重庆市康德2025-2026学年高三下学期高考模拟调研（三）数学试题

2026届重庆市高考模拟调研卷（三） 数学 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 A. B. C. D. 2. 若想要直观展示某城市一年内各个月份平均气温的变化趋势, 最合适的统计图是 A. 饼图 B. 频数分布直方图 C. 折线图 D. 散点图 3. 方程 的解为 A. B. C. D. 4. “直线 与函数 相切” 是 “直线 与函数 只有一个公共点” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知扇形 ，其圆心角 ，将扇形绕 旋转一周得到几何体的体积为 ，则扇形的半径为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 A. . B. C. D. 7. 已知 为复平面的原点，非零复数 ， 对应的点分别为 ， ，若 ，则 A. 共线 B. 关于实轴对称 C. 是等边三角形 D. 是直角三角形 8. 函数 的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。 9. 已知幂函数 的图象经过点 ,则 A. 函数 为奇函数 B.函数 为增函数 C. 若 ,则 D. 若 ,则 10. 已知抛物线 ,其焦点为 ,准线为 ,过 的直线与抛物线交于 两点,过 分别作 的垂线,垂足分别记为 ,则 A. 是定值 B. 以 为直径的圆过点 C. 对于 上的任一点 恒成立 D. 面积的最小值为 2 11. 在长方体 中， ， ， ，则下列结论正确的有 A. 当 时， 为直角 B. 存在 ,使得 平面 C. 当 时， 取得最小值 D. 当 时，顶点 到平面 的距离取得最大值 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知平面向量 和 ,若 ，则 _____. 13. 若函数 同时满足① ；②在区间 上单调递减；③在区间 上单调递增增. 则符合条件的 _____. (写出一个符合条件即可) 14. 边长为 2 的正方形 中, 是以 为圆心 为半径的圆在正方形内的部分, 是 的中点, 交 于 ，则四边形 的面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: 。 16. (15 分) 一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票, 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张, 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望。 17(15 分) 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， . (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求三棱锥 外接球的表面积. 18. (17 分) 已知椭圆 的左焦点为 ，且经过点 ，直线 的斜率为 ,且与椭圆 交于 两点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)若 不过 ，且直线 ， 的斜率成等差数列，求 的取值范围； (3)若 经过原点 ，过椭圆上一点 的切线 与 垂直，求 面积的最大值. 19. (17 分) 已知函数 . (1)求曲线 与 的公共点个数； (2)记函数 . ① 求函数 的单调区间; ②若不等式 对任意的 都成立 (其中 是自然对数的底数),求实数 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $数学（三)参考答案 一、选择题： 1 2 4 J 6 7 8 C ) & 分 D 二、选择题： 9 10 11 BC ABD BCD 三、填空题： 12 13 14 16 11 5 x3-3x 5 四、解答题： 15.(13分) 解：(1)假设{an}是常数列，有an=an-n≥2)，则an=V3an+4, 整理得a,2-30n-4=0,解得a,=4,或an=-1(舍)， 经验证成立，所以数列{an}可以是常数列，an=4.…….6分 (2)当n≥2时，当a,=4时，1a,-40=31a,1-41, 4 当a,≠4时，1a,-4HV5a,+4-4作1W3a+4-4V3a1+4+41 V3an-1+4+4 =3引a-4L<3 V30n-1+4+44 an--4, 综上，1a,-4a-4 ….13分 16.(15分) 解：(1)抽出3张彩票奖金总额不高于700的情况有三种，3张彩票都是三等奖，2张三等奖彩票加1张二等奖 彩票或1张一等奖彩票，1张三等奖彩票加2张二等奖彩票， 故所求概率为P=CC+CC+C161 C2 220 ….5分 (2)X可能的取值为0,1,2. P=0是品=小器-器品w-小答品立 C222022·.12分 故X的分布列为 X 0 2 6 9 分 22 22 6 9 1 故E(X)=0×+1× +2× 11 22 222 …15分 17.(15分) 解：(1)连接BD,因为BC=CD=2,∠BCD=60°， 所以△BCD是等边三角形，所以BD=2, 因为ABIICD,所以∠ABD=∠BDC=6O°， 所以在△ABD中，AD=V1+4-2x1×2×C0s60°=V3, 所以BD2=AB2+AD,所以AD⊥AB, B 因为PD2=PA+AD,所以AD⊥PA,因为PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,.5分 (2)因为AD⊥平面PAB,所以∠PAB是二面角P-AD-C的平面角， 则cos∠PAB=PA+AB-PB2_1+1-31 2PA·AB 22 所以∠PAB=2 3 所以二面角P-AD-C为 2π …….10分 (3)取PD,BD中点O,O,因为△PAD,△ABD均为直角三角形，所以O,O,分别是△PAD,△ABD 的外接圆的圆心，过O,O,分别作平面PAD和平面ABD的垂线，交于点O,即为三棱锥P-ABD外 接球的球心，取AD中点M,连接O,M，O,M,O,O,O,O,如图 0M=70,M=320,M0,=12, P 0 在ao0中，00，-9++2x写 2222 △M0,0,外接圆的直径=O0 =1,所以OM=1, M D sinl20° 7 所以OD2=OM2+MD2=-,S=4πOD2=7π， 4 所以三棱锥P-ABD外接球的表面积为7π.….15分 18.(17分) [c=1 解： (1) 2 】之+3=1，所以a2=4,b2=3,椭圆：4+3 +=14分 a2=b2+c2 (2)设k:y=x+m(k≠0)，A(x,),B(x,y2), 联立 [y=kx+m 3x+4y=12→(6+4k2)r+8kmr+4m-12=0, △=48(4k2-m2+3)>0,所以m2<4k2+3...①， +名=报=成 -8km 6分 所以k+k,=与十上-+m+您+m-2X,化简得(m-Xx+无+2)=0， x+1x2+1x+1x+1 因为1不过-10，所以m,所以写+名=-2，即=-2，所议m-状财3 ②， 4k ②术入0得：法引<4+3发>行样得(0》行树 16k2 ….10分 3》设，切线：y=-+,联立若+兮=1可得： ,y2 （6+46)x+8张0%-kxx+4%-kx广-12=0，△=0，得k=4玩 所以k=4,则y=,设4x,B,为)， 3x0 联立 3x2+42=12→3+4k2)x2=12, y=kx 所以ABV+1x-x卡45+足 V3+4k2 又因为d=。】 V1+k2 所以5引Bd.=25, 因为k=4出 V3+4k2 3xo 所以S。m= 2W31l 2W5 3,64 ….15分 3,3+ 64y2 9x2 3+9城 因为号 =1，所以 3 所以S≤25 7 .16分 当且仅当写-乡疗-号时取等 .17分 19.(17分) 解D令M)=f0到-国=n+-产xh+到-1+ 1+x 则(x)的定义域为(-1+0)，且h)=1中x0+x对0+灯 11 当x∈(-1，O)时，h(x)<0,h(x)单调递减：当x∈(0，+o)时，h(x)>0,h(x)单调递增： 故hmm(x)=h(O)=0,故h(x)只有1个零点，即曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点个数为1. ……4分 (2)①p()=[fx那-g(x)=n20+)-的定义域为(-1+四)，求导得： 1+x p')=21n1+)_产+2x_21+xln1+x)--2x 1+x(1+x)2 (1+x)2 令0)=2+n0+8-2x,则=20+0-2x,①2=-2红☐ 1+x 当x∈(-1,0)时，"(x)>0,'(x)单调递增；当x∈(0，+o)时，"(x)<0,'(x)单调递减： 故'(x)≤'(O)=0恒成立，故(x)在定义域(-1，+∞)上单调递减： 故当x∈(-1,0)时，(x)>(0)=0→p'(x)>0;当x∈(0，+o)时，(x)<(0)=0→p'(x)<0: 故p(x)的单调增区间为(-1，O),单调减区间为(0，+o). …….10分 1 ②两边取对数，得： 二+aln(1+x)≤1对任意的x∈(0，]都成立： x 11 参数分离：a≤ ，x∈(0,1]都成立： In(1+x)x 11 1 令G()=1n1+x)x .1_(1+x)ln21+x)-x2 xe0.,则G()=a+)lnr0+)Fr0+)n1+) x -<p(0)=0, 由①知：当x∈(0，时，p()单调递减，故o(x)=ln(1+-1+xy 即1+n1+-<0→Gx)<0,故G(x)在(0，上单调递减，故G()=G0=-1: In2 故a的最大值为 11· In2 …17分