即可．将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出，的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点反比例函数上， ∴． ∴． 故选：A． 8. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别用表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格． 9. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可． 【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 10. 如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 11. 如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】分别用含的代数式表示出、，作差即可得到与的函数关系． 【详解】解：正方形中，， ， ， ，， 由图可知，， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数关系式的判断，找出与的函数关系式是解题关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分）． 12. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，，的方差为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差，理解方差的意义是解题关键．方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵一组数据，，，，的方差为3， 又∵数据，，，，与数据，，，，的波动大小一样， ∴数据，，，，的方差是3． 故答案为：3． 14. 如图，在菱形中，，点在上，若，则__________． 【答案】115°##115度 【解析】 【分析】先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可． 【详解】解：四边形ABCD是菱形，， ∴AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°， ∵ ， ∴∠ACE=∠AEC=65°， ∴∠BAE=180°-∠AEC=115°． 【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE是解题关键． 15. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 由正五边形可得， 由题意得，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是黄金三角形， ∴设， ∴ ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ， ∴， ， ∵， ∴ ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共75分）． 16. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项．熟练掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算规则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，先将方程变形后，两边同乘最简公分母化为一元一次方程求解，最后检验分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 整理方程右边得 方程两边同时乘以，得 展开括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 18. 解不等式． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 20. 如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 21. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 滑行距离 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 【答案】（1）二次函数 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出与的二次函数关系式是解题的关键． （1）由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数； （2）据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可； （3）把代入解析式求出的值即可得出． 【小问1详解】 解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数，故答案为：二次函数； 【小问2详解】 设函数解析式为，把，，， ， 解得：， ∴关于的函数解析式为：； 【小问3详解】 把代入解析式得：， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴当滑行距离为时，滑行时间为：． 22. 阅读与证明 三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分． 如图（1），，下面是两种三等分角的方法． （1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：； （2）用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由得，，再根据三角形外角性质得，，再结合平行线的性质最后可得； （2）如图，连接，过点P作于点F，根据线段垂直平分线的判定与性质得， ，进一步可得，再由，，，最后可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接，过点P作于点F， ∵于点Q，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，并且与间的距离等于， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边对等角、三角形外角的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是找到图形中角之间的相互关系． 23. 3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下： 选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下： 七年级 八年级 分组整理，描述数据： （说明：成绩分及以上为优秀，为良好，分以下为不合格） 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 八年级 a 得出结论，说明理由． （1）______，______； （2）请补全八年级名学生安全教育频数分布直方图； （3）哪个年级的整体成绩较好?（至少从两个不同的角度说明合理性）． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）整体成绩较好的年级为八年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）由收集的数据得出每组数据的个数；根据题意补全频数分布直方图即可； （3）八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可的结论． 【小问1详解】 解：八年级名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为： ∴中位数分； ∵分出现的次数最多，故众数为分； 故答案：，； ， 【小问2详解】 补全八年级 名学生安全教育频数分布直方图如图所示， . 【小问3详解】 整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，过C点作的切线，且，直线与直径的反向延长线交于P点． （1）探究与之间的数量关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是切线得到，结合三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可得到，，，即可得到答案； （2）过B作，根据，得到、，结合勾股定理求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：，理由如下， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ； 【小问2详解】 解：过B作， ∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在与中根据勾股定理可得， ，， ∴， ∵，， ∴； 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形底边上三线合一，解直角三角形，切线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线． 25. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． （1）已知点，求点的“关联三角形”的面积； （2）如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； （3）已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得，，利用三角形的面积公式求解即可； （2）分两种情况，画出图形，根据“关联三角形”的定义、切线的性质找到临界点，利用数形结合即可求解； （3）分两种情况，当与相切时，与相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵点关于x轴的对称点为，点A关于y轴的对称点为， 点的“关联三角形”的面积； 【小问2详解】 解：如图，作的外切四边形，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2． ， 如图，连接交于D，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2， ∴，与x轴的夹角为， ∴， ∴点D的横坐标为， ∵点的“关联三角形”与有公共点，且点， ∴； 【小问3详解】 解：当与相切于点E时，如图： ， ， ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 当与相切于点F时，如图： ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 综上，点P的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，理解新定义含义，添加辅助线，根据切线的性质找到临界点，利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期毕业班月考（3月） 九年级数学 本卷满分：120分，考试时间：120分钟 一、选择题（共11小题，每题3分）． 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 2. 计算所得结果（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一副三角板叠合在一起，则度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个正方形的四周恰好被四个正边形（阴影部分为正边形的一部分）无缝铺满，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 7. 已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，，点，分别为，上点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 二、填空题（共4小题，每小题3分）． 12. 因式分解___________． 13. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，，的方差为______． 14. 如图，菱形中，，点在上，若，则__________． 15. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 三、解答题（共11小题，共75分）． 16. 化简： 17. 解方程：． 18. 解不等式． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 20. 如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h（精确到）．（参考数据：，） 21. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 滑行距离 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 22. 阅读与证明 三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分． 如图（1），，下面是两种三等分角的方法． （1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：； （2）用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：． 23. 3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下： 选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下： 七年级 八年级 分组整理，描述数据： （说明：成绩分及以上为优秀，为良好，分以下为不合格） 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 八年级 a 得出结论，说明理由． （1）______，______； （2）请补全八年级名学生安全教育频数分布直方图； （3）哪个年级的整体成绩较好?（至少从两个不同的角度说明合理性）． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，过C点作的切线，且，直线与直径的反向延长线交于P点． （1）探究与之间数量关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 25. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 26. 在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． （1）已知点，求点的“关联三角形”的面积； （2）如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； （3）已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $