6.4.1 直线与平面平行 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§4 平行关系-4.1 直线与平面平行 第六章 立体几何初步 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 直线与平面平行的性质定理 1 直线与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平 面与此平面相交，那么该直线与交线平行. // , , ， 则 . 6 知识剖析 （1）线面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.“线线平行” 是“线面平行”的必要条件. （2）线面平行的性质定理中有三个条件： , , .这三个条件缺一 不可. （3）当 时，过的任意一个平面与 的交线都与平行，即可以与 内的无 数条直线平行，但不是任意一条.平面 内凡是不与平行的直线，都与 异面. . . . . 7 2 直线与平面平行的性质定理的作用 （1）作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平 行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两 条直线平行. （2）作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面， 要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相 交，交线就是所要画的直线. （3）作为画两个平面交线的依据.如果直线与平面 平行,点在平面 内,过 点作直线的平行线,则就是平面与平面 的交线. . . 8 典例详解 例1-1 如果直线平行于平面 ，则( ) B A.平面 内有且只有一条直线与 平行 B.平面 内有无数条直线与 平行 C.平面 内不存在与 垂直的直线 D.平面 内有且只有一条与 垂直的直线 【解析】过直线可作无数个平面与 相交，由线面平行的性质定理可知，这些交 线都与平行，所以在平面 内与直线 平行的直线有无数条，故A不正确，B正 确．平面 内存在与 异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确． 9 例1-2 [教材改编P229 T3]直线平面 ， 内有有限条直线相交于一点，则这有 限条直线中与直线 平行的直线有( ) C A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条 【解析】过直线和有限条直线的交点作平面 ，设平面 与 交于直线 ，则 .若所给直线中有1条直线是与重合的，则此直线与直线平行；若没有与 重合 的直线，则与直线 平行的直线有0条． 10 知识点2 直线与平面平行的判定定理 1 直线与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，那么该直线与此平面平行. ， ，且 . 11 知识剖析 （1）线面平行的判定定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.“线线平行” 是“线面平行”的充分条件. （2）线面平行的判定定理中有三个条件： ， ， .这三个条件缺 一不可. （3）要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线 与已知直线平行.通过直线间的平行，可以推证直线与平面平行，这是处理空间位置 关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题. （4）判定定理给我们提供了一种画线面平行的方法：通常把表示直线的线段画 在表示平面的平行四边形外，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四 边形的一条边平行.#1.4 . . 12 2 直线与平面平行的性质与判定的理解与应用 上述性质定理和判定定理可简要概括如下： 在以上关系中，第一条“线”都是指平面外的直线，“线线平行”中第二条“线”在不 同方向中意义有所不同：在性质定理中是指过平面外直线的平面（不止一个）与已 知平面的交线（不止一条），应用时应根据问题需要特指某直线；在判定定理中是 指已知平面内与已知直线平行的直线（不止一条），应用时只需要找到其中一条就 可以，可以借助平面几何知识寻找. 13 典例详解 例2-3 能保证直线与平面 平行的条件是( ) D A. , B. , ,, C. ,,,,,且 D. , , 【解析】A错误,若 ,,则 或 ；B错误,若 , ， , ，则 或 ;C错误,若满足此条件,则 或 或与 相交;D正 确, , , 恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件. 14 图6-4.1-1 例2-4 [教材改编P231例4]在正方体中， 为 的中点，则下列直线中与平面 平行的是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图6-4.1-1所示，连接,,设,则 是 的中点，连接.在正方体中，为 的 中点， . 又 平面, 平面 , 平面 . 15 题型解析 03 题型1 直线与平面平行的判定定理 1 中位线模型 母题 致经典·母题探究 图6-4.1-2 例5 （新课标全国卷Ⅱ节选）如图6-4.1-2，直三棱柱 中，是的中点.证明:平面 . （【学审题】要证平面，需在平面内找到与 平行的直线,利用直线与平面平行的判定定理证明） . . 17 【解析】如图6-4.1-3,连接,交于点，则为 的中点. 图6-4.1-3 又是的中点，连接，则为的中位线// . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 （线面平行的判定定理）. . . . . 18 子题 如图6-4.1-4所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，为 的中点， ，求证：平面 ． 图6-4.1-4 19 证什么 平面 用什么 线面平行判定定理 差什么 平面内与 平行的直线 怎么找 作一个过且与平面相交的平面,故构造辅助平面,连接交 于点,连接交于点,则直线 就是要找的直线 怎么证 在中用中位线性质证明 20 图6-4.1-5 【解析】如图6-4.1-5，连接，交于点，取的中点 ，连 接,，交于点，连接 ． 在中，,分别为, 的中点， 则 ． 在中，，且为 的中点， 则为 的中点. 在中，,分别为, 的中点， 则 ． 又 平面， 平面 , 所以平面 ． 21 素养聚焦 从母题和子题中可以看出，解决中位线模型的线面平行判定问题时，可以 尝试将中点（三等分点本身也提供了中点）放在一个三角形中进行探讨，寻找中位 线，进而证明线线平行、线面平行. 22 【变式题】 1.在三棱锥中,是的重心,是线段上的点,且 ,求证： 平面 . 【答案】连接并延长,交于点,连接 ,如图D 6-4.1-1. 因为是的重心,所以,所以,所以 . 因为 平面, 平面,所以平面 . 图 D 6-4.1-1 23 2 平行四边形模型 母题 致经典·母题探究 例6 (全国Ⅲ卷节选)如图6-4.1-6，四棱锥中，,,, 为线段上一点，,为的中点.证明:平面 . 图6-4.1-6 24 图6-4.1-7 【解析】由已知得， . 如图6-4.1-7,取的中点,连接,,由为 的中点知 , . 又,故 , 所以四边形为平行四边形,故 . 因为 平面,平面 , 所以平面 . 名师点评 相比于中位线模型，本题中更容易得到平行四边形的结构特征，因此可尝 试构造平行四边形寻找线线平行的条件,进而证明线面平行. 25 子题 已知公共边为的两个全等的矩形和不在同一平面内，， 分别是对 角线，上的点，且，如图6-4.1-8所示．求证：平面 . 图6-4.1-8 26 图6-4.1-9 【解析】作交于点，作交于点 ，连接 ，如图6-4.1-9， 则，, . ，， . 又， ， 四边形是平行四边形， . 又 平面， 平面 ， 平面 . 27 名师点评 事实上，本题还可以利用三角形相似进行证明.连接并延长与 的延长 线交于点，连接,则,可得,则.因为 平面 , 平面,故平面 . 28 使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直 线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线 时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中 位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行. 29 【变式题】 2.(2024·北京节选)如图6-4.1-10，在四棱锥中，， ， ，点在上，且，为线段的中点.求证：平面 ． 图6-4.1-10 30 图D 6-4.1-2 【答案】取的中点，连接, ， 如图D 6-4.1-2，则, ， 而,，故,且 ， 故四边形为平行四边形，故 ， 又 平面， 平面，所以平面 . 31 题型2 线面平行性质定理的应用 例7 (2025·山东师范大学附属中学段考)如图6-4.1-11所示，已知是平行四边形 所在平面外一点，是的中点，在上任取一点，过点和作平面 交平 面于,求证： . 图6-4.1-11 32 证什么 有什么用什么 是两平面的交线,可以用线面平行的性质定理证明 差什么 证明平行于所在的平面 怎么证 构造中位线模型证明 33 【解析】如图6-4.1-12所示，连接交于点，连接 . 图6-4.1-12 四边形为平行四边形， 点是 的中点. 又是的中点， . 平面， 平面，平面 . 平面 平面， . 34 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得 交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的 位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交 线相交的直线都与已知直线异面. 35 【变式题】 图6-4.1-13 3.如图6-4.1-13所示，四边形所在平面为三棱锥 的 一个截面，四边形 为平行四边形. （1）求证：平面 ； 【答案】 四边形为平行四边形， . 平面， 平面，平面 . 平面，平面 平面, . 平面， 平面,平面 . 36 （2）若,，求四边形 周长的取值范围. 【答案】同（1）可证,设, , ,,, ， ， 又,,,,且 , 四边形的周长为 , . 故四边形周长的取值范围是 . 37 核心素养聚焦 考情揭秘 平行关系是空间位置关系的一类重要关系,线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和 纽带.高考对线面平行的判定考查频率较高,在新高考中作为多选题进行考查的可能性 也比较大. 核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的平行关系），逻辑推理 （判定定理、性质定理的应用）. 38 考向1 线面平行的性质定理 图6-4.1-14 例8 (北京高考题节选)如图6-4.1-14所示，已知正方体 ，点为的中点，直线交平面 于 点.求证：点为 的中点. 【解析】因为 是正方体， 所以 ， 又 平面, 平面 , 所以平面 . 连接,因为 平面，平面 平面 ， 所以，所以 . 又点为的中点，所以点为 的中点. 39 考向2 线面平行的判定定理 例9 (2024·天津节选)如图6-4.1-15，已知四棱柱中,底面 为梯 形,，是的中点，是的中点，求证：平面 . 图6-4.1-15 40 图6-4.1-16 【解析】取的中点,连接, ,如图6-4.1-16. 由是的中点,得，且 . 由是的中点，得，且 ，则 ,且 . 故四边形是平行四边形，故 . 又 平面, 平面 , 所以平面 . 41 高考新题型专练 图6-4.1-17 1.[多选题](2025·河南省新乡市期中)如图6-4.1-17，在正方体 中，，，分别是棱，， 的中 点，则( ) AB A.点在平面内 B.平面 C.点在平面内 D.点在平面 内 42 【解析】如图D 6-4.1-3， 图D 6-4.1-3 连接，，分别是棱，的中点，，若平面 ， 则 平面或平面 ， 这与 平面 矛盾，故D错误； 43 连接，由题意可知，，则， 平面 ，又 平面，平面 ，故B正确； 由 平面，平面 ， 可得点不在平面内，点在平面 内，故C错误，A正确． 故选 ． 2.[多选题](2025·安徽省六安市独山中学月考)在下列四个正方体中，, 为正方体的 两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 平行的是( ) BCD A. B. C. D. 45 图D 6-4.1-4 【解析】对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为 , 如图D 6-4.1-4（1）所示，连接，则 ，因为 与平面有交点，所以与平面 有交点， 即与平面 不平行. 对于选项B，如图D 6-4.1-4（2）所示，连接 ，因为 ，,分别是所在棱的中点，所以 ， 所以，又 平面， 平面 ， 所以平面 . 同理C选项中有，D选项中有 ,均有 平面 . 46 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.已知直线平面 ， ，那么过点且平行于直线 的直线( ) D A.有无数条，不一定在平面 内 B.只有一条，不在平面 内 C.有无数条，一定在平面 内 D.只有一条，且在平面 内 【解析】过点作与直线 平行的直线有且只有一条，由线面平行的性质定理得，该 直线一定在平面 内. 48 2.(2025·河北省邢台翰林高级中学质检)在棱长为的正方体 中， ，分别是棱，的中点，是棱上一点，,过，， 的平面与 棱交于点，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】易知平面，平面 平面， 平面 ， . 易知,故 . 49 图6-4.1-1 3.如图6-4.1-1所示，在长方体中，， 分别是 棱和的中点，过的平面分别交和于点 ， ，则与 的位置关系是( ) A A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】,分别是,的中点， . 又 平面， 平面，平面 . 又 平面，平面 平面 ， . 50 4.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有 ( ) C A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 图 D 6-4.1-1 【解析】如图D 6-4.1-1所示，四边形 为平行四边形，则 . 平面, 平面 , 平面 平面,平面 平面 , . 平面, 平面 , 平面 . 同理可得平面 .故选C. 51 图6-4.1-2 5.[多选题](2025·山东省淄博市高青县第一中学开学考试)如图6- 4.1-2所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线交点为, 为 的中点,则下列结论正确的是( ) AB A. B.平面 C.平面 D.平面 【解析】矩形的对角线与交于点,所以为的中点.在中, 是 的中点,所以是的中位线,故,所以平面 . 因为点在上,所以与平面、平面 均相交. 52 6.三棱锥中，，过线段的中点作平面与直线， 都平行，且分别交,,于,,，则四边形 的周长为___． 2 【解析】因为平面，平面 平面， 平面 ，所 以，又点为 中点， 所以为三角形的中位线，故 ． 同理，，所以四边形 的周长为2． 53 图6-4.1-3 7.(2025·北京市房山区月考)如图6-4.1-3，在多面体 中， 四边形和都是直角梯形，， ， ，点为棱上一点，平面与棱交于点 ． （1）求证：平面 . 【答案】因为，，所以,又 ， 所以四边形为平行四边形，则 ， 又 平面， 平面，所以平面 . （2）求证： ． 【答案】因为平面， 平面,平面 平面 ， 所以 ．（线面平行的性质定理，由线面平行证线线平行） 54 8.(2025·河北省衡水市期末)如图6-4.1-4，三棱柱 的所有棱长都为2， ，为中点，为与交点．求证：平面 . 图6-4.1-4 55 图D 6-4.1-2 【答案】如图D 6-4.1-2，在三棱柱 中，取 中点，连接,，由,分别为和 的中点， 得且 ，（三角形的中位线定理） 由为中点，得且 ， 则且 ， 即四边形 为平行四边形，（构造平行四边形） 于是 ， 又 平面， 平面，所以 平面 . 56 高考模拟 05 建议时间：40分钟 9.有下列四个条件： ， ，； ，； ， ， ； ,是异面直线，， ， ．其中能保证直线 平面 的条件是( ) C A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【解析】①若 ， ，，则直线平面 ，故符合题意； ②若 ，，则 或直线平面 ，故不符合题意； ③若， ， ，则 或直线平面 ，故不符合题意； ,是异面直线，， ， ，则直线平面 ，故符合题意．综上 所述，符合题意的条件是①④． 58 图6-4.1-5 10.(2025·浙江省杭州高级中学月考)如图6-4.1-5，已知圆锥的顶 点为，为底面圆的直径，点， 为底面圆周上的点，并将 弧三等分，过作平面 ，使 ，设 与交于点 ， 则 的值为( ) B A. B. C. D. 59 【解析】如图D 6-4.1-3，连接交于点，连接 ， 图D 6-4.1-3 因为 ，平面， 平面，所以 . 60 连接,,因为为底面圆的直径，点，将弧 三等分，所以 ，（圆周角为圆心角的一半） ， 所以且，所以 ， 又，所以 ， 所以，即 ，故选B． 图6-4.1-6 11.[多选题](2025·山东省青州第一中学月考)如图6-4.1-6，在四面 体中，若截面 是正方形，则下列结论中正确的是 ( ) ABD A. B.截面 C. D.异面直线与的夹角为 【解析】, 平面, 平面，平面 .又平面 平面，，从而易知截面 ，B正确； 同理可得，,, ，A正确； , , 异面直线与的夹角为 ，故D正确; 根据已知条件无法得到， 长度之间的关系,故C不正确. 62 图6-4.1-7 12.[多选题](2025·四川省德阳市第五中学期末)如图6-4.1-7，在 正方体中，，，分别是，， 的中点， ，则下列说法正确的是 ( ) ACD A.若，则平面 B.若，则平面 C.若，则 D.若，则平面 截正方体所得的截面是五边形 63 图D 6-4.1-4 【解析】对于A，连接，在正方体中，可知 ， 当时，如图D 6-4.1-4,是的中点，则 ，所 以，由于 平面， 平面 ， 所以平面 ，故A正确. 64 图D 6-4.1-5 对于B，当时，如图D 6-4.1-5，点与点重合，连接 交于点，连接.若平面，因为 平面 ，且平面 平面，则，由于 是的中点，则为 中点，这显然不符合题意，故B错误. 65 图D 6-4.1-6 对于C，如图D 6-4.1-6，连接,易知,又 , 所以,因为为的中点，所以为 的中点，故 ，故C正确. 对于D，如图D 6-4.1-7，取 , . . 66 图D 6-4.1-7 （延长，，交于点，连接，则可得 , 即,即.又 ，所 以 ） 取，依次连接,,,,,则五边形 即为平面截正方体所得截面，故D正确．故选 ． 67 图6-4.1-8 13.如图6-4.1-8所示,在四棱锥中,底面 为平行四边 形,是上一点,当点满足条件:____时,平面 . 图D 6-4.1-8 【答案】是的中点等均可 如图D 6-4.1-8，连接 ,与交于点，则为线段,的中点，连接.因为 平面, 平面,平面 平面 ,所以 .又为的中点,所以为的中点,故当为 的中点时, 平面 . 68 14.(全国Ⅲ卷改编)如图6-4.1-9，矩形所在平面与半圆弧 所在平面相交于 ，是上异于,的点.在线段上是否存在点，使得平面 ？说明 理由. 图6-4.1-9 69 【答案】存在，当为的中点时,平面 .证明如下: 如图D 6-4.1-9，连接，交于点 . 图D 6-4.1-9 因为四边形为矩形,所以为 的中点. 连接（有中点，构造中位线）,因为为的中点,所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . . . 70 C 培优练丨能力提升 15.(2025·上海市第六十中学月考)如图6-4.1-10，在正方体中， ， ，分别是，， 的中点. 图6-4.1-10 71 （1）连接,,,求证：平面 ． 【答案】如图D 6-4.1-10（1）所示，连接,与交于点,连接, ,在正方体 中，,是的中点，所以 且 . 因为是的中点，是 的中点， 所以是 的中位线， 所以且,所以 ， 所以是平行四边形，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 72 （2）过，， 三点的平面截此正方体的截面为一个多边形. （ⅰ）试画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； 【答案】画出的截面多边形 如图D 6-4.1-10（2）所示， 图D 6-4.1-10 73 （ⅱ）若正方体的棱长为6，求此截面多边形的周长． 图D 6-4.1-10 【答案】如图D 6-4.1-10（2）所示,易知 ,所以 ， 所以易得, ,所以 , ,所以截面多边形的周长等于 . 易知 , , 所以截面多边形的周长等于 . 74 谢谢观看 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 75 $