第一章三角形的证明及其应用 单元检测（练习） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

广东省揭阳真理中学第一单元检测（练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共20分） 1．（本题2分）如图，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 4．（本题2分）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 6．（本题2分）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题2分）如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（本题2分）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 10．（本题2分）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在中，，，则___________． 12．（本题3分）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 13．（本题3分）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 14．（本题3分）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 15．（本题3分）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______． 三、解答题（共85分） 16．（本题9分）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 17．（本题9分）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 18．（本题11分）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 19．（本题11分）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 20．（本题11分）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 21．（本题11分）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 22．（本题11分）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《广东省揭阳真理中学第一单元检测（练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A C C D C A A 1．A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．根据平行线的性质可求出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于，然后根据的面积=的面积+的面积，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵平分垂直于于E点， ∴点D到的距离等于的长度， ∵， ∴ ， ∵的面积等于90， ∴， 解得． 故选：C． 3．B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的定义：三角形的一个内角的邻补角即为该三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：外角的是和， 故选：B． 4．A 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，先求出，再由是的外角，得到，即可解答． 【详解】解：∵，，， ， 是的外角， ． 故选：A． 5．C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 6．C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【知识点】全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 8．C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长，利用勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 9．A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 10．A 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、垂线段最短、三线合一 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 11． 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12．3 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 13．18 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 14．60 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 15． 【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分交的延长线于点， ∴，又，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∵将点沿翻折，点刚好落在点处， ∴，则,， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 16．见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 17．(1)见解析 (2)24 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 18．(1)当时，；当时，； (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大 (3)t的值为3或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、用描点法画函数图象、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，；    （2）函数图象如图：    当时，y随t的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 19．(1) (2)成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 20．(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 21．图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 22．(1)①；② (2)，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 23．(1)直线的解析式为 (2)的最小值为 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式． （2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值． （3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点． ∴令，得． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 代入点和点． 得． 解得：． ∴直线的解析式为． （2）解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点． ∵点和点． ∴． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，解得：． ∴点的坐标为． ∴，，即， ∴． ∵与的面积比为． ∴， 即， ∴点在的角平分线上， 在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点， 则， ∴， 在和中． ， ， ， 则． 解得：． ， 故的最小值为． （3）解：存在，理由： 若在轴正半轴， 如图，由图可知，作在轴上， ， 又∵， ， ， ，， ， 则， ， ； 若在轴负半轴，与（1）同理，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $