专题01 多边形综合题七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题01 多边形综合题八类题型 典例详解 类型一、多边形内角/外角的综合计算 类型二、正多边形内角/外角/边数的互求 类型三、截角问题 类型四、不规则多边形角度和 类型五、平面镶嵌问题 类型六、多边形与平行线/角平分线综合 类型七、多边形与方程综合 压轴专练 类型一、多边形内角/外角的综合计算 例1（23-24八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 变式1-2（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 类型二、正多边形内角/外角/边数的互求 例2（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26八年级下·全国·周测）如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 变式2-3（2026·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，F是边的中点，连接，则的度数为________． 类型三、截角问题 例3（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 变式3-1（24-25八年级上·四川德阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 变式3-2（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 类型四、不规则多边形角度和 例4（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式4-1（25-26八年级下·全国·课后作业）下图为某公司的产品标志图案，求的度数和． 变式4-2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 变式4-3（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 类型五、平面镶嵌问题 例5（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式5-1（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 变式5-2（23-24七年级下·重庆·期末）人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 变式5-3（24-25九年级下·广东佛山·月考）综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 类型六、多边形与平行线/角平分线综合 例6（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在数学兴趣小组学习中，小明同学遇到以下题目，请完成填空并将解题过程补充完整． 如图，直线分别交、于点、． 已知：，且，求的度数． 解：在五边形中， ______，      变式6-1（24-25八年级上·浙江台州·月考）自然界中处处都可见六边形的身影，比如在水面上吹起一层泡泡，也就是“泡泡筏（）”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近六边形的形状，如图，是一个泡泡抽象出的数学平面图形，已知六边形的内角都相等，． (1)求的度数； (2)求证：． 变式6-2（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 类型七、多边形与方程综合 例7（23-24八年级上·全国·课后作业）已知一个正多边形的每一个内角与其相邻外角的度数比都是7：2，则这个正多边形是__________边形，共有__________条对角线． 变式7-1（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 变式7-2 变式7-3 变式7-4 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 变式7-5 变式7-6 变式7-7 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 变式7-8 变式7-9 变式7-10 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 变式7-11（23-24八年级上·四川泸州·月考）一个多边形的内角和比它的外角和多，问该多边形是几边形？共有多少条对角线？ 1（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 2（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 3（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 4（25-26九年级下·广东东莞·月考）若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 5（25-26八年级上·山东东营·期末）图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 6（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 7（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 8（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 9（21-22七年级下·湖北武汉·期末）已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 10（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·月考）（1）求出图中x的值    （2）若多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求边数和内角和． （3）如图，，，若，，求，，的度数．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形综合题八类题型 典例详解 类型一、多边形内角/外角的综合计算 类型二、正多边形内角/外角/边数的互求 类型三、截角问题 类型四、不规则多边形角度和 类型五、平面镶嵌问题 类型六、多边形与平行线/角平分线综合 类型七、多边形与方程综合 压轴专练 类型一、多边形内角/外角的综合计算 例1（23-24八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 变式1-1（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可． 【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角， 剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角， 剩下条边， 由于要直角尽可能多， 则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多， 64条边组成16个凸四边形，共有64个直角， 所以直角的个数最多是． 变式1-2（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 类型二、正多边形内角/外角/边数的互求 例2（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 变式2-1（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 变式2-2（25-26八年级下·全国·周测）如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的内角计算，等腰三角形的性质，掌握正五边形内角的计算方法，结合等腰三角形的角度关系推导顶角是解题的关键． 先计算正五边形的内角，再结合等腰三角形的角度关系，推导顶角的度数． 【详解】解：如图，该五边形是用五个全等的等腰三角形拼成的，且是正五边形， ，，， ， ， ． 变式2-3（2026·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，F是边的中点，连接，则的度数为________． 【答案】/18度 【分析】先根据正五边形的性质得到对称轴为直线，以及求解，那么，，再由求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，F是边的中点， ∴正五边形是轴对称图形，对称轴为直线，，， ∴，， ∴． 类型三、截角问题 例3（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 变式3-1（24-25八年级上·四川德阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 变式3-2（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 类型四、不规则多边形角度和 例4（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 变式4-1（25-26八年级下·全国·课后作业）下图为某公司的产品标志图案，求的度数和． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再根据五边形内角和解答即可． 【详解】解：如图所示．，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和五边形内角和．解决问题的关键是利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到五边形中，利用五边形的内角和定理解答． 变式4-2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 变式4-3（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 【答案】540° 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 类型五、平面镶嵌问题 例5（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 变式5-1（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【答案】 6 /24度 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 变式5-2（23-24七年级下·重庆·期末）人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 【答案】(1) ；； (2)，理由见解析 (3)②④ 【分析】本题主要考查平面镶嵌（密铺）和多边形内角与外角，解不定方程，解题关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． （1）根据多边形的对角线的定义和内角和的求法即可得出答案； （2）根据正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为，于是得到方程，即，解方程即可得到结论； （3）先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：边形一个顶点出发有条对角线，正边形内角和为，正边形每个内角为； 故答案为：，，； （2）解：当时能够实现平面镶嵌，理由如下： 正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为， ，即， ∵为正整数， ； （3）解：①设正三角形个，正五边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正五边形不能进行平面密铺； ②设正三角形个，正六边形个， 由题意得：， 解得：或， 正三角形和正六边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正六边形或需要4个正三角形和1个正六边形； ③设正三角形个，正八边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正八边形不能进行平面密铺； ④设正三角形个，正十二边形个， 由题意得：， 解得：， 正三角形和正十二边形能进行平面密铺，需要1个正三角形和2个正十二边形； 故答案为：②④． 变式5-3（24-25九年级下·广东佛山·月考）综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【答案】（1）①3个；②360（2）用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌，见解析；（3）①15；60②当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【分析】（1）①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为，用，解答即可； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； （2）设用x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得，求的x，y的正整数解即可； （3）①设正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元，根据题意，得，解方程即可． ②根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为，设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元，根据题意，得，，故故，解答即可． 本题考查了镶嵌，分式方程，二元一次方程的整数解，一次函数的性质应用，熟练掌握解方程，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为， 用， 故答案为：3； ②解：根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； 故答案为：360； （2）解：设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得， ， 故， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． （3）①解：正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元． ②解：根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为， 设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元， 根据题意，得，， 故 故， 故 由，得w随x的增大而增大， 根据题意，得用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 故，此时， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故当时，w取得最小值，且最小费用为元． 类型六、多边形与平行线/角平分线综合 例6（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在数学兴趣小组学习中，小明同学遇到以下题目，请完成填空并将解题过程补充完整． 如图，直线分别交、于点、． 已知：，且，求的度数． 解：在五边形中， ______，      【答案】540；见解析 【分析】根据多边形内角和定理得出，即可求出，于是证得，再根据平行线的性质得出，即可求出的度数． 本题考查了平行线的判定与性质，多边形的内角与外角，得出是解题的关键． 【详解】解：在五边形中， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式6-1（24-25八年级上·浙江台州·月考）自然界中处处都可见六边形的身影，比如在水面上吹起一层泡泡，也就是“泡泡筏（）”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近六边形的形状，如图，是一个泡泡抽象出的数学平面图形，已知六边形的内角都相等，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、多边形内角和问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由六边形的内角都相等得出，由平行线的性质得出，即可得解； （2）由平行线的性质得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵六边形的内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式6-2（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质，五边形内角和定理，解答即可． （2）利用同旁内角互补，两直线平行判定解答即可． 本题考查了三角形外角性质，五边形内角和定理，平行线的判定定理，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解法1：∵，， ∴． ∵， ∴． 由多边形的内角和公式可知：， ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解法1∵，， ∴． ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴． 类型七、多边形与方程综合 例7（23-24八年级上·全国·课后作业）已知一个正多边形的每一个内角与其相邻外角的度数比都是7：2，则这个正多边形是__________边形，共有__________条对角线． 【答案】 九/9 27 【分析】设正多边形的内角为，则相邻外角为，依题意得，，解得，，则，由，可知正多边形为九边形，根据，计算对角线的条数即可． 【详解】解：设正多边形的内角为，则相邻外角为， 依题意得，， 解得，， ∴， ∵， ∴正多边形为九边形， ∴有条对角线， 故答案为：九，27． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握：边形，有条对角线． 变式7-1（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 变式7-2 变式7-3 变式7-4 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 变式7-5 变式7-6 变式7-7 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 变式7-8 变式7-9 变式7-10 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 变式7-11（23-24八年级上·四川泸州·月考）一个多边形的内角和比它的外角和多，问该多边形是几边形？共有多少条对角线？ 【答案】八，20 【分析】多边形的内角和为，外角和为，对角线的条数为，据此求解即可． 【详解】解：∵多边形的内角和比它的外角和多， ∴， 解得：， 对角线条数为：， 答：该多边形是八边形，共有20条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，多边形的对角线，掌握相关的公式是解题的关键． 1（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 2（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 3（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 4（25-26九年级下·广东东莞·月考）若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 【答案】6 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： ， 解得：， 则外角为， 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 5（25-26八年级上·山东东营·期末）图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 【答案】/36度 【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 6（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 7（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 8（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 变式8-13 变式8-14 变式8-15 变式8-16 变式8-17 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 9（21-22七年级下·湖北武汉·期末）已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线相关计算，熟练掌握四边形内角和等于解题关键是． （1）过点B作交CD于点F，根据证明，再利用，且，即可证明； （2）利用角平分线以及四边形内角和等于可得：，整理可得：，再结合（1）结论可得，进一步可求出； （3）设，，则，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）结论可得：，即可求出． 【详解】（1）证明：过点B作交CD于点F， ∵， ∴， ∵，且， ∴，即． （2）解：∵，分别平分和， ，， ，， ， ∴， 整理可得：， 由（1）可得：， ∴，即， ∵， ∴． （3）解：∵，， 设，，则且，， 由四边形内角和等于可得：， 即， ， 由（1）可得：， ∴，即， ∴， 整理得：． 故答案为： 10（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·月考）（1）求出图中x的值    （2）若多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求边数和内角和． （3）如图，，，若，，求，，的度数．    【答案】（1）①；②；③；（2）内角和为，边数为5；（3），， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理与多边形的内角和定理列方程解答即可； （2）根据多边形的内角和是的整数倍，从而可得答案； （3）先求解，，证明，可得，再利用三角形的外角性质可求解． 【详解】解：（1）①由三角形的外角的性质可得：， 解得：， ②由四边形的内角和定理可得： ， 解得：， ③由五边形的内角和公式，可得： ， 解得：； （2）由， ∴这个外角的大小为，多边形的内角和为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的变数为：5； （3）∵，， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质的应用，多边形的内角和问题，平行线的性质，熟记多边形的内角和定理是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $