5.2 角 （十八大题型）（小模块.·微专题·.大压轴）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 -----【小模块·微专题·大压轴】《5·2角》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，还看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 角的概念 模块10 几何图形中角度计算问题 模块2 角的表示方法 模块11 求一个角的余角和补角 模块3 钟面角 微专题1角n等分线的有关计算 模块4 度分秒换算与相关计算 微专题2实际问题中角度计算问题 模块5 方向角 微专题3角计算中的整体思想 模块6折叠角 微专题4角计算中的分类讨论思想 模块7角的大小比较 压轴1 三角板中角度计算问题 模块8 角的平分线 压轴2 角计算中的新定义问题 模块9角的尺规作图 压轴3 动角问题的计算 模块通关·举一反三 【模块一】 角的概念 【方法点拨】（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 【例1】下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 【来源】专题4.26 基本平面图形（知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习 ）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版） 【答案】D 【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析． 【详解】解：．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故错误； ．角的边是射线，不能延长，故错误； ．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故错误； ．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故正确． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 【变式1-1】下列语句中，正确的是（    ） A．小于90°的角是锐角 B．大于90°的角是钝角 C．钝角与锐角的和为平角 D．角的大小与角的边的长短有关，边越长角越大 【答案】A 【分析】根据角的分类、角的定义逐一分析即可． 【详解】解：A． 小于90°的角是锐角，该项说法正确； B．大于90°的角可能是钝角、平角、周角，该项说法错误； C．钝角与锐角的和不一定为平角，该项说法错误； D．角的大小与角的边的长短无关，该项说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查角的基本概念，掌握角的分类、角的定义是解题的关键． 【变式1-2】如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（    ） … A．15 B．16 C．21 D．22 【答案】C 【分析】根据已知，采用枚举法确定其中的规律，计算即可． 【详解】∵第一个图形中有2=1+1条射线，有个角， 第二个图形中有3=2+1条射线，有个角， 第三个图形中有4=3+1条射线，有个角， ∴第六个图形中有7=6+1条射线，有个角， 故选C． 【点睛】本题考查了角中的规律，熟练掌握图形中规律的枚举法寻找策略是解题的关键． 【变式1-3】下列说法正确的是（ ） A．两条射线组成的图形叫角 B．过平面上三点中任意两点作直线，可以作条 C．8点30分时，时针和分针的夹角是75° D．若AB=BC，则B是AC的中点 【答案】C 【分析】根据角、直线、钟位角的求法、线段中点的概念逐项判断即可得． 【详解】解：A、两条具有公共端点的射线组成的图形叫角，则此项说法错误，不符题意； B、过平面上不在同一条直线上的三点中任意两点做直线，可以作条，则此项说法错误，不符题意； C、8点30分时，时针和分针的夹角是，则此项说法正确，符合题意； D、因为可能不在同一条直线上，所以若，不一定能得出是的中点，则此项说法错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角、直线、钟位角、线段中点，熟练掌握各概念和钟位角的计算方法是解题关键． 【模块二】 角的表示方法 【方法点拨】角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： (1)用三个大写字母表示（任何情况都适用,表示顶点的宇母写在中间） (2)用一个大写字母表示（以某一点为顶点的角只有一个时,可以用顶点表示角） (3)用阿拉伯数字表示（任何情况都适用）(4)用希腊字母表示（任何情况都适用） 【例2】（2025-2026学年·濮阳市油田第九中学·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【难度】0.85 【来源】河南省濮阳市油田第九中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法分别进行分析即可． 【详解】、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、能用，，表示同一个角，故此选项正确； 故选：． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 【变式2-2】根据给出的图形回答下列问题： (1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以A为顶点的角有几个？请表示出来； (4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由． 【来源】浙教版七年级数学上册 第6章　图形的初步知识 6.5 角与角的度量 同步练习 【答案】(1)不正确，因为以A为顶点的角有3个，可表示为∠DAC；(2)∠B；(3)3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC；(4)不是同一个角，理由见解析. 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】解：（1）不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC； （2）图中∠B可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC、∠BAD、∠DAC； （4）不是同一个角，因为这两个角的顶点不同． 【点睛】本题考查角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题关键． 【变式2-3】将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： ∠1 ∠β ∠α ∠BCA ∠ABC 【来源】福建省漳州市北师大版七年级数学上册校本作业：4.3角 【答案】∠BCE　∠2　∠BAE(或∠BAC)　∠DAB　∠3 ； 【详解】根据角的表示方法，∠1可表示为∠BCE；∠BCA可表示为∠2；∠β可表示为∠BAE(或∠BAC)；∠α可表示为∠DAB；∠ABC可表示为∠3. 故答案为∠BCE；∠2；∠BAE(或∠BAC)；∠DAB；∠3. 【模块三】钟面角 【方法点拨】钟面一圈为，共12个大格，每个大格为，所以时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度 【例3】上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A．75° B．80° C．70° D．67.5° 【答案】A 【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面平均分成12份，钟面每份是30°，上午8：30时时针与分针相距2.5份， 此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是30°×2.5＝75°． 故选：A． 【点睛】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键． 【变式3-1】如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个直角，至少需要(    )小时. A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和钟表的表盘特征求解． 【详解】∵时针在钟面上12个小时旋转一周即360°， ∴时针每小时旋转360°÷12=30°， ∴它旋转出一个直角至少需90°÷30°=3小时. 故选A. 【点睛】此题考查钟面角，解题关键在于掌握运算法则. 【变式3-2】当时钟指向晚上7：30时，时针和分针之间较小的夹角是(    ). A．30° B．45° C．50° D．60° 【来源】北师大版七年级上第四章综合能力检测卷 【答案】B 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份,每一份是30°,而7时30分时,分针指向6,时针在7和8的中间,所以时针和分针之间的夹角等于1个半格子的角度,即30°×1+30°÷2,据此计算即可． 【详解】30°×1+30°÷2 =30°+15°=45°, 答：晚上7时30分,时针与分针之间的夹角是45度． 【点睛】本题主要考查钟面角,解决本题的关键是要熟练掌握钟面上的角的度数计算方法． 【变式3-3】下午3:40时,时钟上分针与时针的夹角是___________度. 【答案】130 【分析】分别求出时针走过的度数和分针走过的度数，用分针走过的度数减去时针走过的度数，即可得出答案. 【详解】时针每小时走30°，分针每分钟走6° ∴下午3:40时，时针走了3×30°+ ×30°=110° 分针走了40×6°=240° ∴夹角=240°-110°=130° 【点睛】本题考查的是钟面角问题，易错点在于计算时针走过的度数时，往往大部分人只计算了前面3个小时时针走过的度数，容易忽略后面40分钟时针也在走. 【模块四】度分秒换算与相关计算 【方法点拨】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【例4】下列换算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案． 【详解】A. 47.28°=47°16′48″，正确，不合题意； B. 83.5°=83°30′，故此选项错误，符合题意； C、16°5′24″=16°5.4′=16.09°，正确，不合题意； D、0.25°=15′=900″，正确，不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了度分秒的换算，正确掌握运算法则是解题关键． 【变式4-1】把用度、分、秒表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【来源】沪科版七年级上册数学4.5角的比较与补（余）角测试卷 【答案】D 【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【详解】根据角的换算可得8.32°=8°+0.32×60′ =8°+19.2′ =8°+19′+0.2×60″ =8°19′12″． 故选D． 【点睛】此题主要考查度、分、秒的转化运算，属于基础题，相对比较简单，注意以60为进制，要一步一步运算，不要急于求成． 【变式4-2】（1）把转化为用度、分、秒表示的形式； （2）把转化为用度表示的形式. 【来源】北师大版七年级上学期第四章 A 学习区 易错疑难集训 【答案】（1）23°17′24″；（2）33.24°． 【分析】（1）根据大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒，可得答案； （2）根据小单位化大单位除以进率，可得答案． 【详解】解：（1）=23°+0.29×60=23°+17.4′=23°17′+0.4×60=23°17′24″； （2）=33°14′+24÷60=33°+14.4′=33°+14.4÷60=33.24°． 故答案为（1）23°17′24″；（2）33.24°． 【点睛】本题考查度分秒的换算，小单位化大单位除以进率，大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒． 【变式4-3】单位换算： （1）_____________； （2）________； （3） ________________ '________"； （4）________． 【答案】 【难度】0.85 【来源】2.5 角和角的度量-【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材七年级上册数学活页同步练习（冀教版2024） 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上赣州市·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江西省赣州市龙南市2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试题 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查度分秒之间的计算．依据度分秒的换算即可得到结果． 【详解】解： ． 【模块五】方向角 【方法点拨】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． 【例5】临汾平阳鼓楼，位于尧都区城市中心，基座呈正方形，周长160米，楼高43.76米，为我国最高的鼓楼．门洞上方各镌有石雕匾额，其四面分别是“东临雷霍”、“西控河汾”、“南通秦蜀”、“北达幽并”，显示了临汾重要的地理位置．已知临汾市图书馆位于鼓楼约南偏西11°方向，则鼓楼位于临汾市图书馆约（　　）    A．北偏东79°方向 B．北偏东11°方向 C．北偏西11°方向 D．南偏西79°方向 【来源】山西省临汾市尧都区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题 【答案】B 【分析】根据题意，画出方位图，即可得出结论． 【详解】解：如图，由题意，可知：鼓楼位于临汾市图书馆约北偏东11°方向上；    故选B． 【点睛】本题考查利用方向角确定位置．正确的画出图形，是解题的关键． 【变式5-1】如图,通常我们描述点B和点C的方向,分别为 (     ) A．南偏东25°,北偏西60°； B．东偏南65°,西偏北60°； C．北偏东155°,南偏西120°； D．西偏南115°,东偏北150°； 【答案】A 【分析】根据方位角的概念，即可得出答案. 【详解】根据图可知，点B的方向为南偏西25°，点C的方向为北偏西60°，故答案选择A. 【点睛】本题考查的是方位角的概念，通常方位角描述应注意两个点：意思方位角以正南、正北方向为基准；二是方位角都介于0°到90°之间. 【变式5-2】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据文字语言，画出示意图，如下： 故选D． 【点睛】本题考查方向角的概念，掌握概念正确作图是解题关键． 【变式5-3】如图是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，点C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)学校、商场和停车场分别在小明家的什么方位？ (3)如果学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多远？ 【答案】(1)距小明家距离相同的是学校和公园；(2)学校在小明家北偏东45°方向，商场在小明家北偏西30°方向，停车场在小明家南偏东60°方向；(3)停车场距离小明家800m． 【详解】整体分析： (1)由点A，B，C，P到原点O的距离即可判断；（2）以小明家为中心，计算出学校、商场和停车场的方向角；（3）根据学校距离小明家400m，计算出比例尺即可. 解：(1)∵点C为OP的中点，∴OC＝OP＝×4＝2cm． ∴OC＝OA， 即距小明家距离相同的是学校和公园． (2)学校在小明家北偏东45°方向，商场在小明家北偏西30°方向，停车场在小明家南偏东60°方向． (3)图上1cm表示400÷2＝200m， 商场距离小明家2.5×200＝500m，停车场距离小明家4×200＝800m． 【模块六】折叠角 【例6】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出． 【详解】解：由折叠知：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算． 【变式6-1】如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算． 【详解】解：如图，    ∵顶点A落在处， ， 又为的平分线， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的计算的应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．    【答案】/68度 【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出． 【详解】解：由折叠知：，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算． 【变式6-3】如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解． 【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时． ∵， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∴． 当点N在点M的下方时，设，， 则， 由翻折变换的性质可知，， ∴． 综上所述，满足条件的或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 【模块七】角的大小比较 【方法点拨】 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【例6】如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　) A．∠AOB＜∠COD B．∠AOB＞∠COD C．∠AOB＝∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定 【答案】B 【分析】根据角的加减法则进行运算，然后进行比较． 【详解】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立， ∵∠AOD＞∠BOC， ∴∠AOD-∠BOD＞∠BOC-∠BOD， 即∠AOB＞∠COD． 故选B． 【点睛】本题属于角的比较和运算，做题时需要细心观察，才能发现∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD． 【变式7-1】如图所示的正方形网格中，和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正方形网格可得，，即可得到答案． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查角度加减关系，解题的关键是根据正方形格得到，． 【变式7-2】下列说法正确的是（  ） A．12°25′+25°47′＝39°2′ B．48°15′﹣30°30′＝18°15′ C．58.25°＝58°15′ D．42°24′＜42.34° 【答案】C 【分析】根据1°=60′，1′=60″和度分秒的计算求得结果． 【详解】解：A、12°25′+25°47′＝38°12′，故A错误； B、48°15′﹣30°30′＝17°45′，故B错误； C、58.25°＝58°15′，故C正确； D、42°24′=42.4°＞42.34°，故D错误. 故选C． 【点睛】本题考查度分秒的换算，注意以60为进制即可． 【变式7-3】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　） A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C 【答案】B 【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵∠A＝48°15′＝48°+＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°， ∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大． 故选：B． 【点睛】本题考查了度分秒的单位转化，将三个角单位统一后再进行比较是解题关键． 【模块八】角的平分线 【例8】如图，，平分，若，则（    ）    A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市香坊区香坊（远）中学校2024-2025学年六年级下学期期中数学试题 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得，即，根据等角的余角相等，可得，则，根据已知条件，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，求一个角的余角，数形结合得出是解题的关键． 【变式8-1】如图，已知是内部的一条射线，，是的平分线．当时，的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是的角平分线，则可求得的度数，然后根据即可求解． 【详解】解：是的平分线， （角平分线的定义）． ， ． ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了角度的计算，角度的计算转化为角度的和或差，理解角平分线的定义是关键． 【变式8-2】如图，，平分，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得，即，根据等角的余角相等，可得，则，根据已知条件，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，求一个角的余角，数形结合得出是解题的关键． 【变式8-3】（如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有_____________（填序号）．    【答案】①②④ 【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论． 【详解】解：①∵平分，平分，平分， ∴，， ， ， ， 即，故①正确； ②∵ ， ， ∴，故②正确； ③与不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键． 【模块九】角的尺规作图 【例9】 （25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则____________．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，过的边上的一点图，用尺规作图以下作图步骤排序正确的是（    ）   ①过点Q作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点． A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 【答案】D 【分析】本题考查作图—作一个角等于已知角，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的步骤．根据基本作图作一个角等于已知角的步骤判断即可． 【详解】解：正确的步骤是：②④③①． 故选：D 【变9-2】（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C符合题意； ∵， ∴，则选项D符合题意； ∵，， ∴，则选项B符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A不符合题意； 故选：A． 【变9-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查复杂作图，在射线上截取,作，即可解决问题． 【详解】解：如图所示 【模块十】几何图形中角度计算问题 【例10】如图，直线，相交于点，，，求的度数． 【来源】陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题 【答案】70° 【分析】利用平角等于180°，计算角的差即可解答； 【详解】解：∵直线，相交于点，， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了简单的角度计算，掌握平角的概念是解题关键 【变式10-1】如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线定义得，，再根据得出答案． 【详解】∵，平分，， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键． 【变式10-2】如图，，平分，，则度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据角的和差关系，得，根据角平分线的定义，由平分，得，从而得到，进而解决此题． 【详解】解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 【变式10-3】下面是小马虎解的一道题： 题目：在同一平面上，若，，是的角平分线，求的度数． 解：根据题意可画出图形， ， ∵，是的角平分线， ∴， ∴． 若你是老师，会判小马虎满分吗？ 若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法． 【答案】小马虎不会得满分的，小马虎考虑的问题不全面，除了上述问题在外部以外，还有另一种情况在的内部，正确解法见解析 【分析】在同一平面内，若与可能存在两种情况，即当在的内部或在的外部． 【详解】解：小马虎不会得满分的． 小马虎考虑的问题不全面，除了上述问题在外部以外， 还有另一种情况在的内部． 解法如下：根据题意可画出图形（如图） ， ∵，OM是∠AOC的角平分线， ∴， ∴， 综合以上两种情况，或． 【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是意识到在同一平面内，可能存在两种情况，即当在的内部或在的外部． 【模块十一】求一个角的余角和补角 【例11】 如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据这个角的度数等于其余角的度数的2倍列出方程求出这个角的度数，进而求出这个角的补角的度数． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， ∴这个角的补角的度数为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键：如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余，如果两个角的度数之和为180度，那么这两个角互补． 【变式11-1】已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合度分秒的换算，利用补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴它的补角为， 故选：C． 【点睛】本题考查补角的定义及度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 【变式11-2】已知和互为余角，且与互补，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义可得，，即可求解． 【详解】∵和互为余角， ∴， ∵， ∴ ∵与互补， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握互为余角的两个角和为90度，互为补角的两个角和为180度是解题的关键． 【变式11-3】将一副三角板按如图位置摆放，其中与互余的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据三角板的角度特点求出的结果即可得到答案． 【详解】解：A、由题意得，， ∴， ∴，则与不互余，故此选项不符合题意； B、由题意得，，则与互余，故此选项符合题意； C、由题意得，，不能求出，则与不一定互余，故此选项不符合题意； D、由题意得，，则与不互余，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，余角的定义，熟知如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余是关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】角n等分线的有关计算 【例12】在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式12-1】如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（ ） A．36° B．72° C．108° D．120° 【答案】B 【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数． 【详解】解：如图，设∠DOE=x， ∵∠DOE=∠BOD， ∴∠BOE=2x， 又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°， ∴∠AOC=∠COD=72°﹣x； ∴2×（72°﹣x）+3x=180°， 解得x=36°， ∴∠BOE=2x=2×36°=72°． 故选B． 【变式12-2】，射线是它的四等分线，则_____________． 【答案】 【难度】0.85 【来源】角n等分线的有关计算 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式12-3】（22-23七年级上大同市·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山西省大同市2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式12-4】综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． (2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可； （2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可． 【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或 ∵ ∴或 故答案为： 或 （2）①当OA在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得， 或 ②当OB在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得， 或 此时，或 综上，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键． 【变式12-5】类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 【变式12-6】如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示） (3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，进而得出，代入数据计算即可； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据题意，，进而得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知，； （3）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的相关计算，角度的和差倍分等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 【微专题二】实际问题中角度计算问题 【例13】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式13-1】如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解． 【详解】解∶如图所示标注字母， 由题意知： ， ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的特点以及角的计算，理解方位角的概念是解题的关键． 【变式13-2】如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间． 【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ， 即时针转了24°， ∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知： 分针转动： ， 由每一大格对应30°知： ， 即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置： 由此确定此时是10点48分； 故答案为：A． 【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键． 【变式13-3】如图所示，入射光线与平面锐成30°角，下列说法正确的是（    ） A．入射角是30° B．反射角是60° C．反射光线与镜面的夹角是60° D．入射角减小时，反射角不变 【答案】B 【分析】根据光的反射定律可知：入射角指入射光线与法线的夹角，反射角指反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、已知入射光线与平面镜的夹角是30°，所以入射角=90°−30°＝60°，故A错误； B、根据光的反射定律：反射角等于入射角，所以反射角也为60°，故B正确； C、反射光线与镜面的夹角：90°−60°＝30°，故C错误； D、因为反射角等于入射角，所以入射角减小，反射角也随之减小，故D错误。 故选：B． 【点睛】此题主要考查了入射角和反射角的概念，并且要会利用光的反射定律的内容进行有关的计算． 【变式13-4】魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过_____________度；（2）若指针转了，则这些菜共有___________千克. 【答案】 9 13.5 【分析】（1）算出秤上放1千克菜转过的角度为多少，乘以0.5即可； （2）让243°除以1千克菜转过的角度即可． 【详解】解：（1）＝18°，0.5×18°=9°， 0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°； （2）243°÷18°=13.5（千克）， 答：共有菜13.5千克． 故答案为9，13.5 【点睛】本题考查了角度计算的应用，解决本题的关键是得到秤上放1千克菜转过的角度为多少． 【变式13-5】七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 【变式13-6】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【微专题三】角计算中的整体思想 【例14】如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到． 【详解】 解：，理由如下： ∵、分别是中的内角平分线和外角平分线， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义． 【变式14-1】如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形， 和在同一条直线上．这时，的度数是多少?为什么? 【答案】． 【难度】0.85 【来源】【课本原题】第二章 几何图形的初步认识 复习题 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，由题意得，，又，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 【变式14-2】如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 【变式14-3】【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 【变式14-4】（25-26七年级上广州市·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【难度】0.65 【来源】广东省广州市荔湾区2025-2026学年七年级上学期期末数学模拟试卷（人教版） 【知识点】线段的和与差、几何图形中角度计算问题、线段中点的有关计算、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 【微专题四】角计算中的分类讨论思想 【例15】已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 【变式15-1】若∠AOB=40°，∠BOC=60°，则∠AOC=___________度． 试题分析：利用角与角的位置关系即可计算，但根据角的位置要分两种情况． 解：若∠AOB=40°，∠BOC=60° 当∠AOB在∠BOC的内部时：∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=20°； 当∠AOB在∠BOC的外部时：∠AOC=∠BOC+∠AOB=100° 故∠AOC=100或20度． 考点：角的计算． 【变式15-2】已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为________． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分当在外部时和当在内部时两种情况求解即可． 【详解】当在外部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 当在内部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 综上可知，的度数为或． 【变式15-3】（23-24七年级上台州市·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市椒江区华东师范大学附属台州学校2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【变式15-4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 【变式15-5】（25-26七年级上石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【难度】0.65 【来源】河北省石家庄市石家庄桥西区四十一中，十中2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式15-6】如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为_______． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，分平分和平分两种情况进行讨论求解即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：如图，当平分时：则：， ∵平分； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 当平分时，则：， ∵平分； ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或； 故答案为：或． 压轴突破·素养提升 【压轴一】三角板中角度计算问题 【例16】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键． 【变式16-1】．一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市二七区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 【变式16-2】将两把形状、大小完全相同的含有角的三角尺与三角尺按如图①所示的方式放置，，，三点在同一直线上．现将三角尺绕点顺时针旋转一定角度，如图②．若平分，平分，则的度数是 ．    【答案】/度 【难度】0.65 【来源】山东省济宁市汶上县2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意，结合图形，得到，根据角平分线，，，从而得到结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式16-3】同时使用如图所示的一副三角尺能画出哪些角度（小于的角）？至少画出3个表示不同角度的图形，说明理由．    【答案】、、、、、、、、、、，图见解析， 【分析】先了解一副三角尺有，，，，然后根据这些角的和差可画出是的倍数的角，于是得到结论． 【详解】解：用三角板画出角，是用角度加减法．比如：画个的角，先将角在纸上画出来，再将角叠加就画出了角．如图：    用一副三角板可以画出：、、、、、、、、、、． 【点睛】用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 【变式16-4】如图①、如图②，是一副三角尺．借助三角尺可以直接画出、、、的角． (1)如图③、如图④，借助三角尺，也可以画出、的角，请你试一试，还可以画出哪些钝角，直接写在后面的横线上________；（写4个即可） (2)将两个三角板的直角顶点O重合放在桌面上，将绕O点旋转，探究在旋转过程中，与的和是否为固定值？选择图⑤或图⑥说明理由（选择一种说明即可）． 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州2022-2023学年七年级上学期期末数学试题 【答案】(1)、、、、 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角板原有的、、、四种角分可以直接画出的角和利用和或差画出的两种情况找出． （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1） 解：通过和或差画出的有： ； ； ； ； ； ； ； ； 钝角有：、、、、． 故答案为：、、、、． （2）如图，； 由三角板可知：， ∴； 如图，， ∵， ∴． 综上：与的和为固定值． 【点睛】本题考查作图应用与设计、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式16-5】综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【难度】0.65 【来源】甘肃省兰州市第十一中学2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴二】角计算中的新定义问题 【例17】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 【答案】(1)是 (2)①或或；②或或 【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可； （2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可； ②射线是的奇妙线，在的内部，在的内部，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义， 故答案为：是； （2）解：①，射线是的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵ ∴； 当时， ∵， ∴； 故答案为：20或30或40； ②∵射线是的奇妙线， ∴在的内部， ∴在的内部； 分三种情况： （Ⅰ）如图，当时，如图所示： ∴ ∴； （Ⅱ）如图，当时，如图所示： ∴， ∴； （Ⅲ）当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的奇妙线． 【点睛】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． 【变式17-1】综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”． (1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数． (2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”． (3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)旋转20秒后，是的“友好线” (3)存在；当或时，恰好是的“友好线” 【分析】（1）根据“友好线”定义求出的度数即可； （2）根据“友好线”定义求出的度数，然后再求出的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案； （3）分两种情况讨论，当在右侧时，当在左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当射线是射线的“友好线”时，． （2）解：∵， ∴当是的“友好线”时，， ∴， ∴旋转时间为（秒）， 即旋转20秒后，是的“友好线”． （3）解：存在；当或时，恰好是的“友好线”． 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知，当或时，恰好是的“友好线”． 【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义，数形结合，注意分类讨论． 【变式17-2】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． (1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； (2)如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 【答案】(1)是 (2)①或或；②当t为27或36或54时 【分析】(1)根据奇分线的定义即可求解； (2)①分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的奇分线； （2）解：①，若射线是的奇分线，则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意： 当时， ， 解得， 则； 当时， ， 解得； 当时， ； 综上，的度数为或或； ②当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，当t为27或36或54时，射线是的奇分线． 【点睛】本题考查了几何图形中角的有关计算，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式17-3】如图，射线在的内部（的度数大于且小于），图中共有三个角：，，．若这三个角中有两个角的度数之比为，则称射线为的“虚学线”． (1)的角平分线 的“虚学线”，的一条三等分线 的“虚学线”；（填“是”或“不是”） (2)射线为的“虚学线”，若，求的度数； (3)已知，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与重合时，旋转停止．设旋转时间为（单位：秒），射线为的平分线，射线，，中，若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”，直接写出所有的值． 【答案】(1)不是；是 (2)，，或 (3)或或或 【分析】（1）根据角平分线、三等分线的定义，结合题意，即可求解； （2）根据定义，分；；三种情况讨论，结合图形即可求解； （3）分相遇前后两种情况，结合“虚学线”的定义，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：的角平分线不是的“虚学线”，的一条三等分线是的“虚学线”； 故答案为：不是；是； （2）解：∵射线为的“虚学线”， ， ①， ∴； ②, ③ ∴ ∴， ④ 则 综上所述，的度数为，,或； （3）解：∵，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转， ∴，， 当，即，解得：， 即，相遇， 当与重合时，， ∴当相遇前，即时， ∴，, ∴， 如图所示， ①当时， 解得：； ②当时， 解得：； ③当时， 解得：（舍去）； ④当时， 解得：； 当相遇后，即时，如图， ∴，, ∴， ①当时， 解得：； ②当时， 解得：； ③当时， 解得：（舍去）； ④当时，， 解得：（舍去）， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，理解题中新定义，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【变式17-4】如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【答案】(1)是； (2)，，，； (3)或或． 【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是． （2）解：由题意得： ∵，射线为的“幸福线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； ④当时，则有：；； 综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，； （3）解：∵， ∴射线ON与OA重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴°，°， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即，（舍去）， ②，即，， ③，即，； ④，即，（舍去）； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴°，°， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即，（不符合题意，舍去）， ②，即，（不符合题意，舍去）； ③，即，； ④，即，不存在； 综上：或或． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 【变式17-5】如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）； （3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4 【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解； （3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时， ∵∠AOB=2∠AOC， ∴一个角的平分线是这个角的“定分线”； 故答案为：是； （2）∵∠MPN=分三种情况 ①∵射线PQ是的“定分线”， ∴=2=， ∴=， ②∵射线PQ是的“定分线”， ∴=2， ∵∠QPN+∠QPM=， ∴3=， ∴=， ③∵射线PQ是的“定分线”， ∴2=， ∵∠QPN+∠QPM=， ∴3∠QPN =， ∴∠QPN =， ∴∠QPM =， ∴∠MPQ=或或； 故答案为：或或； （3）依题意有三种情况： ①∠NPQ=∠NPM， 由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, ∴8t=（4t+48）， 解得t=2.4(秒)； ②∠NPQ=∠NPM 由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, ∴8t=（4t+48）， 解得t=4(秒)； ③∠NPQ=∠NPM 由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, ∴8t=（4t+45）， 解得：t=6(秒)， 故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键． 【压轴三】动角问题的计算 【例18】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式18-1】已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则； （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式18-2】在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式18-3】如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时，________； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时，________； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 【变式18-4】已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【难度】0.65 【来源】安徽省巢湖市2024-2025学年七年级数学上学期期末试卷 【知识点】与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式18-5】已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，理由见详解 ② 【难度】0.65 【来源】湖南省长沙市长沙铁路第一中学2024-2025学年上学期期末考试七年级数学试题 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差； （1）由角的和差得，即可求解； （2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； （3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； ②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解． 能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； （3）解：①， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； ②如图， ， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 -----【小模块·微专题·大压轴】《5·2角》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，还看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 角的概念 模块10 几何图形中角度计算问题 模块2 角的表示方法 模块11 求一个角的余角和补角 模块3 钟面角 微专题1角n等分线的有关计算 模块4 度分秒换算与相关计算 微专题2实际问题中角度计算问题 模块5 方向角 微专题3角计算中的整体思想 模块6折叠角 微专题4角计算中的分类讨论思想 模块7角的大小比较 压轴1 三角板中角度计算问题 模块8 角的平分线 压轴2 角计算中的新定义问题 模块9角的尺规作图 压轴3 动角问题的计算 模块通关·举一反三 【模块一】 角的概念 【方法点拨】（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 【例1】下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 【变式1-1】下列语句中，正确的是（    ） A．小于90°的角是锐角 B．大于90°的角是钝角 C．钝角与锐角的和为平角 D．角的大小与角的边的长短有关，边越长角越大 【变式1-2】如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（    ） … A．15 B．16 C．21 D．22 【变式1-3】下列说法正确的是（ ） A．两条射线组成的图形叫角 B．过平面上三点中任意两点作直线，可以作条 C．8点30分时，时针和分针的夹角是75° D．若AB=BC，则B是AC的中点 【模块二】 角的表示方法 【方法点拨】角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： (1)用三个大写字母表示（任何情况都适用,表示顶点的宇母写在中间） (2)用一个大写字母表示（以某一点为顶点的角只有一个时,可以用顶点表示角） (3)用阿拉伯数字表示（任何情况都适用）(4)用希腊字母表示（任何情况都适用） 【例2】（2025-2026学年·濮阳市油田第九中学·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【变式2-1】下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A．B．C． D． 【变式2-2】根据给出的图形回答下列问题： (1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以A为顶点的角有几个？请表示出来； (4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由． 【变式2-3】将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： ∠1 ∠β ∠α ∠BCA ∠ABC 【模块三】钟面角 【方法点拨】钟面一圈为，共12个大格，每个大格为，所以时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度 【例3】上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A．75° B．80° C．70° D．67.5° 【变式3-1】如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个直角，至少需要(    )小时. A．3 B．4 C．6 D．12 【变式3-2】当时钟指向晚上7：30时，时针和分针之间较小的夹角是(    ). A．30° B．45° C．50° D．60° 【变式3-3】下午3:40时,时钟上分针与时针的夹角是___________度. 【模块四】度分秒换算与相关计算 【方法点拨】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【例4】下列换算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】把用度、分、秒表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（1）把转化为用度、分、秒表示的形式； （2）把转化为用度表示的形式. 【变式4-3】单位换算： （1）_____________； （2）________； （3） ________________ '________"； （4）________． 【变式4-3】（24-25七年级上赣州市·期末）计算：． 【模块五】方向角 【方法点拨】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． 【例5】临汾平阳鼓楼，位于尧都区城市中心，基座呈正方形，周长160米，楼高43.76米，为我国最高的鼓楼．门洞上方各镌有石雕匾额，其四面分别是“东临雷霍”、“西控河汾”、“南通秦蜀”、“北达幽并”，显示了临汾重要的地理位置．已知临汾市图书馆位于鼓楼约南偏西11°方向，则鼓楼位于临汾市图书馆约（　　）    A．北偏东79°方向 B．北偏东11°方向 C．北偏西11°方向 D．南偏西79°方向 【变式5-1】如图,通常我们描述点B和点C的方向,分别为 (     ) A．南偏东25°,北偏西60°； B．东偏南65°,西偏北60°； C．北偏东155°,南偏西120°； D．西偏南115°,东偏北150°； 【变式5-2】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是（    ） A．B．C． D． 【变式5-3】如图是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，点C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)学校、商场和停车场分别在小明家的什么方位？ (3)如果学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多远？ 【模块六】折叠角 【例6】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．    【变式6-3】如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 【模块七】角的大小比较 【方法点拨】 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【例6】如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　) A．∠AOB＜∠COD B．∠AOB＞∠COD C．∠AOB＝∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定 【变式7-1】如图所示的正方形网格中，和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-2】下列说法正确的是（  ） A．12°25′+25°47′＝39°2′ B．48°15′﹣30°30′＝18°15′ C．58.25°＝58°15′ D．42°24′＜42.34° 【变式7-3】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　） A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C 【模块八】角的平分线 【例8】如图，，平分，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知是内部的一条射线，，是的平分线．当时，的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】如图，，平分，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有_____________（填序号）．    【模块九】角的尺规作图 【例9】 （25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则____________．（用含的代数式表示）． 【变式9-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，过的边上的一点图，用尺规作图以下作图步骤排序正确的是（    ）   ①过点Q作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点． A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 【变9-2】（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变9-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【模块十】几何图形中角度计算问题 【例10】如图，直线，相交于点，，，求的度数． 【变式10-1】如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，，平分，，则度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】下面是小马虎解的一道题： 题目：在同一平面上，若，，是的角平分线，求的度数． 解：根据题意可画出图形， ， ∵，是的角平分线， ∴， ∴． 若你是老师，会判小马虎满分吗？ 若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法． 【模块十一】求一个角的余角和补角 【例11】 如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知和互为余角，且与互补，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】将一副三角板按如图位置摆放，其中与互余的是（    ） A．  B．  C．   D．   专题攻坚·多题归一 【微专题一】角n等分线的有关计算 【例12】在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式12-1】如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（ ） A．36° B．72° C．108° D．120° 【变式12-2】，射线是它的四等分线，则_____________． 【变式12-3】（22-23七年级上大同市·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式12-4】综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． (2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 【变式12-5】类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【变式12-6】如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示） (3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 【微专题二】实际问题中角度计算问题 【例13】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【变式13-1】如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式13-3】如图所示，入射光线与平面锐成30°角，下列说法正确的是（    ） A．入射角是30° B．反射角是60° C．反射光线与镜面的夹角是60° D．入射角减小时，反射角不变 【变式13-4】魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过_____________度；（2）若指针转了，则这些菜共有___________千克. 【变式13-5】七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【变式13-6】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【微专题三】角计算中的整体思想 【例14】如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【变式14-1】如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形， 和在同一条直线上．这时，的度数是多少?为什么? 【变式14-2】如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【变式14-3】【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【变式14-4】（25-26七年级上广州市·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【微专题四】角计算中的分类讨论思想 【例15】已知，，平分，平分，则 ． 【变式15-1】若∠AOB=40°，∠BOC=60°，则∠AOC=___________度． 考点：角的计算． 【变式15-2】已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为________． 【变式15-3】（23-24七年级上台州市·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式15-4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【变式15-5】（25-26七年级上石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【变式15-6】如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为_______． 压轴突破·素养提升 【压轴一】三角板中角度计算问题 【例16】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式16-1】．一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【变式16-2】将两把形状、大小完全相同的含有角的三角尺与三角尺按如图①所示的方式放置，，，三点在同一直线上．现将三角尺绕点顺时针旋转一定角度，如图②．若平分，平分，则的度数是 ．    【变式16-3】同时使用如图所示的一副三角尺能画出哪些角度（小于的角）？至少画出3个表示不同角度的图形，说明理由．    【变式16-4】如图①、如图②，是一副三角尺．借助三角尺可以直接画出、、、的角． (1)如图③、如图④，借助三角尺，也可以画出、的角，请你试一试，还可以画出哪些钝角，直接写在后面的横线上________；（写4个即可） (2)将两个三角板的直角顶点O重合放在桌面上，将绕O点旋转，探究在旋转过程中，与的和是否为固定值？选择图⑤或图⑥说明理由（选择一种说明即可）． 【变式16-5】综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【压轴二】角计算中的新定义问题 【例17】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 【变式17-1】综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”． (1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数． (2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”． (3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由． 【变式17-2】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． (1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； (2)如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 【变式17-3】如图，射线在的内部（的度数大于且小于），图中共有三个角：，，．若这三个角中有两个角的度数之比为，则称射线为的“虚学线”． (1)的角平分线 的“虚学线”，的一条三等分线 的“虚学线”；（填“是”或“不是”） (2)射线为的“虚学线”，若，求的度数； (3)已知，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与重合时，旋转停止．设旋转时间为（单位：秒），射线为的平分线，射线，，中，若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”，直接写出所有的值． 【变式17-4】如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【变式17-5】如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）； （3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值． 【压轴三】动角问题的计算 【例18】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式18-1】已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【变式18-2】在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式18-3】如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时，________； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时，________； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【变式18-4】已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式18-5】已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $