6.4.1 第2课时 直线与平面平行的判定-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

第2课时　直线与平面平行的判定 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面平行的关系，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明． 教学重点：1.直线与平面平行的判定定理的内容.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理.3.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题． 教学难点：直线与平面平行的判定定理的应用． 知识点一　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α 图形语言 知识点二　“线线平行”与“线面平行”的关系 利用这个定理，可以由“线线平行”判定“线面平行”，即“线线平行”是“线面平行”的充分条件． 1．定理中的三个条件“l⊄α，a⊂α，l∥a”缺一不可． 2．该定理告诉我们，要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行．这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题)． 3．判定定理给我们提供了一种画线面平行的方法：通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一条边平行． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(　　) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　) (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(　　) (4)若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)若A是直线m外一点，过A且与m平行的平面(　　) A．存在无数个 B．不存在 C．存在但只有一个 D．只存在两个 (2)若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面(　　) A．不存在 B．存在但只有一个 C．存在无数个 D．只存在两个 (3)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：(1)A　(2)B　(3)D 题型一　对线面平行判定定理的理解 　能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b [解析]　若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α，故A错误；若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故B错误；若b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD，则a∥α或a⊂α或a与α相交，故C错误；D是线面平行判定定理不可缺少的三个条件． [答案]　D 【感悟提升】　用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α； (2)直线b在平面α内，即b⊂α； (3)两直线a，b平行，即a∥b. 这三个条件缺一不可． 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是(　　) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a与直线b不相交，直线b⊂α，则 a∥α D．若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线 答案：D 解析：直线l还可以在平面α内，A错误；直线a在平面α外，包括平行和相交，B错误；a还可以与平面α相交或在平面α内，C错误；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，a平行于平面α内的无数条直线，D正确．故选D. 题型二　直线与平面平行的判定 角度　中位线模型 　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD. [证明]　如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又D是AB的中点，连接DF， 则DF∥BC1. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. 【感悟提升】　 (1)利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理． (2)遇到题目中含有线段中点，尝试将它们放在一个三角形(或梯形)中进行探讨，寻找中位线，进而证明线线平行、线面平行． 【跟踪训练】 2．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC. 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO. 在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC. 在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点， 则M为ED的中点． 在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO. 又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC， 所以BE∥平面AFC. 角度　平行四边形模型 　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． [解]　存在．证明如下： 如图，取线段AB的中点为M， 连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM， 则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC， 因此MD∥OE且MD＝OE， 从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. 【感悟提升】　本例相对于中位线模型，更容易找到平行四边形模型的特征，因此通过构造平行四边形来寻找线线平行的条件．构造平行四边形经常用到中位线、相似三角形、棱柱(台)的性质等知识． 【跟踪训练】 3.已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，如图所示．求证：PQ∥平面CBE. 证明：证法一：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图所示， 则PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ. 又AB＝CD，∴PM綊QN， ∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN. 又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 证法二：连接AQ并延长与BC的延长线交于点S，连接ES，则△AQD∽△SQB，可得＝＝，则PQ∥ES， 又PQ⊄平面CBE，ES⊂平面CBE， 故PQ∥平面CBE. 角度　线段成比例模型 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝. 求证：MN∥平面SBC. [证明]　连接AN并延长交BC于P，连接SP. 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AD∥BC，所以＝， 又因为＝， 所以＝，所以MN∥SP， 又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC， 所以MN∥平面SBC. 【感悟提升】　当题目中线段成比例时，通常采用线段成比例模型．先由条件证明线线平行，进而证明线面平行． 【跟踪训练】 4．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，且EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BE⊥EC.若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：在折叠后的线段AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时＝.以下为证明过程： 当＝时，＝，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，则有＝＝. ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3. 又EC＝3，MP∥FD∥EC， ∴四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME. 又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF， ∴CP∥平面ABEF. 题型三　直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用 　(1)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. [证明]　如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点． 又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM. 又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以AP∥平面BDM. 因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG， 所以AP∥GH. (2)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，且截面为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH. [证明]　因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG. 因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， 所以EF∥平面ABD. 因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB. 因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 【感悟提升】　判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化． 【跟踪训练】 5．已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，求证：a∥b∥l. 证明：如图所示，由α∩β＝l，a⊂α知a⊄β， ∵a∥b，b⊂β，∴a∥β， 又a⊂α，α∩β＝l， ∴a∥l， 又a∥b，∴a∥b∥l. 1．设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面(　　) A．有且只有一个 B．恰有两个 C．没有或只有一个 D．有无数个 答案：C 解析：当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了． 2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则HG与AB的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案：A 解析：∵E，F分别是AA1，BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝HG，∴AB∥HG. 3.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC 答案：AB 解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，故OM∥PD，所以OM∥平面PCD.因为点M在PB上，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交． 4．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 答案：平面ABC，平面ABD 解析：如图，连接AM并延长交CD于点E，连接BN并延长交CD于点F.由重心的定义及性质可知，E，F重合为一点，设为E，且该点为CD的中点，由＝＝，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD. 5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，弧的中点为D.求证：AC∥平面POD. 证明：设BC∩OD＝E， ∵D是弧的中点， ∴E是BC的中点， 又O是AB的中点， ∴AC∥OE， 又AC⊄平面POD， OE⊂平面POD， ∴AC∥平面POD. 课后课时精练 一、选择题 1.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　) A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 答案：B 解析：∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，∴EF∥BD且EF＝BD，∵H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠GH.∴EF∥平面BCD，四边形EFGH是梯形． 2．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 答案：C 解析：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.同理可得AB∥平面EFGH.故选C. 3．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 答案：A 解析：对于B，如图1所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证C，D中均有AB∥平面MNQ. 　 对于A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图2所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行． 4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　　) A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条 答案：D 解析：画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G，如图所示．于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行，有无数条． 5.(多选)如图所示，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD的夹角为45° 答案：ABD 解析：∵截面PQMN是正方形，∴MN∥PQ，又MN⊂平面ACD，PQ⊄平面ACD，∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而易知AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，∵MQ⊥PQ，PQ∥AC，∴AC⊥BD，A正确；∵MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD的夹角为45°，故D正确；根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故C不正确． 二、填空题 6．三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________． 答案：平行 解析：如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG＝2GF，又AE＝2ES，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________． 答案：平行 解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，所以AC∥平面A1B1C1D1.又平面ACB1经过直线AC且与平面A1B1C1D1相交于直线l，所以AC∥l.又因为A1C1∥AC，所以A1C1∥l. 8.如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________，面积为______． 答案：4＋6　18 解析：由EF∥平面BCC1B1，EF∥BC1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.易知截面为等腰梯形，又正方体棱长为4，所以截面面积为＝18. 三、解答题 9.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面相交，M是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解：存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.理由如下： 如图，连接AC，BD交于点O. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD. 10.如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.证明：EF∥B1C. 证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，所以B1C∥平面A1DFE. 又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C. 11.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论． 解：存在点M.如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE. 证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN， 则MN∥AB且MN＝AB， 又PC∥AB且PC＝AB， 所以MN∥PC且MN＝PC， 所以四边形MNCP为平行四边形， 所以PM∥CN. 因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<)，连接MN. (1)证明：对任意a∈(0，)，总有MN∥平面DCC1D1； (2)当a为何值时，MN最短？ 解：(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ. 则MP∥NQ， ＝＝＝， ∵AD＝BC，∴MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形，∴MN∥PQ. 又PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1， ∴MN∥平面DCC1D1. (2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形， ∴MN＝PQ. 由已知D1M＝DN＝a，DD1＝AD＝DC＝1， ∴AD1＝BD＝. ∵＝，＝， 即D1P＝DQ＝， ∴MN＝PQ＝ ＝ ＝(0<a<)， 故当a＝时，MN取得最小值. 即当a＝时，MN最短，此时MN的长为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$