10.1 分式的概念（教学设计）数学新教材苏科版八年级下册

10.1 分式的概念 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版第十章“分式”10.1《分式的概念》，核心内容是分式的定义—— 形式、 都是整式、 中含字母且 0；分式的实际意义及列式方法；分式“有意义”“无意义”“值为 0”三种条件的判定。 2.内容解析 本节在多项式的基础上引入含字母作分母的代数式，完成由整式到分式的知识跃迁。教材先用“人数÷排数”等生活情境呈现 ，再通过“人均绿地”“眼镜度数”等例子，逐步抽象出一般形式 。随后给出“整式 + 分母含字母 + 分母非零”三条定义条件，帮助学生准确识别分式。接着，教材用“分式求值”训练学生代入运算；用“分式何时有意义/值为 0”探讨分子、分母与取值关系，奠定后续“分式方程”与“分式运算”的逻辑基础。重点是让学生理解“分母不为 0”贯穿始终的价值与严格性，难点在于由具体情境抽象出分式模型以及对“值为 0”需同时满足“ 且 ”的双重判定。 1.教学目标 •能从实际数量关系中抽象出分式概念，正确识别分式。 •能用分式表示简单问题中的数量关系，并能赋予简单分式的实际意义。 •理解分式有意义、分式的值为 0 的条件，能利用这些条件求字母的值或取值范围，并能根据已知条件求分式的值 2.目标解析 • 看到任何代数式，能用“三条件”检验是否为分式，正确率≥90%。 • 能针对给定情境列出恰当的分式模型，并用口头或书面说明其现实意义。 • 面对，能写出“有意义 ”“值为 0 ”，并完成含参求值/求域题目，步骤正确、推理完整。 3.重点难点 • 教学重点：分式定义中“三个必须”的准确理解与应用； “有意义—无意义—值为 0”条件的判定及语言表达。 • 教学难点：从实际情境抽象分式模型（建模思想）； 对“值为 0”需同时满足“分子 0、分母非 0”的逻辑把握。 学生已掌握整数、小数、分数及整式运算，会用 描述平均量，对“除数不能为 0”有直观经验；也能进行简单的一元一次方程求解。优势：理解“除法”与“平均量”联系，便于接受分式形式；能够代入求值。困难： 把“整式除整式”同“分母含字母且不为 0”三条件综合起来较抽象； 列式建模中常忽略单位、漏写括号； “值为 0”双条件易只记“分子 0”而忽视“分母≠0”。 教学应通过具体情境、对比非例、逻辑图示，帮助学生在概念层面形成清晰框架，并通过多样化练习解决易错点。 创设情景，引入新课 问题情境： 问题引入 ①某校八年级有500个学生，排成长方形队伍． 如果排成20排，那么平均每排有_______个学生； 如果排成a排，那么平均每排有________个学生. 解：25， ②某校八年级有m个学生，排成长方形队伍． 如果排成20排，那么平均每排有_______个学生； 如果排成a排，那么平均每排有________个学生 解：， 教师提问： 【设计意图】通过“500 名学生”这一熟悉的场景，将分配问题自然转化为 的形式，激活学生已有的“平均量”经验，营造“生活—数学”的桥梁，激发探究兴趣，明确本节课研究“带分母含字母的式子”。 探究点：分式的产生与概念形成 1.新知探究 ①如果某市人口总数为 a 人，绿地面积为 b ，那么该市人均拥有绿地_____. 解：． ②近视眼镜的度数与镜片焦距f的长短有关，焦距越短眼镜的度数越大，若焦距为f，则近视眼镜的度数为_________. 解： ③如果面积分别为a亩，b亩的两块棉田分别产棉花mkg、nkg那么这两块棉田平均每亩产棉花 _________kg. 解： 教师提问：像，，…这样的式子有什么共同特征？它们与整式有什么区别？ 学生思考：共同特征：都具有的形式；A和B都是整式；B中都含有字母. 与整式的区别：分母中是否含有字母. 2.知识归纳 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式 (fraction) ．其中A是分式的分子，B是分式的分母，且B≠0． 注意：分式必须满足三个条件： ①具备的形式；②A、B都是整式；③分母B中含有字母，且B≠0． 三个条件缺一不可． 3.知识精讲 分式可以表示现实生活中的一些数量． 如果某种水果的售价为a元/kg，那么___表示用b元可以购买这种水果的质量； 如果这种水果的售价降价1元/kg，那么__表示用b元可以购买降价后这种水果的质量． 分式、可以表示不同的实际意义吗？如果可以，请举例说明． 4.新知巩固 ①下面所给的代数式中，属于分式的有哪些？ 　 　 　 解：(1) 的分母中不含有字母，不是分式； (2) 中，分母π是常数，故不是分式； (3)的分母中含有字母x，所以是分式； (4)的分母中含有字母y，所以代数式是分式． 【方法技巧】分式判定的注意点： （1） 应该根据定义直接判断，不能化简后再判断； （2） π是常数(圆周率)． ②请赋予分式在生活中的实际意义. 解：答案不唯一，举例如下：小明a元钱去购买练习本，原价每本b元，如果每本涨价1元，那么现在可以购买练习本本． 一本书有a个字，原计划b小时输入电脑，实际延迟1小时输完，平均每小时输个字. a表示长方形的面积，b表示长方形的长，若长增加1个单位长度后，面积仍为a，则新长方形的宽可表示． 若用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式． 5.典例分析 例1 求下列分式的值： ， ， 解：(1)当a＝3，b＝1时，原式＝＝＝； (2)当x＝－1时，原式＝＝＝0． 【方法总结】分式求值的一般步骤是什么？ (1) 分式求值时，一般先代入后计算，代入时有时需添加括号和乘号； (2)要按分式的运算关系进行计算． 填表： 你有什么发现? 解：分式的值随分式中字母取值的变化而变化． 6.尝试交流 教师提问：在分式中，a的值可以是－1吗？为什么？ 学生思考：当a＝－1时，a＋1＝0.分母不能为零. 教师总结：a的值不可以是－1．若a＝－1，则分母a＋1＝0，该分式无意义． 如果分式中字母所取的值使分母的值为0，那么分式无意义． 练习 分式的值可以为0吗？ 解：不可以，若 的值为0，则x＋1＝0，即x＝－1， 此时分母－1＝0，该分式无意义． 7.典例分析 例2 当x取什么值时， (1) 分式有意义？(2) 分式值为0？ 解：(1)由2x－2＝0，得x＝1． 当x≠1时，分式有意义． (2)由分子x－2＝0，得x＝2； 且x＝2时，分母2x－2的值为2×2－2＝2≠0． 当x＝2时，分式的值为0． 【方法总结】分式 有意义的条件→B≠0 分式 无意义的条件→B＝0 分式 的值为0→A＝0且B≠0 【设计意图】用“先分母、后分子”的流程化模板帮助学生掌握求值与判定技巧，同时通过错位对比（ 与 ）凸显“分母为零”禁区。 1．当x取什么值时，下列分式有意义？下列分式的值为零？ （1） (2)． 解：(1)当x≠0时，分式有意义，当x＝－5时，分式的值为零． (2)当x≠时，分式有意义，当x＝0时，分式的值为零． 2. 某企业要生产毛绒玩具a只，原计划每天生产b只，实际每天生产(b＋c)只． (1) 该企业原计划多少天完成生产任务？ (2) 该企业实际多少天完成了生产任务？ 解：(1) ．(2) ． 3. x kg橘子糖、y kg椰子糖、z kg牛奶糖混装成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为36元/kg、42元/kg、54元/kg．求这种“什锦糖”的单价． 解：3种糖的总价为(36x＋42y＋54z)元，3种糖的总质量为(x＋y＋z)kg， 则这种“什锦糖”的单价为元/kg． 4. 当a的值分别为0.01，0.1，1，10，100时，求分式的值． 随着a的值变化，的值是如何变化的？ 解：的值分别为100，10，1，1/10，1/100． 当a＞0时，的值随着a的值的增大逐渐减小； 当a＜0时，的值随着a的值的增大逐渐减小． 能力提升 1. 已知当x＝－2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0． 求a，b的值． 解：∵ 当x＝－2时，分式无意义， ∴ －2＋a＝0，解得a＝2． ∵ 当x＝1时，＝0， ∴ 1－b＝0，1＋a≠0，解得 b＝1，a≠－1. ∴ a的值为2，b的值为1． 2. 已知分式． (1) 当m为何值时，该式的值大于零？ (2) 当m为何整数时，该式的值为正整数？ 解：(1)当m－1＞0时，该式的值大于零，所以m＞1． (2)当m－1＝1，m－1＝2，m－1＝4时，分式的值为正整数，所以m的值为2或3或5． 【设计意图】选取教材“新知巩固”中的典型练习，保持原题呈现形式，帮助学生及时回顾、内化新知。 主板书 10.1 分式的概念 探究点 分式的产生与概念形成 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题10.1第1、2题。 2.探究性作业：习题10.1第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $